Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра

Министерство образования  и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный  университет имени первого Президента РФ Б.Н. Ельцина

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра механики и математического  моделирования

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра.

 

 

 

 

 

Исполнитель:

 

 

 

 

Екатеринбург 2011

Подвижная и неподвижная центроиды.

Геометрическую картину  движения плоской фигуры в её плоскости  можно представить с помощью  так называемых центроид. При движении плоской фигуры положение мгновенного центра вращения будет непрерывно изменяться как на неподвижной плоскости, так и на плоскости, связанной с движущейся фигурой.

Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости есть, следовательно, непрерывная кривая, которая называется неподвижной центроидой (или неподвижной полодией). Геометрическое место мгновенных центров вращения на подвижной плоскости, связанной с движущейся фигурой, есть также непрерывная кривая, которая называется подвижной центроидой (или подвижной полодией). 1

При плоском движении твердого тела подвижная центроида катится  без скольжения по неподвижной. Точка  соприкосновения подвижной и  неподвижной центроид является в  данный момент мгновенным центром скоростей. Центроиды можно определить геометрическим построением или аналитически.

Геометрический способ нахождения подвижной и неподвижной центроид заключается в следующем. Для  произвольного положения плоской  фигуры или механизма находится  мгновенный центр скоростей (точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю,  находится как пересечение перпендикуляров к направлениям каких-нибудь двух точек фигуры). Далее, из построения определяется геометрическое место мгновенных центров при заданном движении плоской фигуры, как по отношению к неподвижной системе координат, так и по отношению к осям, жестко связанным с движущейся фигурой.

Аналитическое определение подвижной  и неподвижной центроид производится при помощи формул, дающих значение координат мгновенного центра скоростей. Координаты мгновенного центра скоростей в неподвижной системе осей выражаются так:

                                                          (1)

                                                             (2)

Координаты мгновенного  центра скоростей в системе координат  жестко связанных с плоской фигурой, определяются формулами:

                                                   (3)

                                                    (4)

В этих формулах  ,   - координаты полюса, начало подвижной системы координат,   ,  - проекции скорости полюса на неподвижные оси,  - угол поворота подвижной системы координат по отношению к неподвижной, - проекция угловой скорости плоской фигуры на ось z, перпендикулярную к плоскости, в которой происходит движение.

Переменные, находящиеся  в правой части этих формул, являются явными функциями времени или  выражаются через параметры, зависящие  от времени. Решая совместно уравнения (1) , (2) и ,исключая время, находим уравнение неподвижной центроиды.  Решаем систему уравнений (3), (4). Исключая время, определяем зависимость между координатами , , то есть уравнение подвижной центроиды в явной форме.

В некоторых задачах для нахождения уравнений неподвижной и подвижной центроид удобнее пользоваться полярной системой координат.

При решении задач  на определение подвижной и неподвижной  центроид рекомендуется следующая  последовательность действий:

    1. выделить плоскую фигуру, для которой требуется найти подвижную и неподвижную центроиды;
    2. выбрать 2 системы координат, неподвижную и подвижную, жестко связанную с движущейся плоской фигурой;
    3. найти построением или пользуясь формулами (1), (2) мгновенный центр скоростей для произвольного положения плоской фигуры;
    4. составить зависимость координат мгновенного центра, исключив переменный параметр и найти уравнение неподвижной центроиды в явном виде;
    5. решив совместно уравнения, выражающие координаты мгновенного центра, исключить переменный параметр и найти уравнение неподвижной центроиды в явном виде;
    6. пользуясь формулами (3), (4) или геометрическим построением мгновенного центра скоростей, составить зависимость координат мгновенного центра скоростей в подвижной системе координат от какого-либо переменного параметра движения;
    7. решив совместно эти уравнения и исключив переменный параметр, определить уравнение подвижной центроиды в явном виде.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.3

Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа ОА=r, вращающегося вокруг неподвижной точки О, шатуна AB=l и ползуна B, перемещающегося по горизонтальной прямой Ox. Угол поворота кривошипа , где k – постоянный коэффициент.

Исследовать поведение  подвижной и неподвижной центроид при изменении геометрического параметра l.

Решение.

 

Начало неподвижной  системы координат Oxy выбираем в т. О. Для подвижной системы осей начало берем в т. А, направляем вдоль шатуна AB.  Геометрически отметим мгновенный центр скоростей P.

Координаты точки А:

                                              (5)

Проекции её скорости на неподвижные оси координат:

                                                        (6)

Выразим ординату точки А через угол поворота шатуна, чтобы найти его угловую скорость:

                               (7)

Продифференцируем последнее равенство, учитывая, что

                                         (8)

Отсюда

                                                 (9)

Найдем  из треугольника BNA:

                                                      (10)

Тогда

                                                  (11)

 

Подставляем полученные значения в (1) и (2) , (3) и (4):

                      (12)

 

       (13)

    

 

 

 

Находим уравнение неподвижной  и подвижной центроид в параметрической форме:

                                       (14)

 

                      (15)

 

Пусть k=1, r=5. Построим подвижную и неподвижную центроиды, когда

    и     l > r

                                                                                                                     (рисунок 1.1)

   

 

 

 

                                                                                                                     (рисунок 1.2)

 

 

                                                                                                                       (рисунок 1.3)

 

                                                                                                      (рисунок 1.4)

 

 

 

Из построения видно, что длину шатуна взять больше, чем длина кривошипа  r и постепенно её уменьшать до r, то кривые центроид сомкнуться в окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.4

Стержень AB длины l скользит по двум прямым OA и OB, образующими между собой угол .

Исследовать поведение  подвижной и неподвижной центроид при изменении геометрического  параметра , .

Решение.

 

Начало неподвижной системы координат Oxy  выбираем в т. О. Для подвижной системы осей начало берем в т. (серединa стержня AB), направляем вдоль стержня AB. - угол между стержнем AB и прямой OA. Геометрически отметим мгновенный центр скоростей P.

PC перпендикулярно AB.

Заметим, что  !

Для определения зависимости  между координатами неподвижной  центроиды запишем теорему синусов

для треугольника AOB:

                                                           (16)

 

и для треугольника APB:

                                                          (17)

Отсюда

                                                   (18)

Тогда уравнение неподвижной  центроиды будет иметь вид:

                                                (19)

Для определения зависимости  между координатами подвижной центроиды рассмотрим

треугольник APC:

                                         (20)

отсюда 

                                             (21)

и треугольник CPB:

                               (22)

Преобразуем:

                           (23)

    (24)

 

 

Подставим (21) в (24):

        (25)

Преобразуем и получим уравнение подвижной центроиды:

                                (26)

Пусть 1=10. Построим подвижную и неподвижную центроиды, зафиксировав момент времени, когда при различных

                                                                                                                         (рисунок 2.1)

 

 

                                                                                                                (рисунок 2.2)

                                                                                                                (рисунок 2.3)

 

                                                                                                                (рисунок 2.4)

 

Из построения видно, что обе кривые не меняют вида, в  зависимости от параметра  , меняется только размер окружностей центроид.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.5

Стержень согнутый в виде прямого угла ABC перемещается так, что точка А движется по оси x, а сторона BC все время проходит через неподвижную точку D на оси y. AB=OD=a.

Исследовать поведение  подвижной и неподвижной центроид при изменении геометрического параметра a.

Решение.

 

 

 

Начало подвижной системы  координат возьмем в точке B, направляем по BA.

Отметим геометрически  мгновенный центр скоростей P.

Заметим, что прямоугольные  треугольники ABE и OED равны, так как

равны углы AEB и OED и AB=OD, а поэтому из равенства треугольников APE и PED имеем, что PD=AP=

Тогда из треугольника PDK имеем:

                                     (27)

 

И уравнение неподвижной центроиды примет вид:

                                                            (28)

 

Построив теперь координаты P в подвижной системе координат будем иметь:

                                                             (29)

Проведем отрезок AL параллельный BD, тогда

Тогда из треугольника APL имеем:

                                (30)

И уравнение подвижной  центроиды примет вид:

                                                 (31)

Построим подвижную  и неподвижную центроиды, рассматривая момент времени, когда динамический параметр угол EMO= будет равным, к примеру, , а геометрический параметр a будем менять.

 

 

 

 

                                                                                                                                (рисунок 3.1)

 

 

 

                                                                                                                            (рисунок 3.2)

 

 

                                                                                                                             (рисунок 3.3)

 

 

 

                                                                                                                             (рисунок 3.4)

 

 

Из построения видно, что обе центроиды, в зависимости от параметра а не меняют вида, оставаясь параболами, изменяется положение вершин и их ширина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.

Код из пакета Matthcad для задачи 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2.

 

Код из пакета Matthcad для задачи 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3.

Код из пакета Matthcad для задачи 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

Бухгольц, Н. Н. (2009). Основной курс теоретической механики. Санкт-Петербург-Москва-Краснодар: "Лань".

М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. (1964). Теоретическая механика в примерах и задачах. Москва: "Наука".

Мещерский, И. В. (1986). Сборник задач по теоретической механике. Москва: "Наука".

 

1

Бухгольц, Н. Н. (2009). Основной курс теоретической механикию.  Кинематика, статика. Динамика материмальной точки. Санкт-Петербург-Москва-Краснодар: "Лань".

2 М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон, 1964, том 1

3 (Мещерский, 1986)  Задача 17.10

4 (Мещерский, 1986) Задача 15.6

5 (Мещерский, 1986) Задача 18.20


Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра 📙 Курсовая → 🆔 96323

Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра 📙 Курсовая → 🆔 96323

Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра