Понятие хаоса. Понятие аттрактора. Влияние аттрактора на хаос

«Понятие хаоса. Понятие аттрактора. Влияние аттрактора на хаос»

Контрольная работа по курсу:

«Международные финансовые рынки»

студентки 5-го курса заочной формы  обучения

специальность «Финансы и кредит»

2013

Содержание:

Введение……………………………………………………………………..3

Теория хаоса: понятие, принципы…………………………......................4

История вопроса………………………………………………………....…6

Инструмент теории хаоса - аттрактор…………………………………….8

Области применения теории хаоса …………………………………….....14

Заключение……………………………………………...…………………..20

Список  использованной литературы…………………………………….21  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 

Введение 

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного  математического определения понятия  хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость  постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в  динамической системе. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном  движении цены, то вы должны иметь ввиду  не случайное  движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она  не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью начальных условий.

Один из главных  выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия. 
  

Теория хаоса:  понятие, принципы 

    Теория  хаоса - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система - это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

Вплоть до 1960-х годов многим казалось естественным полагать, что динамическая система, описываемая простыми детерминистическими уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых весьма специальных случаях, таких, как Солнечная система.

Однако к 1980 математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ. Пример хаотического поведения из повседневной жизни - движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Ее соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдаленные области могут сближаться.

Короче говоря, жидкость перемешивается - для этого миксеры и предназначены. Выражение "теория хаоса" используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.     

Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию.

Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может  быть также геометрическая фигура или  конфигурация. Например, пусть правилом будет "разделить на два". Начав  с исходного состояния, задаваемого  числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность. Правило "возвести в квадрат и вычесть единицу", примененное к 0, дает последовательность -1, 0, -1, 0,..., которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и -1. Однако правило "возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу", если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности.

Основным понятием теории хаоса  является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, -1); весь интервал чисел между -1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая.

Хаотический аттрактор обладает скрытой  структурой, которая часто становится явной после графического представления  итераций. Состояние динамической системы - это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется.

Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений.

В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную  конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии.

Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера. После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо.

Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы.

Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно.

 История вопроса      

Истоки  теории хаоса можно проследить начиная  с XIX века, когда появилась работа математика Жюля Анри Пуанкаре о движении тел в Солнечной системе. Эта  работа была удостоена Нобелевской  премии. Пуанкаре показал, что в отличие  от системы из двух тел, взаимное притяжение и движение которых описывается  достаточно просто в соответствии с  ньютоновским законом всемирного тяготения, для трех и более тел простого движения не находится. Пуанкаре показал, что даже в ограниченной задаче трех тел, масса одного из которых достаточно мала, возможно очень сложное движение, которое невозможно описать математической формулой.    

Множество примеров подобных явлений было разработано  американской и российской школами  в теории динамических систем. Очень важными считаются вклады Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда.    

Сам термин «хаос» был предложен Джеймсом Йорке (James A. Yorke) и Тьен Йен Ли (Tien-Yien Li) в краткой статье, посвященной  обсуждению некоторых результатов  исследований российской школы.

Наиболее  известным прикладным исследованием  в области теории хаоса является работа метеоролога Эдварда Лоренца (Edward Lorenz). Она получила развитие, и  теперь известно, что полные уравнения поведения атмосферы ведут себя хаотически. Так что долгосрочные прогнозы погоды, основанные на данных о ее прошлом и текущем состоянии, подвержены «эффекту бабочки». Поэтому  погода не может быть предсказана на более чем четыре или пять дней вперед, независимо от мощности используемых компьютеров.

Теория  хаоса применима в биологии и  экологии. В конце XIX века Было установлено, что популяции животных развиваются  нестабильно. Периоды быстрого роста и почти полного вымирания нерегулярно чередуются. Однако эти  флуктуации могут быть описаны математически  без введения случайных внешних  воздействий. Теория хаоса также  объясняет и динамику развития эпидемий.    

С помощью теории хаоса описываются  «законы» фондовой биржи. А в начале 1990?х Жак Ласкар (Jacques Laskar) опубликовал  статью «Планетная система объята хаосом», где описал поведение Солнечной  системы, изменения орбит и наклона  осей планет. Его расчеты показывают, что в будущем Меркурий может  столкнуться с Венерой или  даже покинуть Солнечную систему. Может показаться, что теория хаоса не может найти применения в науке или повседневной жизни. Однако это не так. К числу наиболее перспективных применений теории относится «хаотическое управление». Неустойчивость системы может быть использована: ведь желаемый эффект по изменению таких систем может быть достигнут очень малым возмущением.     

Может показаться, что теория хаоса не может найти применения в науке  или повседневной жизни. Однако это  не так. К числу наиболее перспективных  применений теории относится «хаотическое управление». Неустойчивость системы  может быть использована: ведь желаемый эффект по изменению таких систем может быть достигнут очень малым  возмущением. Например, в 1985 году NASA отправило  космический зонд на встречу с  кометой Джакобини—Циннера. Он пять раз облетел Луну, используя хаотичность  взаимодействия трех тел, позволяющую  совершать большие изменения  траектории с малыми затратами топлива.    

Схема использования неустойчивости для  управления хаотическими системами  применялась во многих областях. Например, для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создания «интеллектуального» стимулятора сердечного ритма. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров, управления биотоками мозга и сглаживания турбулентного течения жидкости (способен уменьшить расход топлива самолетами).

Инструмент теории  хаоса - аттрактор

Инструментом, которым располагает теория хаоса, является аттрактор.

Аттрактор (от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства.

Итак, фазовое пространство - это абстрактное  пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две  степени свободы. Это движение полностью  определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет  замкнутая кривая.

По  простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым  типом аттрактора является точка. Такой  аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в  состояние покоя, т.е. в точку. Следующим  типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой  кривой линии.

Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора - тор.

Несмотря  на сложность поведения хаотических  аттракторов, иногда называемых странными  аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме  и соответственно предсказывать  его. И хотя нахождение системы в  конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически  невозможно, область нахождения объекта  и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором  стал аттрактор Лоренца.

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы  и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система  Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному  накоплению ошибок и соответственно их расхождению.

Вместе с тем, любой  аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может  продолжаться бесконечно.

Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее  очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения  простых предсказуемых аттракторов. Сходимость – расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.

При схождении траектории сближаются и начинает проявлять эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется  эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной  информации.

В результате постоянной сходимости – расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности  делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука – способностью устанавливать  связи между причинами и следствиями в хаотических системах невозможно.

Причинно – следственной связи между прошлым и будущем  в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения  является мерой хаоса, т.е. численным  выражением того, насколько система  хаотична. Другой статистической мерой  хаоса служит размерность аттрактора.    

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних  выделяют бифуркации, которые изучает  теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок.

 Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующие выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Динамические  переменные Xn принимают значения, которые  сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных  значений С итоговые значения могут  резко отличаться. Более того, расчеты  становятся некорректными, так как  начинают зависеть от случайных процессов  в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).      

Таким образом, состояние системы в  момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие  может привести к выбору дальнейшего  пути движения, а это, как мы уже  знаем, является главным признаком  хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

 Фейгенбаум установил универсальные  закономерности перехода к динамическому  хаосу при удвоении периода, которые  были экспериментально подтверждены для  широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало «дерево Фейгенбаума».

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой  стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные  природные явления. Так, поднимающийся  вверх дым сначала выглядит как  упорядоченный столб. Однако через  некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся  упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к  некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в  первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция  турбулентности дыма приближается к  хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

Движение бильярдного  шарика.     

Любой, кто, когда-либо брал в руки кий для  бильярда, знает, что ключ к игре - точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема заключается в пыли на столе или в нетвердой руке. Фактически, если используется компьютер для построения модели, содержащей бильярдный стол, не обладающий ни каким трением, нечеловеческим контролем точности позиционирования кия, все равно не удастся предсказывать траекторию шарика достаточно долго.

Насколько долго? Это зависит частично от точности компьютера, но в большей степени от формы стола. Для совершенно круглого стола, можно просчитать приблизительно до 500 положений столкновений с ошибкой около 0.1 процента. Но стоит изменить форму стола так, чтобы она стала хотя бы немножко неправильной (овальной), и непредсказуемость траектории может превышать 90 градусов уже после 10 столкновений!        

Как можно видеть форма стола, использованного  для этих экспериментов является основной частью аттракторных областей, которые повторяются последовательно  в уменьшающемся масштабе.

Области применения теории хаоса     

При появлении новых теорий, все хотят  узнать что же в них хорошего. Итак, что хорошего в теории хаоса?    

Первое  и самое важное, что теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание.

Теория хаоса является очень  хорошим средством взглянуть  на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому.

Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы  описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы.

Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть  на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.    

Теория  хаоса находит приложения в широком  спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу  турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким  и регулярным), либо турбулентным (сложным  и нерегулярным).

До появления теории хаоса существовали две конкурирующие  теории турбулентности. Первая из них  представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических  движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды  в молекулярных масштабах.

В 1970 математики Д. Рюэль и Ф. Такенс предложили третью версию: турбулентность - это хаос в  жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех  пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для  ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами.

Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении.    

Ранняя  работа Э. Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения  атмосферы, используемые при прогнозировании  погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом  состоянии подвержены "эффекту  бабочки", так что погода обычно не может быть предсказана более  чем на четыре или пять дней вперед - независимо от мощности используемых компьютеров.

Движение в Солнечной  системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов  лет, прежде чем какое-то изменение  станет непредсказуемым.

Хаос проявляет  себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя  направление оси собственного вращения.

Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных  сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса  объясняет также распределение  тел в поясе астероидов между  Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других - пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся  на расстояниях, образующих "резонансы" с Юпитером, т.е. период обращения каждого астероида составляет некую простую дробь с периодом обращения Юпитера. Например, в резонансе 2:3 период обращения астероида равен 2/3 периода обращения Юпитера. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие - неустойчивое (пустые промежутки). В частности, астероиды в резонансе 1:3 с Юпитером имеют неустойчивые орбиты и могут испытать возмущения, заставляющие их пересечь орбиту Марса, после чего они могут испытать дальнейшие возмущения и пересечь орбиту Земли.

В 1995 Ж. Ласкар установил, что на временных масштабах десятков миллионов лет вся Солнечная система хаотична. Однако хаос не делает все черты движения в Солнечной системе непредсказуемыми. Например, форма планетной орбиты может быть предсказуемой, однако точное положение планеты на орбите остается непредсказуемым.

Ласкар предсказал вероятное будущее  Солнечной системы в целом  на следующие несколько миллиардов лет. Согласно его вычислениям, ничего существенного не случится с орбитами внешних планет - Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона.

Орбиты Земли и Венеры тоже не претерпели бы существенных изменений, если бы не Марс, орбита которого изменится  настолько, что он едва не столкнется с Землей. Меркурий тоже приблизится  к Венере и будет либо выброшен из Солнечной системы, либо поменяется местами с Венерой. Хаос имеет место также в биологии и экологии.

В конце 19 в. было установлено, что  популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно  чередующиеся периоды быстрого роста  и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т. е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования.

В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и  обнаружения скрытых закономерностей  там, где прежде систему считали  случайной и никаких закономерностей  в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует. Одним из приложений этого подхода служит машина FRACMAT, обеспечивающая дешевую и быструю процедуру контроля качества пружинной проволоки. К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит "хаотическое управление".

В 1950 Дж. фон Нейман предположил, что  неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку  неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень  малым возмущением.

В 1990 С.Гребоджи, Э. Отт и Дж. Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини - Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать "интеллектуальный" стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости - метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.⁸    

Теория  хаоса имеет применение и в  современности. Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.