Формализованные методы прогнозирования, практические примеры их приминения

7.Формализованные методы  прогнозирования, практические примеры  их приминения

         Некоторые экономические взаимосвязи и процессы можно описать с достаточной степенью точности при помощи формальных математических зависимостей – формул. На этой возможности основан ряд методов прогнозирования-планирования. Такие методы называются формализованные (лат. forma – образ, вид).

    К формализованным методам относятся методы экстраполяции, корреляционно-регрессионные методы, методы математического моделирования и др.

     Толчком к развитию формализованных методов, особенно методов моделирования, послужило применение электронно-вычислительной техники, позволяющей выполнять большие объёмы вычислений. В развитии формализованных методов обозначился новый этап – этап экономико-математических методов (ЭММ), соединивших в себе математическую теорию и возможности ЭВМ. ЭММ, основанные на методах прикладной математики и математической статистики, позволили значительно расширить возможности применения и направления использования формализованных методов. Появилась возможность глубже анализировать взаимосвязи в экономике, всесторонне обосновывать изменения экономических показателей, ускорять получение и обработку информации, осуществлять многовариантные расчёты планов, прогнозов, программ и выбирать оптимальный вариант по заданному критерию.

     Экстраполяция (лат. extra – сверх, вне; polio – приглаживаю, изменяю) – заключается в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций экономического развития и перенесении их на будущее. В математическом смысле экстраполяция означает распространение закона изменения функции из области её наблюдения на область, лежащую вне отрезка наблюдения. Тенденция, описанная некоторой функцией от времени, называется трендом. Функция представляет собой простейшую математико-статистическую (трендовую) модель изучаемого явления.

   В общем виде экстраполяция осуществляется следующим образом:

 – сначала собираются  данные об изменении во времени  какой-либо характеристики (нескольких  характеристик) исследуемого объекта  прогнозирования. Упорядоченные  по времени наборы таких данных  называются динамическими (временными) рядами;

 – далее, на основе  собранных данных (временных рядов)  подбирается математическая зависимость  (формула), которая наиболее близко  описывала бы изменение во  времени характеристики объекта прогнозирования.

 В практических исследованиях  наиболее часто применяются зависимости (формулы):

y = ax + b (линейная);

y = ax2 +bx + c (квадратичная);

y = xn (степенная);

y = ax (показательная);

y = aex (экспоненциальная).

     Для определения числовых значений параметров зависимости наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК) и его модификации. Суть МНК состоит в отыскании параметров математической зависимости (модели тренда), минимизирующих отклонения расчётных значений от соответствующих значений исходного ряда, т. е. искомые параметры должны удовлетворять условию

 

где n – число наблюдени

 – значение исходного  ряда;

- расчётное значение;

 – получив математическую  зависимость (формулу), можно подставить  в неё любые значения времени  (в т. ч. и будущего) и вычислить  для этого времени значения  характеристики объекта (в т. ч. и в будущем).

    Сглаживание временных рядов используется как для выявления тенденций изменения, так и непосредственно для построения прогнозов. Для сглаживания рядов часто применяют метод скользящего среднего и метод экспоненциального сглаживания.

     Метод скользящего среднего. Пусть    – стационарный, (т. е. имеющий тренда) динамический ряд. Скользящее среднее указанного ряда определяется по формуле

                                          

 или, что то же  самое, . Поскольку ряд стационарен, в качестве прогноза по методу скользящего среднего берут последнее найденное значение  м

 Скользящее среднее  имеет ряд особенностей. Для того  чтобы начать процесс сглаживания, необходимо иметь в наличии n – 1 предыдущих наблюдений. Поэтому прогноз не может быть построен раньше чем через n моментов времени. Данным, включённым в процесс скользящего среднего, присваивается одинаковый вес, всем остальным – нулевой.

 Для устранения последнего  недостатка можно использовать  процедуры скользящего среднего  с убывающими весами, например,

 Указанные недостатки  метода скользящего среднего  преодолены в процедуре экспоненциального  сглаживания, который также используется  для прогнозирования стационарных  временных рядов. Общая формула  экспоненциального среднего имеет вид:

 где α – коэффициент  сглаживания. В качестве прогноза  берут последнее полученное значение ut.

 Перечислим основные  особенности экспоненциального сглаживания:

 – для вычисления  экспоненциально взвешенного среднего  ut требуются всего два значения: предыдущее значение среднего ut–1 и текущее значение ряда yt;

 – в экспоненциальном  сглаживании нет точки, на которой  веса используемых значений исходного  динамического ряда обнуляются. Рекуррентно подставляя в последнюю  формулу полученные на предыдущих  шагах значения ut, получаем, что наблюдение с лагом k имеет вес α(1–α)k–1. Таким образом, веса экспоненциально убывают со временем.

 

 Одним из достоинств  модели экспоненциального сглаживания  является то, что в её основу  положена логичная и легко  понимаемая концепция. Значение  экспоненциального среднего состоит  из взвешенной суммы текущего  значения исследуемого ряда и  полученного на последнем шаге  экспоненциального среднего, представляющего  тенденцию. Чем больше α, тем  быстрее колебания исходного  динамического ряда отражаются  на общей тенденции. Чем меньше  α, тем сильнее они подавляются  и тем более гладким будет  полученный ряд. Легко вывести  общее правило выбора константы  сглаживания α: для конъюнктурных прогнозов, где в большей степени должна учитываться свежая информация, следует использовать более высокое значение α, чем для долгосрочных прогнозов. Считается, что на практике приемлемые значения константы обычно лежат в промежутке [0,1; 0,3].

     Методы экстраполяции, скользящего среднего, экспоненциального сглаживания не имеют ничего общего с природой объекта и его сущностью. Они описывают лишь предполагаемую тенденцию его развития на основании сложившейся тенденции. Поэтому подобные методы, основанные на продлении тенденций прошлого и настоящего на будущий период, могут использоваться в прогнозировании лишь при небольших периодах упреждения и наличии устойчивых тенденций в развитии исследуемого объекта. Очевидно, что поведение прогнозируемого объекта может неожиданно и значительно измениться, чего невозможно учесть в математических зависимостях, используемых для экстраполяции.

      Регрессионный метод. Метод построения регрессионного уравнения используется при выполнении следующих условий:

 – значение прогнозируемого  показателя зависит от значений  других показателей (факторов), представленных в виде динамических рядов;

 – имеется выборка  данных, каждый элемент которой  содержит значение показателя и набор значений факторов;

 – на период, для  которого строится прогноз показателя, известны значения всех факторов или их можно оценить.

 Пусть имеется выборка  из n элементов, содержащая значения  yi изучаемого показателя и значения xij факторов, где i = 1, …, n – номер случая (элемента выборки), j = 1, …, m – номер фактора. Опишем алгоритм прогноза показателя на основе регрессии. Он состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Эмпирическим путём  выбирается тип зависимости между показателем и факторами:

y = f(x1, …, xm, a0, a1, …, ak),

 где y – изучаемый  показатель (зависимая переменная);

xj j = 1, …, m, – j-й фактор (j-я независимая переменная);

as, s = 0, 1, …, k – неизвестный параметр функции.

 Как правило, выбирается линейная зависимост

y = a0 + a1x1 + j + amxm,

 но на основе визуального  анализа выборки или каких-либо  экономических рассуждений может  быть выбрана зависимость другого типа.

    Шаг 2. Подбираются такие параметры a0, a1, ak, чтобы при подстановке в функцию f значений независимых переменных x1, …, xm из выборки полученные значения функции наиболее точно приближали соответствующие значения переменной y. Критерием точности является сумма квадратов остатков, т. е. разностей между значениями зависимых переменных и значениями функции. Построенное уравнение называется уравнением регрессии.

   Шаг 3. На место независимых переменных в функцию f подставляются значения факторов, известные или оцененные для прогнозируемого периода. Полученное значение функции считается прогнозом.

     Шаг 4. На основе анализа характеристик уравнения регрессии оценивается точность прогноза и делается вывод о целесообразности его использования.

             Зачастую при использовании регрессионного уравнения для прогноза экономического показателя четвёртым шагом пренебрегают, ограничиваясь лишь применением коэффициента детерминации. Этот коэффициент характеризует точность подгонки исследуемой выборки. Для оценки качества построенного уравнения регрессии и точности прогноза существуют другие типы статистических характеристик. Так, статистика Дарбина–Уотсона используется в качестве критерия для проверки автокорреляции у остатков. Отсутствие последней является необходимым условием корректности регрессионного анализа. Для обоснования правомерности использования результатов регрессии проводится также проверка значимости уравнения. О точности прогноза судят по рассчитанным доверительным интервалам. Характер зависимости между показателями анализируют на основе стандартизированных коэффициентов. Расчёт перечисленных, а также многих других характеристик уравнения регрессии реализован в специализированных пакетах прикладных программ для ЭВМ. В пакетах статистического анализа реализованы также методы пошаговой регрессии, когда оптимальный набор независимых переменных формируется автоматически.

           При использовании методов моделирования на основе предварительного изучения объекта и выделения его существенных характеристик «конструируется» модель.

             Экономико-математическая модель любого вида представляет собой формализованное описание исследуемого процесса или объекта в виде математических зависимостей и отношений.

 

             После составления модели проводится её экспериментальный и теоретический анализ, сопоставление результатов прогнозных расчётов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса. Модель корректируется и дополняется.

      Исследуя полученную модель, можно предвидеть, каким образом поведёт себя реальный объект в определённых условиях в будущем.

       В прогнозировании и планировании выделяют различные виды (типы) моделей: оптимизационные, факторные, структурные, модели межотраслевого баланса и др. В зависимости от уровня агрегирования один и тот же тип может применяться к различным экономическим объектам, поэтому выделяют модели: макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные и микроэкономические (на уровне предприятия, объединения).

   Оптимизационные модели основаны на выборе критерия оптимальности, на основе которого путём сравнения различных вариантов выбирается лучший (оптимальный) вариант. Оптимизационная экономико-математическая модель состоит из целевой функции и системы ограничений. Целевая функция описывает цель оптимизации и отражает зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от независимых переменных (ограничений). Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости и представляет собой систему равенств и неравенств, например, между потреблением ресурсов или величинами технико-экономических показателей и установленными лимитами, а также пределами выпуска продукции. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом-показателем, экстремум которого выступает критерием оптимальности. Примеры оптимизационных моделей в планировании и прогнозировании: модели оптимизации развития и размещения производств, модели оптимизации структуры производства продукции отраслей промышленности, модели АПК, модели транспортных задач, с помощью которых осуществляется рациональное прикрепление поставщиков к потребителям и определяются минимальные транспортные затраты, и другие.

 

 Применение формализованных  методов в прогнозировании и  планировании ограничено в силу  сложности и многофакторности  экономических явлений и процессов и неочевидности многих экономических взаимосвязей. Жизнь нельзя выразить математической формулой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.

Используя материальный баланс, определить объем производства металла  для системы потребительской  кооперации на прогнозируемый период по следующим исходным данным.

1. Объем промышленного производства оборудования и металлоконструкций по прогнозу 316 млн. ден. ед.
2. Норма расхода металла на 1 млн. ден. ед. оборудования и металлоконструкций – 358 тонн.
3. Объем строительно-монтажных работ на прогнозируемый период 227 млн. ден. ед.
4. Норма расхода металла на 1 млн. ден. ед. строительно-монтажных работ 287 тонн.
5. Экспорт оборудования и металлоконструкций по прогнозу 6,7 тыс. тонн.
6. Импорт оборудования и металлоконструкций составит 5,8 тыс. тонн.
7. Переходящие запасы на начало и конец года составят соответственно 3,8 тыс. тонн.
8. Рыночный фонд на прогнозируемый период – 14,3 тыс. тонн.
9. Пополнение госрезерва - 13,3 тыс. тонн.
10. Прочие потребности на прогнозируемый год – 6,97 тыс. тонн.

Расчет оформить в следующей  таблице.

 

Ресурсы	Количество	Потребность	Количество
1.Запасы на начало года		1.Промышленное производство  оборудования и металлоконструкций
2.Производство		2.Капитальное строительство
3.Импорт		3.Рыночный фонд
		4.Пополнение госрезерва
		5.Прочие потребности
		6.Запасы на конец года
		7.Экспорт
Итого:		Итого:

 

 

Решение:

Ресурсы	Количество	Потребность	Количество
1.Запасы на начало года	3,8	1.Промышленное производство  оборудования и металлоконструкций	111,128
2.Производство	211,747	2.Капитальное строительство	65,149
3.Импорт	5,8	3.Экспорт	6,7
		4.Рыночный фонд	14,3
		5.Пополнение госрезерва	13,3
		6.Прочие потребности	6,97
		7.Запасы на конец года	3,8
Итого:	221,347	Итого:	221,347

 

1.Промышленное производство  оборудования и металлоконструкций  –V*n:

316*358=113128 (тонн)

2.Капитальное строительство:227*287=65149(тонн)

3.Итого : 111,128+65149+6,7+14,3+13,3+6,97+3,8=221,347(тыс.тонн)

4.Производство:221,347-3,8-5,8=211,747

Ответ: На прогнозируемый период необходимо произвести металл в количестве 211,747 тыс.тонн для удовлетворения потребностей кооперации.

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

Среднесписочная численность  рабочих составляет:

В 1 квартале – 3200 человек, Во 2 кв. – 3400 человек, В 3 кв. – 3600 человек, В 4 кв. – 3800 человек

Численность рабочих на начало прогнозируемого периода – по вариантам.(2845)

Выбыло рабочих по уважительным причинам (от среднегодовой численности):

В 1 квартале – 2,6%,  Во 2 кв. – 1,67%, В 3 кв. – 0,1%,  В 4 кв. – 0,11%

Спрогнозируйте дополнительную потребность рабочих:

1) поквартально и за  год.

2) для восполнения убыли рабочих.

Решение:

Чркi=2*Чрi-Чрнi

Где Чркi –численность рабочих на конец периода

Чрi-численность рабочих в i периоде;

Чрнi- численность рабочих на начало периода.

Чр доп i=Чркi-Чрнi

Где Чр доп I –дополнительная численность рабочих поквартально.

1. Чрк1=2Чср-Чн1=2*3200-2845=3555(человек)

Чр доп1=3555-2845=710(человек)

Чрк2=2*3400-3555=3245

Чр доп 2=3245-3555=-310(человек)

Чрк3=2*3600-3245=3955

Чр доп 3=3955-3245=710(человек)

Чрк4=2*3800-3955=3645

Чр доп 3=3645-3955=-310(человек)

Чр доп за год =710-310+710-310=800000(человек)

2)Годовая среднесписочная  численность рабочих:

(3200+3400+3600+3800)\4=3500(человек)

3)Дополнительная потребность  в рабочих для восполнения  убыли рабочих:

3500*(2,6+1,67+0,1+0,11)/100=157(человек)

Вывод:1.Дополнительная потребность  рабочих в 1 и 3кварталах по 710 человек, во 2 и 4 кварталах (-310 человек), за год - 800 человек.

2.Дополнительная потребность  в рабочих для восполнения  убыли рабочих 157 человек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.

Составить прогноз спроса на фрукты в области на 2014 и 2016 год  и определить время достижения их нормативного потребления.

Численность городского населения  составляет (270 - по вариантам) тыс. чел., предполагается, что численность к 2014 году возрастет на 0,1%, а к 2016г. – сократится на 3,2%.

Норма потребления фруктов  составляет 115 кг в год на человека.

Уровень потребления фруктов  следующий: 2003 г. – 75кг, 2011 г. – 97 кг.

 

Решение.

1)Определим численность  населения в прогнозируемом периоде:

Ч2014= 270*1,001=270,27(тыс. чел)

Ч2016= 270*0,968=261,36(тыс. чел)

2)Среднегодовой прирост  фруктов составляет:

К= 8√ V0√ Vб=   8 √97/75= 1,033

V2014 =97*1,033^3*270,27= 28898,2тонн

V2016=97*1,033^6*261,36= 30804,4 тонн

3)Через сколько лет будет достигнута нома потреблнения:

К= 8√ V0√ Vб=   8 √97/75= 1,033

1,033=(1,85):1/х

Ln 1,033=1/x *ln 1,85;

Х= ln 1,85/ Ln 1,033=5 лет

Вывод: 1.Прогноз на 2014год -28898,2 тонн фруктов, на 2016 -30804,4 тонн фруктов.2. Время достижения нормы потребления -5 лет.

Задача 4.

По исходным данным определить величину производственной мощности ведущего оборудования хлебопекарного производства на начало года, среднегодовой прирост  мощностей, среднегодовую мощность, планируемый выпуск продукции при  коэффициенте использования мощности 0,89.

Составить баланс производственной мощности ведущего оборудования хлебопекарного производства.

1. Количество оборудования на начало года (Ко = 210 - по вариантам) тонн.
2. Часовая производительность единицы оборудования  Чп= 0,58.
3. Годовой фонд работы оборудования   Гф=4120 ч.
4. Увеличение производственных мощностей в течение года за счет:

Организационно технических  мероприятий 75 тыс. тонн с 1 марта;

Мероприятий технического прогресса 65 тыс. тонн с 1 апреля;

Реконструкции 25 тыс. тонн с 1 июня.

5. Выбытие мощности 30 тыс. тонн с 1 апреля и 40 тыс. тонн с 1 мая.

Решение:

Показатели	Кол.во(тыс.тонн)
Мощность на начало года (М нг)	501816
Ввод мощностей	165
за счет организационно-технических мероприятий	75
за счет технических программ	65
за счет реконструкций	25
Выбытие мощностей	70
Среднегодовой прирост (М Δ М)	95
Среднегодовая мощность (М ср)	529733
Планируемый выпуск продукции (В п)	471462
Мощность на конец года (Мкг)	596816

1)Мнг =Конг* ЧПо*ГФРо

Где Мнг-мощность на начало года; КОнг-количество оборудования на начало года; ЧПо- часовая производительность оборудования; ГФРо- годовой фонд работы оборудования.

Мнг=210*0,58*4120=501816(тонн)

2)Мкг=Мнг+Мп-Мв

Где Мкг-мощность на конец  года;

Мп-увеличение производительных мощностей;

Мв-выбытие производительных мощностей.

Мкг=501816+165000-70000=596816(тонн)

3)ΔМ =Мкг- Мнг=596816-501816=95000(тонн)

4)Мср=Мнг+Мп*tп/12-Мв*tв/12

Где tп-количество месяцев года . в которых мощность эксплуатировалась в году;

Мср=501816+75000*10/12+25000*7/12-30000*9/12-40000*8/12=529733(тонн)

5)Вп-планируемые выпуск продукции.

Вп= Кисп.м.* Мср=529,733*0,89=471462(тонн)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.

Определить общий объем  внешней торговли Республики Беларусь и сальдо торгового баланса на прогнозируемый период по следующим  исходным данным.

Объем экспорта Республики Беларусь в страны СНГ в базисном периоде составил (по вариантам  2830), импорта (по вариантам 3180), в страны дальнего зарубежья соответственно 2250 и 1980 млн. долларов.

На прогнозируемый период намечается увеличить экспорт в страны СНГ на 17,8%, импорт на 11,66%, в страны дальнего зарубежья объем экспорта сократится на 3%, а импорт увеличится на 5,7%.

 

Решение.

 

Определим общий объем внешней торговли (ОВТ) Республики Беларусь на прогнозируемый период

Объем экспорта в страны СНГ в прогнозном периоде составит 

Э(1) = 2830 *(100+17,8) / 100 = 3333,74 млн.долл.

Объем импорта в страны СНГ в прогнозном периоде составит

И (1)= 3180*(100+11,6) / 100 = 3548,88 млн.долл.

Объем экспорта в страны дальнего зарубежья в прогнозном периоде составит 

Э(2) = 2250 *(100-3) / 100 = 2182,5 млн.долл.

Объем импорта страны дальнего зарубежья в прогнозном периоде составит

И(2) = 1980*(100+5,7) / 100 = 2092,86 млн.долл.

Э = Э(1)+Э(2) = 3333,74+2182,5= 5516,24 млн.долл.

И=И(1)+И(2) = 3548,88 + 2092,86 = 5641,74 млн.долл.

Общий объем внешней торговли составил

ОВТ = Э+ И = 5516,24+ 5641,74 = 11157,98  млн.долл.

 

  Сальдо  торгового  баланса составит 

С = Э – И = 5516,24- 5641,74 = -125,5 млн.долл.

 

Вывод.  Общий объем внешней торговли Республики Беларусь составил 11157,98 млн.долл., сальдо торгового баланса на прогнозируемый период

-125,5  млн.долл.

 

 

 

 

 

Задача 6.

Составить прогноз продажи  молочных изделий в магазине на 11-й  день его работы. Известно, что за прошедшие 10 дней работы объем продажи  молочных изделий в магазине составил (в литрах).

Изделия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
молоко	197	225	217	218	235	241	278	195	211	213

 

Методические  рекомендации для решения задачи.

 

Средняя ошибка прогноза М  определяется по следующей формуле:

 

М = +(-) √r /√n

 

где: r - дисперсия                                                   r = (∑ (X - X_cp)² ) / n

       n – число дней периода.

 

Решение:

1)Средняя ошибка прогноза:

М=(√r)/( √n)

Где n- число дней периода , r-дисперсия

Хср=(197 +225+217+218+235+241+278+195+211+213)/10=223 л

R=((197-223)^2+(225-223)^2+(217-223)^2+(218-223)^2+(235-223)^2+(241-223)^2+(278-223)^2+(195-223)^2+(213-223)^2)/10=526,2

М=(√526,2)/(√10)=7,254

2)Прогноз продажи молока  на 11 день:

(Хср-µ;Хср-µ)

223-7,254 ≤х≤ 223+7,254

215,746 ≤х≤ 230,254

Вывод: прогноз продажи  молока на 11 день в пределах от 215,746л  до 230,519л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1.  Антонова, Н.Б. Прогнозирование и планирование экономики: Курс лекций.– Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2003. – 172 с.

2. Афитов, Э.А. Планирование на предприятии: Учеб. пособие. – Мн.: Выш. Шк., 2001.

3.  Владимирова, Л.П.  Прогнозирование и планирование  в условиях рынка: Учебное пособие.  – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и К^о", 2004.

4. Герасенко, В.П. Прогностические методы управления рыночной экономикой: Учебное пособие. В двух частях. Часть 1. – Гомель: Белорусский Центр Бизнеса «Альтаир», 1997.