Роль математических методов в принятии эффективных управленческих решений при автомобильных перевозках

1. Роль математических методов в принятии эффективных управленческих решений при автомобильных перевозках. Виды моделей и эвристические методы решения.

Транспортная система – это совокупность реальных объектов и связей между ними, которые используются на определенной территории для выполнения перевозок.

Автомобильно-дорожный комплекс России (АДК) включает в себя: автотранспортные предприятия и транспортные средства; автомобильные дороги и организации, поддерживающие их в рабочем состоянии; организации, обеспечивающие ремонт и техническое обслуживание автотранспортных средств; организацию и систему контроля транспортными потоками на дорожной сети; места стыковки автомобилей с другими видами транспорта.

АДК России имеет все признаки большой сложной, динамической системы, так как включает наличие большого числа взаимодействующих подсистем и элементов, имеет иерархический характер построения (подчиненности), множественность функций, наличие управления, взаимодействие с окружающей средой и воздействие случайных факторов, большую размерность задач.

По мощности осваиваемых пассажиро- и грузопотоков отдельные транспортные подсистемы АДК принято подразделять на 7 групп (систем).

1. Микросистемы (маятниковые  маршруты с одним автомобилем  и

обратным холостым пробегом).

2. Особо малые   системы (кольцевые  и маятниковые маршруты  с одним автомобилем) различных  типов  с несколькими работающими  транспортными средствами.

3. Малые системы – кольцевые  и маятниковые маршруты различных  типов с несколькими работающими  транспортными средствами. Сюда  относятся небольшие транспортные  фирмы и транспортные отделы  фирм малого бизнеса.

4. Средние системы –  совокупность нескольких малых  систем. Сюда относятся, например, железобетонные  заводы, контейнерные станции, базы  снабжения вместе с транспортными  средствами и получателями товаров.

5. Большие системы –  сюда относятся автомобильные  парки и грузовые АТП с подвижным  составом и их маршрутами.

6. Особо большие системы  - автотранспортные тресты, производственные  управления и объединения.

7. Суперсистема включает  множество вышеуказанных систем, например Департамент автомобильного  транспорта России.

Автомобильные и транспортные процессы в вышеуказанных системах включают большое количество задач по управлению АДК, разработке технологических схем  организации перевозок, формированию систем оптимальных грузопотоков, маршрутизации перевозок, формированию сменно-суточных планов, выбору кратчайших путей движения, закреплению потребителей за поставщиками, транспортные задачи с запретами и по критерию  времени и так далее.

Для решений задач разрабатываются новые методики, базирующиеся на использовании новых технологий и методов расчета.

К таким новым технологиям относятся моделирование и использование моделей для решений задач управления и принятия решений. Во многих ситуациях они являются единственно возможным и эффективным методом, позволяющим получить ответ на поставленный вопрос.

Модель – это аналог, макет или иной вид отражения наиболее важных черт, свойств и результатов транспортных систем и процессов.

Адекватность модели – это свойство модели быть основой для прогнозирования событий, протекающих в транспортных системах и процессах, и давать подтверждаемые результаты.

Моделирование – это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта–оригинала с помощью объекта– модели.

Теория моделирования – это теория замещения одних объектов– оригиналов другими объектами (моделями) и исследования свойств объектов на их моделях.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все виды моделирования могут быть разделены: на детерминированные и стохастические; статические и динамические; дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается  отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастическое моделирование отражает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд  реализаций случайного процесса   и оцениваются средние характеристики.

Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, а непрерывное отражает непрерывные процессы в системах.

В зависимости от формы представления объекта (системы) можно выделить мысленное и наглядное моделирование.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные  наглядные модели, отображающие  явления и процессы, протекающие в объекте (механические, графические и другие).

При исследовании  транспортных процессов и систем на автомобильном транспорте наиболее широко используется математическое моделирование, являющееся разделом мысленного моделирования.

Под математическим моделированием понимают  установление соответствия данному реальному транспортному процессу или системе некоторого математического объекта, называемого  математической моделью и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального транспортного процесса и транспортной системы. 

Любая математическая модель, как и всякая другая описывает реальную систему и процесс лишь с некоторой степенью приближения к действительности.

При решении практических задач автомобильно-дорожного комплекса, как правило, не применяются строгие методы решений. Широко используются смекалка и интуиция инженерно-технического и управленческого персонала.

В модели реальных транспортных процессов и систем вносятся упрощающие допущения. Такой метод позволяет подобрать для решаемой задачи из набора средств современной математики приемлемый алгоритм и найти хотя бы приближенное решение.

Такие методы решений задач в условиях, когда нельзя точно определить границы их применения и оценить допустимые погрешности, называются эвристическими.

Преимущества математического моделирования перед другими видами (графическим, аналоговым, механическим и т.д.) заключаются в широком использовании математических моделей, низкой стоимости их создания, быстром получении результатов исследований, возможности проведения расчетных экспериментов и проверки правильности построения модели.

Конечно, математическая  модель всегда является упрощенной, однако она является достаточно наглядной и позволяет адекватно описать транспортную систему и транспортный процесс.

Математическое моделирование при решении задач АДК можно разделить на оптимизационное (аналитическое) и имитационное. Соответственно математические модели  можно разделить на аналитические и имитационные.

Составление аналитической модели является первым этапом процесса оптимизационного (аналитического) моделирования. К аналитическим моделям относятся математические модели, в которых поведение системы или течение процессов записаны в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегрально-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Аналитические модели применяются обычно в системах малой и средней сложности, а также для анализа отдельных подпроцессов в более сложных системах.

Аналитические модели, как и любые математические или табличные, являются количественными моделями принятия решений. Они задают связи между переменными решениями  и параметрами и вычисляют показатель эффективности, а также результирующие  переменные. Однако данные модели не могут точно дать ответ на поставленный вопрос, поскольку точно не определена цель. В оптимизационном моделировании необходимо максимизировать (минимизировать) некоторый показатель эффективности, зависящий от переменных решений, которые подчиняются ряду ограничений. Это  достижение   наилучшего  из  возможных результатов  при наличии существующих ограничений  является одним из наиболее активно развивающихся направлений исследований в науке управления.

Существуют несколько надстроек для программы Excel, предназначенных для оптимизации моделей при наличии ограничений.

Аналитическая модель в общем виде описывается уравнением (1.1), связывающим зависимую переменную величину у, называемую также параметром оптимизации, результативным признаком, или функцией отклика, с другими  одной или несколькими независимыми меняющимися величинами x1, x2…xn, называемыми также факториальными величинами, факторами, или аргументами.

Имитационные модели – это модели более высокого уровня по сравнению с аналитическими.

Имитационные модели содержат отдельные подпроцессы, которые не могут быть описаны функциональными соотношениями, используемыми для аналитических моделей. Для их описания используются экспертные и кибернетические методы, а также опытные данные. Эти модели используются для анализа и расчета процессов и систем большой сложности.

 Имитационной моделью  называется также специальный  программный комплекс, который позволяет  имитировать деятельность какого-либо  сложного объекта. Он запускает  в компьютере параллельные взаимодействующие  вычислительные процессы, являющиеся  по своим временным параметрам (с точностью до масштабов времени  и пространства) аналогами исследуемых  процессов. В странах, занимающих  лидирующее положение в создании  новых  компьютерных систем и  технологий, научное направление  Computer Science использует  именно такую трактовку  имитационного моделирования.

Во многих случаях имитационный эксперимент является единственным способом описания реальных сложных систем, поскольку процессы, протекающие в таких системах, являясь многокритериальными, связаны, кроме того, с длительными временными интервалами.

Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы систем, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и другие, которые  часто создают трудности при исследованиях на аналитических моделях.

Методология имитационного моделирования основана на воспроизведении реальных или гипотетических бизнес-процессов в специальной компьютерной среде, образующей виртуальный мир предприятия, организации, производства и любого другого объекта управления.

Эта технология появилась в 60-х г. XX в.,  и на протяжении многих лет  она не только остается одной из основных в исследовании операций, но и бурно развивается  в области реинжиринга, бизнес-процессов и новых направлений искусственного интеллекта.

Имитационное моделирование – это чисто компьютерная работа, которую  невозможно выполнить подручными средствами. Поэтому часто для этого вида моделирования используется синоним   компьютерное моделирование. 

Имитационную модель нужно создавать. Для этого необходимо специальное программное обеспечение – система моделирования (simulation  system). Специфика такой системы определяется технологией работы, набором языковых средств, сервисных программ и приемов моделирования.

В общем случае, с точки зрения специалиста в области информационных технологий, имитационное моделирование  контролируемого процесса или управляемого объекта – это высокоуровневая  информационная технология, которая обеспечивает два вида действий, выполняемых с помощью компьютера:

1. работу по созданию или модификации имитационной модели;

2. эксплуатацию имитационной модели и интерпретацию  результатов.

Имитационное моделирование как особая информационная технология состоит из следующих основных этапов:

1. Структурный анализ процессов. Проводится формализация структуры сложного реального процесса путем разложения его на подпроцессы, выполняющие  определенные функции и имеющие взаимные функциональные связи согласно легенде, разработанной рабочей экспертной группой. Выявленные подпроцессы в свою очередь могут разделяться на другие функциональные подпроцессы. Структура общего моделируемого процесса может быть представлена в виде графа, имеющего иерархическую многослойную структуру.

имитационной модели; функции, выполняемые каждым подпроцессом; условия взаимодействия всех подпроцессов и особенности поведения моделируемого процесса (временная, пространственная и финансовая динамика) должны быть описаны на специальном языке для последующей трансляции. Для этого существуют различные способы:

Описание вручную на языке типа GPSS, Pilgrim и даже на Visual Basic. Последний очень прост, на нем можно запрограммировать  элементарные модели, но он не подходит для разработки реальных моделей сложных экономических процессов, так как описание модели средствами Pilgrim компактнее аналогичной  алгоритмической модели на Visual Basic в десятки –сотни раз;

Автоматизированное описание с помощью компьютерного графического конструктора во время проведения структурного анализа, т.е. с очень незначительными затратами на программирование. Такой конструктор, создающий описание модели, имеется в составе системы моделирования в Pilgrim.

2. Построение модели (build). Обычно это трансляция и редактирование связей (сборка модели), верификация (калибровка) параметров.

Трансляция осуществляется в различных режимах:

- интерпретации, характерной  для систем типа GPSS, SLAM-11, Rethink;

• компиляции (характерен для системы Pilgrim).

Каждый режим имеет свои особенности.

Режим интерпретации  проще  в реализации. Специальная программа– интерпретатор на основании формализованного описания модели запускает все имитирующие программы. Данный режим не приводит к получению отдельной моделирующей программы, которую можно было бы передать или продать заказчику (продавать пришлось бы и модель, и систему моделирования, что не всегда возможно).

Режим компиляции сложнее реализуется при создании моделирующей системы. Однако это не усложняет процесс разработки модели. В результате можно получить отдельную моделирующую программу, которая работает независимо от системы моделирования в виде отдельного программного продукта.

Верификация (калибровка) параметров модели выполняется в соответствии с легендой, на основании которой построена модель, с помощью специально выбранных тестовых примеров.

3. Проведение экстремального эксперимента для оптимизации определенных параметров  реального процесса.

Объектами имитационного моделирования могут быть крупные системы, например автомобильно-дорожный комплекс субъекта России. Такой объект задается на карте административного деления области, края или республики схемами ее автомобильных дорог, мест стыка с другими видами транспорта, обслуживающих производств, местами входа и выхода транзитного транспорта.

Многочисленными исследованиями доказано, что, чем меньше будет выполняться транспортной продукции, измеряемой в т.км, тем лучше для данного региона. Это связано с тем, что сокращение транспортной работы сопровождается снижением транспортных затрат и уменьшением потребности в транспортных средствах. Поэтому перевозки грузов во всех отраслях народного хозяйства должны осуществляться по возможности на короткие  (оптимальные) расстояния.

Из теории известно, что максимальную производительность однотипного подвижного состава можно получить на том маршруте, где будут минимальные затраты времени. Однако критерий, по которому находят оптимальное решение, определяется не только затратами времени, а той целью, которую необходимо достигнуть при решении задачи оптимального варианта проезда. Наиболее часто в качестве критерия принимается минимум суммарного пробега, так как при одинаковых условиях движения на всех участках маршрута план, оптимальный по пробегу, будет оптимальным по затратам времени и стоимости.

Не применяя никаких вычислений, кратчайший путь между двумя пунктами можно выбрать в том случае, если они находятся в пределах видимости. Если же они достаточно удалены друг от друга, то возникают различные варианты передвижения.    

После составления математической модели разрабатываются методы ее решения. Эти методы должны позволить найти оптимальное решение задачи и составить программу (план), обеспечивающую оптимальное использование ресурсов. Обязательным условием при этом является наличие нескольких альтернативных решений задачи, из которых выбирается наилучший вариант.

На автомобильном транспорте математика используется достаточно широко: для составления оптимальных  схем грузопотоков с целью минимизации расстояний  перевозки грузов, распределения клиентуры между автотранспортными предприятиями, распределения автобусных маршрутов между автобусными предприятиями, для снижения нулевых пробегов транспортных средств, маршрутизации перевозок с целью минимизации непроизводительных порожних пробегов автомобилей при перевозке грузов, минимизации времени доставки грузов клиентам; определения кратчайших путей между пунктами и другие.

Задачи на экономический оптимум известны давно, однако их решение стало возможным после разработки специальных математических методов, наз-

ванных математическим программированием.

Математическое программирование объединяет несколько видов программирования. Наиболее широко применяются следующие виды:  корреляционно-регрессионный анализ; линейное, динамическое, целочисленное  программирование; сетевое планирование;     теория массового обслуживания; диперсионный анализ.

Корреляционно-регрессионный анализ является важнейшим элементом моделирования. Корреляционный анализ позволяет исследовать взаимосвязи показателей и, что очень важно, оценить силу этой связи. При этом исходят из того, что изучаемое явление имеет случайный, вероятностный характер и подчинено статистическим законам. С помощью корреляционного анализа можно построить математическую модель закономерности  изменения основного показателя в связи с изменениями факторов, на него влияющих. Эту закономерность называют регрессией, а анализ  ее свойств регрессионным  анализом. Метод корреляционно-регрессионного анализа позволяет решать задачи как в линейной, так и в нелинейной трактовке.

Линейное программирование является наиболее разработанным видом. Задачи линейного программирования описывают линейные, пропорциональные зависимости между рассматриваемыми величинами. Переменные в   соответствующие выражения входят в 1-й степени. Математическая модель задачи линейного программирования включает в себя линейную целевую функцию, линейные ограничения на используемые ресурсы, переменные величины. Целевая функция строится на основе выбранного  критерия оптимальности.

.Динамическое  программирование используется при решениях задач, параметры которых меняются во времени, т.е. имеют динамический характер. Процесс решения таких задач  распадается на несколько этапов. На каждом этапе определяется оптимальное решение для части неизвестных, которое служит исходным условием для определения оптимального решения следующего этапа. Оптимальный план последнего этапа является оптимальным решением всей задачи.

Целочисленное  программирование предполагает решение задачи только в целых числах.

Теория массового обслуживания применяется для оптимизации процессов, носящих стохастический, случайный характер. К таким задачам относятся автомобильные перевозки, работа пунктов погрузки и другие, которые можно рассматривать как систему массового обслуживания. Теория массового обслуживания является одним из разделов теории вероятностей,  выделившимся в последние годы в самостоятельный раздел математики.

Корреляционно-спектральный анализ используется в теории массового об-служивания для проектирования вероятностных временных моделей доставки    грузов. 

     Сетевое  планирование и управление – эффективный метод календарного пла-

нирования и управления. Сетевой график используется в качестве информационной динамической модели, отражающей процесс выполнения как-

ого либо комплекса работ и его конечную цель.

      Дисперсионный анализ позволяет выполнять качественный анализ транспортных процессов и определять являются ли средние арифметические

значения параметра оптимизации, получаемые при различных уровнях факто-

ров, одинаковыми или их следует считать различными. Сутью дисперсионного

анализа является разложение суммарной дисперсии на составляющие – общую,

факторную и остаточную с дальнейшим решением задач математической стати-

стики 

Критерий оптимальности – это признак, по которому  мы хотим оптимизировать процесс или систему. Этот критерий оптимальности должен быть количественным, т.е. задаваться числом, должен быть универсальным или полным, всесторонне характеризовать транспортный процесс и систему, должен иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым. Важным является требование, чтобы критерий отражал потребительские качества и свойства процесса и системы.

Таким образом, выбор критерия оптимальности при разработке математической модели является важной  и трудной задачей, но без правильного выбора  этого критерия эффективное решение задачи невозможно.

В качестве критерия оптимальности и качества работы транспортных систем часто используются показатели производительности т·км и пасс. км в единицу времени. В различных задачах на оптимизацию транспортных процессов используются показатели максимальной прибыли, минимальных издержек или приведенных затрат на эксплуатацию подвижного состава. При оценке работы пассажирских транспортных систем используются показатели затрат времени пассажиров на трудовое передвижение в один конец, регулярности движения на маршрутах, скорости движения. Оценкой качества и оптимальности городской пассажирской транспортной системы может служить время подхода пассажиров к остановкам транспорта. При решении задач грузовых перевозок критериями оптимальности могут выступать показатели времени затрат на перевозку, величины холостых и нулевых пробегов и так далее.

2. Понятие корреляционно-регрессионный анализ.

Корреляция в переводе с латинского обозначает соответствие или взаимосвязь. Корреляционная зависимость отражает связь между величинами, когда определенным значениям факториальных величин соответствует много значений зависимой величины.

Корреляционный анализ в задачах моделирования транспортных процессов и систем имеет фундаментальное значение, так как теснота корреляционной связи определяет структуру модели. Высокая и полная  корреляционная связь требует объединения величин. Отсутствие или слабость корреляционных связей позволяют рассматривать величину как независимую.

Во многих случаях выбор независимых величин на базе исследования их корреляционных связей требует дополнительного экспертного исследования и решения.

Например, при формировании имитационной модели независимость источников грузопотоков между собой, а также и получателей грузов между собой требует корреляционного анализа. При наличии зависимости (например, дополнительных перевозок грузов между источниками грузопотоков) требуются изменение структуры имитационной модели, учет этих связей.

Корреляционная связь между двумя переменными изучается с помощью парной корреляции. О тесноте корреляционной связи можно судить по характеру расположения точек на графике, связующем переменные х и у. Такой график называется полем корреляции. Разброс точек по всему полю свидетельствует об отсутствии корреляции (рис. 1,а), рис. 1,б свидетельствует о слабой умеренной корреляции, рис. 1,в - о полной корреляции.

Численное значение корреляционной связи оценивается коэффициентом корреляции  r.

Задачей регрессионного анализа является установление вида зависимости параметра оптимизации у от факториальных величин х1, х2…хn). Указанная зависимость называется уравнением регрессии. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет прогнозировать развитие рассматриваемого явления и решать задачу построения модели и ее оптимизации. Регрессионный анализ введен в практику расчетов английским математиком и механиком У.Р. Гамильтоном в 1840-х годах.

Рис.1. Поле корреляции

При проведении регрессионного анализа применяются понятия парных и множественных коэффициентов регрессии. Рассмотрение расположения точек на поле позволяет говорить о слабой корреляционной зависимости, что если для каждой величины х найти средние значения у и соединить эти точки,  то получится ломанная линия, называемая опытной линией регрессии. Очевидно, что полученная линия является следствием ошибок замеров, недостаточного их количества, дискретности графика. По мере увеличения числа данных (увеличения объема выборки) ломаная линия асимптотически приближается к какой-то плавной кривой. Поскольку объем данных всегда ограничен, то возникает задача аппроксимации опытной линии регрессии теоретической функцией. Функция, аппроксимирующая опытную ломаную линию, называется теоретической линией регрессии.

3. Модели линейного программирования в решении задач автомобильных перевозок – основные понятия, графоаналитический и симплексный методы.

Линейное программирование – это наиболее разработанный раздел математического программирования,  с помощью которого выполняются анализ и решение экстремальных задач с линейными связями и ограничениями.

Линейное программирование включает в себя целый ряд эвристических (приближенных) методов решения, позволяющих при заданных условиях из всех возможных вариантов решений производственных задач выбрать наилучший, оптимальный. К этим методам относятся следующие – графический, симплексный, метод потенциалов (модифицированный распределительный метод – МОДИ), Хичкова, Креко, метод аппроксимации Фогеля и другие.

Часть этих методов объединяют общим названием - распределительный, или транспортный, метод.

Родиной линейного программирования является Россия. Первые работы по линейному программированию будущим академиком Л.В. Канторовичем были опубликованы в 1939 г.  В 1975 г. за разработку методов линейного программирования им была получена Нобелевская премия по экономике. Поскольку большинство работ академика Л.В. Канторовича посвящено решению транспортных задач, можно считать, что указанная Нобелевская премия отмечает и заслуги российской транспортной науки.

На автомобильном транспорте методы линейного программирования используются с 1960-х годов для решения большого числа важнейших производственных задач, а именно: сокращение дальности перевозок грузов; составление оптимальной схемы перевозок; выбор кратчайших маршрутов движения; задачи перевозки разных, но взаимозаменяемых грузов; сменно-суточное планирование; планирование перевозок мелкопартионных грузов; распределение автобусов по маршрутам и другие.

Особенности модели линейного программирования заключаются в следующем:

- целевая функция и  ограничения выражены линейными  зависимостями (равенствами или  неравенствами);

- число зависимостей всегда  меньше числа неизвестных (условие  неопределенности);

-неотрицательность искомых  переменных. Общая форма записи  модели линейного программирования  в сокращенном виде выглядит  следующим образом:

- найти хij ≥ 0 (j = 1, 2…n) при ограничениях следующего типа:

                    .

Эти ограничения минимизируют (или максимизируют) целевую функцию

min (max).

Стандартной формой записи модели линейного программирования является система линейных уравнений, записанная в канонической форме, т. е. в форме линейных равенств, в неотрицательных числах: