Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

КУРСОВАЯ РАБОТА

Научный руководитель ___________________________________________________ ___Александрова Т.А.____

Подпись, дата инициалы, фамилия

Студент группы ____________ _________________________________________ ___Фомина А.Ю.______

Код (номер) группы Подпись, дата инициалы, фамилия

Лесосибирск 2013

Содержание

Введение ……………………………………………………………………………

Глава I. Теоретический аспект ……………………………………………………

1. Понятие прямой и обратной пропорциональности …………………………..

2. Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе ………………………………………………………………………………

Глава II. Практический аспект …………………………………………………

Методика обучения решению задач с пропорциональными величинами в программе «Школа 2100».
Фрагменты уроков

Заключение……………………………………………………………………….

Список литературы………………………………………………………………

Введение

Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. В математике часто приходится рассматривать три величины, одна из которых равна произведению двух других. Тройки таких величин постоянно встречаются при решении практических задач. Напомним некоторые из них: 1) Нахождение пути при равномерном движении, если известны скорость и время; 2) Определение стоимости товара, если известны его цена и количество; 3) Вычисление объёма работ, если известны производительность труда и время работы, и т.д. Все перечисленные виды задач решаются уже в начальной школе. Поэтому учитель начальных классов должен быть подготовлен к рассмотрению различных зависимостей между величинами.

Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости является важным шагом на пути к введению понятия функциональной зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций. Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученные учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Цель: Описание методики изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе.

Объект: Организация учебной деятельности в процессе изучения прямой и обратной пропорциональности.

Предмет: Понятия прямой и обратной пропорциональности.

Задачи:

Дать характеристику понятиям прямой и обратной пропорциональности при решении задач по математики в начальной школе;
Описать методику изучения прямой и обратной пропорциональности.
Проанализировать содержание учебных программ для начальной школы и материал учебников по математике на предмет содержания в них задач на прямую и обратную пропорциональность.
Разработать методические рекомендации по использованию задач на прямую и обратную пропорциональность в начальной школе.

Методы исследования: анализ научной, научно-методической и психолого-педагогической литературы; описательный и опытно-экспериментальный.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении определяются объект и предмет исследования, формулируются цель, задачи, методы исследования.

В первой главе – «_____________________________» - рассматриваются основные понятия, теоретическая основа данной работы.

Во второй главе – «_______________________________» - рассматривается практический аспект курсовой работы. Здесь представлены фрагменты уроков с использованием задач на прямую и обратную пропорциональность.

В заключении подводятся итоги проделанной работы.

Глава I. ________________________________________

1.1 Понятие прямой и обратной пропорциональности.

Прямая пропорциональность.

Математическая запись зависимостей между величинами выражается равенством y=z∙x. Если одна из переменных x или y постоянна (пусть z=k=const), то получается равенство вида y=k∙x. В этом случае говорят, что величина y прямо пропорциональна величине x.

Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана с помощью формулы вида y=k∙x, где x-независимая переменная, а k- действительное число, неравное нулю.

Число k при этом называют коэффициентом пропорциональности.

Пусть x1 и x2 ≠ 0 – два различных значения переменной x, тогда y1 = k x1 , y2 = k x2 . Так как x2 ≠ 0 и k ≠ 0, то y2 ≠ 0. Тогда y1 / y2 = x1 / x2 .

Установленное свойство называют основным свойством прямой пропорциональности.

Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так:

во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной у.

Областью определения функции у = kх является множество всех действительных чисел R.

При k > 0 функция у = kx монотонно возрастает на всей области определения, а при k < 0 монотонно убывает. Функция является нечетной, значит, график ее симметричен относительно начала координат. Известно, что графиком уравнения у = kx является прямая линия, проходящая через начало координат и имеющая угловой коэффициент k (Рис.1). Таким образом, коэффициент пропорциональности k совпадает с угловым коэффициентом графика функции у = kx.

Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно знать одну пару (x0 , y0 ) ( x0 ≠ 0 , y0 ≠ 0) соответствующих значений. Тогда из равенства y0 = k x0 легко находим k = y0 / x0 .

Знание прямой пропорциональной зависимости позволяет использовать ее при решении задач в начальной школе. Так, при постоянной скорости пройденный путь у прямо пропорционален времени движения x, причем коэффициентом пропорциональности k является скорость. Аналогично, при постоянной цене товара его стоимость у прямо пропорциональна количеству товара x, а коэффициентом пропорциональности k является цена.

Более общей, чем прямая пропорциональность, является линейная зависимость между величинами.

Рис.1

Рассмотрим следующую задачу: «До перерыва работница упаковала вручную 20 коробок карандашей, а потом перешла на автомат, выпускающий 50 коробок в час. Сколько коробок выпустит упаковщица за смену, если проработает на автомате 2 ч? 3 ч? 4 ч?».

Очевидно, что зависимость между выполненным объемом работы у и временем работы упаковщицы на автомате х выражается формулой у = kх + Ь, где b = 20 кор., а k = 50 кор./ч.

Свойства прямой пропорциональности:

Областью определения функции y=kx является множество действительных чисел R;
График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения (при k<0, соответственно, убывает на всей области определения).
Если функция f – прямая пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y1/y2.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее ему положительное значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Обратная пропорциональность.

Возвращаясь к равенству y=zx, выражающему зависимость между тройками величин, зафиксируем теперь y, положив его равным k=const. Тогда z и x будут связаны соотношением k=z·x, или z=k/x . В этом случае говорят, что величины x и z находятся в обратно пропорциональной зависимости.

Примерами величин, находящихся в обратно пропорциональной зависимости, являются: скорость и время при постоянном расстоянии; цена и количество товара при постоянной стоимости; производительность труда и время при постоянном объёме работы; длина и ширина при постоянной площади прямоугольника и т.д.

Обратная пропорциональность – это функция, которая может быть задана при помощи формулы y=k/x, где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = k/x связано с переменными x и y, произведение которых равно некоторому действительному числу, не равному нулю.

Пусть x1 и x2 ≠ 0 – два различных значения переменной x, тогда y1 = k/ x1, y2 = k/ x2 . Так как y1 ≠ 0 и y2 ≠ 0, то можем записать y2 / y1= k / x2 :k / x1= k x1 / k x2 = x1 / x2 . Итак, y2 / y1 = x1 / x2. Это свойство называют основным свойством обратной пропорциональности.

Если значениями переменных x и y являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так:

Во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз уменьшается (увеличивается) значение переменной y .

Функция y = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Если купили 12 кг муки и разложили её в x банок по y кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде x·y = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k =12.

Свойства обратной пропорциональности:

Областью определения и областью значений функции y=k/x является множество действительных чисел R, отличных от нуля.
График прямой пропорциональности – гипербола.
При k<0 функция y=k/x возрастает на всей области определения и ветви параболы направлены вверх (при k>0, соответственно, убывает на всей области определения, ветви - вниз). (Рис.2).

Рис.2.

Если функция f – обратная пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y2/y1.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа, то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно воспользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.

1.2 Методика изучения прямой и обратной пропорциональности.

Учащиеся начальных классов не изучают в общем виде ни прямую пропорциональность, ни обратную. Однако при решении текстовых задач они встречаются с конкретными случаями таких зависимостей. Обучая детей, учитель не только использует их представления о зависимостях между конкретными величинами, но и уточняет и углубляет эти представления. Поэтому сам учитель должен владеть общим подходом к решению задач с пропорциональными величинами, а он основан на определении прямой и обратной пропорциональности и их свойствах.

В курс математики начальных классов включены составные задачи (составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других) ,

которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями.

Процесс решения составной задачи проходит в несколько этапов:

- ознакомление с содержанием задачи,

- анализ условия задачи,

- поиск плана решения задачи,

- составление плана решения задачи,

- запись решения и ответа,

- работа над задачей после ее решения .

В начальной школе практикуются следующие формы записи решения составной задачи: по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением, уравнением, с помощью графической или схематической модели. Для более полного понимания школьниками составной задачи учитель может использовать и комбинированную форму записи решения.

Анализируя специальную литературу различных авторов, удалось выделить следующие методические приемы формирования умения решать задачи - фронтальная беседа; преобразование простой задачи в составную; составление условия по данному решению; решение задач с недостающими и избыточными условиями; изменение одного из данных задачи; интерпретация задачи в виде схемы или таблицы и др.

Этапы обучения решению составных задач можно отразить в следующей структуре:

- подготовительный (решение простых задач с недостающими данными; решение пар простых задач; постановка вопроса к данному условию; выработка умений решать простые задачи, входящие в составную),

- ознакомительный (решение задач в два действия, включающих простые задачи на нахождение суммы и на нахождение остатка или на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы; решение задач в два действия, включающих простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы и т.д.),

- закрепление (задания на решение и преобразование задач).

Составные задачи можно попытаться классифицировать по количеству арифметических действий необходимых для ее решения (в два, в три действия и т.п.), по конкретному содержанию задачи (на производительность, на движение и т.п.), по алгоритму решения (на простое тройное правило, на пропорциональное деление и т.п.) и др.

Составные задачи с пропорциональными величинами, среди которых особо можно выделить 3 типа составных задач: на нахождение четвёртого пропорционального; на пропорциональное деление; на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.

В задачах на нахождение четвёртого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений второй переменной величины. Второе значение величины является искомым. С каждым из групп пропорциональных величин можно составить 6 видов задач на четвёртое пропорциональное. 4 вида с прямопропорциональной зависимостью и 2 вида с обратной.

Задачи на пропорциональное деление.

В задачах на пропорциональное деление даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и сумма соответствующих значений другой переменной величины. Слагаемые этой суммы являются искомыми. С каждой из групп можно составить 6 видов задач на пропорциональное деление. В начальной школе изучаются только 4 из них, с прямопропорциональной зависимостью. Все задачи на пропорциональное деление решаются способом нахождения постоянной величины.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.

В задачах на нахождение неизвестных по двум разностям даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и разность соответствующих значений другой переменной величины. Компоненты этой разности являются искомыми. С каждой из троек величин можно составить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям. В начальной школе изучаются 2 из них с прямопропорциональной зависимостью.

В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращённая запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значениями величин записываются с помощью математических выражений, значительно облегчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.

Рассмотрим методику изучения данных задач:

1)Методика обучения решению составных задач на нахождение четвертого пропорционального.

Задача на нахождение четвертого пропорционального - это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым .

Особое внимание необходимо уделить классификации задач на нахождение четвертого пропорционального. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

Классификация задач на нахождение четвертого пропорционального:


№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым
2	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения
3	Даны два значения	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым
4	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная	Даны два значения
5	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная
6	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения	Постоянная

Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Основным способом решения задач такого вида в начальной школе - арифметический (нахождение значения постоянной величины и нахождением отношения двух значений одной величины), также практикуется и алгебраический способ решения (уравнением).

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.

Таблицы для решения задач на нахождение четвертого пропорционального:


№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Одинакова	А	С
		В	?
2	Одинакова	С	А
		?	В
3	А	Одинакова	С
	В		?
4	С	Одинакова	А
	?		В
5	А	С	Одинакова
	В	?
6	С	А	Одинакова
	?	В

Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального аналогичны как и в работе с другими задачами - подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин:

- цена, количество, стоимость;

- масса одного предмета, число предметов, общая масса;

- емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;

- выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка;

- расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.

2)Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление.

Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Классификация задач на пропорциональное деление. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

Классификация задач на пропорциональное деление:


№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Постоянная	Даны два значения	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым
2	Постоянная	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Даны два значения
	Даны два значения	Постоянная	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым
4	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Постоянная	Даны два значения
5	Даны два значения	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Постоянная
6	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Даны два значения	Постоянная

Способ решения - арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной суммы величин к сумме двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением).

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.

Таблицы для решения задач на пропорциональное деление:


№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Одинакова	А	? ? С
		Б
2	Одинакова	? ? С	А
			В
3	А	Одинакова	? ? С
	В
4	? ? С	Одинакова	А
			В
5	А	? ? С	Одинакова
	В
6	? ? С	А	Одинакова
		В

Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи.

Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе 📙 Курсовая → 🆔 126002