Контрольная работа по "Вероятностные методы прогнозирования"

Задание 1 

Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотность совместного распределения:

 

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих. 

Решение

Найдем  условную плотность составляющей Х при

 

Так как  при , то , при  

Аналогично  находим условную плотность составляющей Y.

 

Так как  при , то , при  

Таким образом:

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 2 

В первом ящике 8 шаров, во втором – также 8 шаров:

 

Пусть X – номер шара, вынутого из первого  ящика, Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Найти дисперсию случайных величин X и Y, коэффициент корреляции . 

Решение 

Запишем закон распределения системы случайных величин (X,Y).

Случайная величина X может принимать следующие  значения: , , , .

Случайная величина Y может принимать следующие значения: , , , .

Вероятность того, что из первого ящика будет вынут шар с № 1 и из второго – шар с № 1, равна

 

Таким образом вычисляем все остальные вероятности. В результате закон распределения будет иметь следующий вид

 

Для нахождения математического ожидания случайных  величин X и Y выпишем ряды распределения  для величин X и Y (так как они  независимы).

Для X:

 

 

Для Y:

 

 

Тогда

 

Для того, чтобы найти дисперсию случайных величин X и Y, запишем закон распределения для и

 

Тогда дисперсия случайной величины X 

 

Дисперсия случайной величины Y:

Отсюда

 

Коэффициент корреляции равен

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 3 

Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

 в области D

и вне этой области.

Область D определяется неравенствами  , .

Найти , , , определить коэффициент корреляции . 

Решение 

Вычислим  математическое ожидание случайной  величины X

Аналогично  математическое ожидание случайной  величины Y

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

Найдем  интеграл:

 

 

 

Тогда

 

Следовательно:

Определим ковариацию:

 

Используя формулу интегрирования по частям, получим

Используя формулу интегрирования по частям, получим

 

Тогда

 
 
 
 

Задание 4 

Найти методом произведений выборочную среднюю  и выборочную дисперсию по заданному  распределению выборки объема  

 

Решение 

Составим  расчетную таблицу. Для этого: 

1) запишем варианты в первый столбец;

2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (4), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3, а под нулем 1, 2;

4) произведения частот , на условные варианты , запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму ( ) отрицательных чисел и отдельно сумму ( ) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (-60) помешаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

5) произведения частот на квадраты условных вариант, то есть , запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов; ; сумму чисел столбца (152) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, то есть , запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (132) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца. 

В итоге  получим расчетную таблицу. 

Для контроля вычислений пользуются тождеством

 

Контроль:

 

Совпадение  контрольных сумм свидетельствует  о правильности вычислений. 

Вычислим  условные моменты первого и второго  порядков:

 

Найдем  шаг (разность между любыми двумя  соседними вариантами): . 

Вычислим  искомые выборочную среднюю и выборочную дисперсию, учитывая, что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) : 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 5 

Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема  

 

Решение 

Составим  расчетную таблицу. Для этого: 

1) запишем варианты в первый столбец;

2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (56), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащих ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю;

4) в  оставшихся незаполненными над  нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 2; 2+5=7; 7+8=15; сложив все накопленные частоты,  получим число , которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 1; 1+2=3; 3+4=7; 7+6=13; 13+15=28; 28+22=50; сложив все накопленные частоты, расположенные под нулем, получим число , которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца;

5) аналогично  заполняется четвертый столбец,  причем суммируют частоты третьего  столбца; сложив все накопленные  частоты, расположенные над нулем,  получим число  , которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца; сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу , которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца. 

В итоге  получим расчетную таблицу. 

 

Найдем  , , :

 

Найдем  условные моменты первого и второго  порядков:

 

Вычислим  искомые выборочную среднюю и выборочную дисперсию, учитывая, что шаг и ложный нуль :