Моделирования короткого замыкания и расчетной схемы для формирования уравнений переходного процесса

Санкт-Петербургский  Государственный Политехнический  Университет

Электромеханический факультет

Кафедра «Электроэнергетические системы и сети»

 

 

 

 

Пояснительная записка 

по курсовой работе

 «Математические  задачи энергетики»

 

 

Вариант для моделирования  короткого замыкания №26

Вариант расчетной  схемы для формирования уравнений  переходного процесса №26

 

 

 

 

                     группа 3021/3

Выполнила: Ялилов Р.Ф.

Преподаватель: Кузнецов А.А.

 

 

 

 

 

 

                                              Санкт-Петербург

2013

Формализованное получение уравнений переходного  процесса

Рис. 1 Расчетная  схема

   

        Рис. 2 Орграф

1. Цифровое описание расчетной схемы:

Структурно  ориентированное число, описывающее вершину 1 орграфа имеет вид:

. Для вершины 2 орграфа имеем  . Объединяя цифровые описания вершин орграфа в совокупность структурно ориентированных чисел _{, получаем:}

Укажем типы ветвей:

 

Определение компонент орграфа  и получение неизбыточного цифрового описания конфигурации расчётной схемы.

2.1 Определение непосредственных  связей (алгоритм НС).

Исходные  данные:

₌ [-1 +2 ] [ +1 +3 -8 -9 -11 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [ +12 +13 -16] [ -12 +14 ] [ +15 -13 ] [ -14 -15 +16 ].

1). Выделим первое структурное  ориентированное число из совокупности  :

λ₁ = [ -1 +2 ]

2). Порядковый номер числа  занесем в список :

3). Выделим первый идентификатор и обозначим его

4). Найдем в  структурные ориентированные числа, содержащие , и занесем их номера (без повторений) в

5). Выделим следующий идентификатор и обозначим его .

Найдем в  структурные ориентированные числа, содержащие , и занесем их номера (без повторений) в .

6). Следующий идентификатор  отсутствует. Следовательно, получено окончательного состава.

Берём следующее структурное  ориентированное число из совокупности :

λ₂=[ +1 +3 -8 -9 -11] и на п.2.

Аналогично, следуя пунктам  алгоритма, получим:

η₁ = {}

η₂ = { 2, 1, 7, 3, 5 }

η₃ = { 3, 2, 4 }

η₄ = { 4, 3, 6, 5 }

η₅ = { 5, 4, 2, 7 }

η₆ = { 6, 4, 7 }

η₇ = { 7, 1, 6, 5, 2 }

η₈ = { 8, 9, 10, 11 }

η₉ = { 9, 8, 11 }

η₁₀ = { 10, 11, 8 }

η₁₁ = { 11, 9, 10, 8 }.

2. Определение числа компонент связности орграфа (алгоритм КС)

Исходные  данные:

η₁ = {}; η₂ = { 2, 1, 7, 3, 5 }; η₃ = { 3, 2, 4 }; η₄ = { 4, 3, 6, 5 };  η₅ = { 5, 4, 2, 7 }; η₆ = { 6, 4, 7 }; η₇ = { 7, 1, 6, 5, 2 }; η₈ = { 8, 9, 10, 11 }; η₉ = { 9, 8, 11 }; η₁₀ = { 10, 11, 8 }; η₁₁ = { 11, 9, 10, 8 }.

1). Составим последовательность H из  η_i ( i = 1, 11):

H: {}; { 2, 1, 7, 3, 5 }; { 3, 2, 4 }; { 4, 3, 6, 5 }; { 5, 4, 2, 7}; { 6, 4, 7 }; { 7, 1, 6, 5, 2 }; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; { 10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8 }.

2). Для первой компоненты j=1 æ₁={ Ø}.

3). Выделим первый список  из H и занесем его без повторений  в æ₁: æ₁ = {}.

Выделенный список удалим из H:

H: { 2, 1, 7, 3, 5 }; { 3, 2, 4 }; { 4, 3, 6, 5 }; { 5, 4, 2, 7}; { 6, 4, 7 }; { 7, 1, 6, 5, 2}; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; { 10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8 }.

4). Выделим второй элемент  æ₁ и обозначим его .

 Найдем в последовательности H список, первый элемент которого  совпадает с , и дополним им при надобности æ₁ без повторений, æ₁ = { }.

Выделенный список удалим из H:

H: { 3, 2, 4 }; { 4, 3, 6, 5 }; { 5, 4, 2, 7}; { 6, 4, 7 }; { 7, 1, 6, 5, 2}; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; { 10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8 }.

5). Выделим следующий элемент  æ₁ и обозначим его .

Найдем в последовательности H список, первый элемент которого совпадает  с , и дополним им æ₁ без повторений: æ₁={ } Выделенный список удалим из H:

H: { 3, 2, 4 }; { 4, 3, 6, 5 }; { 5, 4, 2, 7}; { 6, 4, 7 }; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; {10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8 }.

Выделим следующий элемент  æ₁ и обозначим его .

Найдем в последовательности H список, первый элемент которого совпадает  с , и дополним им æ₁ без повторений: æ₁={} Выделенный список удалим из H:

H: { 4, 3, 6, 5 }; { 5, 4, 2, 7}; { 6, 4, 7 }; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; {10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8 }.

Выделим следующий элемент  æ₁ и обозначим его .

Найдем в последовательности H список, первый элемент которого совпадает  с , и дополним им æ₁ без повторений: æ₁={} Выделенный список удалим из H:

H: { 4, 3, 6, 5 }; { 6, 4, 7 }; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; {10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8}.

Выделим следующий элемент  æ₁ и обозначим его .

Найдем в последовательности H список, первый элемент которого совпадает  с , и дополним им æ₁ без повторений: æ₁={} Выделенный список удалим из H:

H: { 4, 3, 6, 5 }; { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; {10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8}.

Выделим следующий элемент  æ₁ и обозначим его .

Найдем в последовательности H список, первый элемент которого совпадает  с , и дополним им æ₁ без повторений: æ₁={} Выделенный список удалим из H:

H: { 8, 9, 10, 11}; { 9, 8, 11 }; {10, 11, 8}; { 11, 9, 10, 8}.

Следующий элемент æ₁ отсутствует. Следовательно, получен список окончательного состава.

6). Список H содержит еще  4 списка, следовательно, следующая  компонента j=j+1=2

и На п.3.

Аналогично, следуя пунктам  алгоритма, получим:

æ₁ = { 1, 3, 2, 4, 5}, æ₂ = { 8, 9, 10, 11} следовательно мы  имеем 2 компоненты связности.

Получим неизбыточное цифровое описание орграфа расчетной схемы:

_{= [-1 +2} ] [ +1 +3 -8 -9 -11 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [ +12 +13 -16] [ -12 +14 ] [ +15 -13 ] [ -14 -15 +16 ].

Исключи по одному элементу из каждого списка (из æ₁, æ₂ убираем 2 и 11 элементы):

[ +1 +3 -8 -9 -11 ] и [ -14 -15 +16 ]

_{= [-1 +2} ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [ +12 +13 -16] [ -12 +14 ] [ +15 -13 ].

1. Получение цифрового описания структуры токов и напряжений ветвей расчётной схемы.

Так как в схеме  есть идеальный трансформатор, то цифровое описание соотношений между токами ветвей в виде совокупности структурных  ориентированных чисел должно быть дополнено цифровым описанием соотношения  между токами ветвей идеального трансформатора.

;

;

; ;

 

Таким образом, цифровое описание структуры токов и напряжений ветвей расчётной схемы примет вид:

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [ +12 +13 -16] [ -12 +14 ] [ +15 -13 ] .

 

2. Получение цифрового описания структуры токов и напряжений основных ветвей расчётной схемы.

 

;

;

[+12 +13 -16] = [+12 +13 -16] + [-12 +14] = [+13 -16 +14]

Тогда:

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [+13 -16 +14] [ -12 +14 ] [ +15 -13 ] ;

 ;

Тогда:

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [+13 -16 +14] [ -12 +14 ] [ +15 -13 ] ;

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] ;

;

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [ -2 +5 +10 +11 -3 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] ;

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] ;

   5. Построение характеристик матроида структуры токов и напряжений основных ветвей расчётной схемы.

5.1 Построение базы, кобазы и базисных коциклов (алгоритм БКК).

 

 

Исходные  данные:

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] ;

1). Копируем Λ_о в Λ_тек:

= [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13] ;

2). Объединяем множества  Ψ_i{i=1,7} в список Ф в порядке увеличения индекса i:

 Ψ = {2, 4, 15, 8, 1, 3, 5, 13, 14, 16, 7, 9, 10, 6};

3). Выделим первый элемент  в Ф

4). Выделенный элемент  обозначим

5).  В совокупность  входит два структурно ориентированных числа, содержащих

С помощью эквивалентных  преобразований обеспечим пребывание данного элемета в одном структурно ориентированном числе:

= ] + [-1 +2 ]= [].

Тогда = [-1 +2 ] [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [+15 -13 ] [.

6). Заносим λ в Λ и  удаляем λ из Λ_тек. 

Λ=[-1 +2 ];

Λ_тек = [ +8 -4 ] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] .

7). Заносим идентификатор в базу: В={2}.

8). Выделяем следующий  элемент из Ф

9). Выделенный элемент  обозначим a_k = 4

10). В совокупность  входит два структурно ориентированных числа, содержащих a_k = 4

С помощью эквивалентных  преобразований обеспечим пребывание данного элемета в одном структурно ориентированном числе:

[ +8 -4 ] = [ +8 -4 ] + [ +4 -6 -7 ]= [ +8 -6 -7 ].

Тогда = [ +8 -6 -7] [ +4 -6 -7 ] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] [.

11). Заносим λ в Λ  и удаляем λ из Λ_тек:

Λ=[-1 +2 ] [ +4 -6 -7 ];

Λ_тек = [ +8 -6 -7] [ +7 +9 -10 ] [ +6 -5 ] [+13 -16 +14] [ +15 -13 ] [.

12). Заносим идентификатор в базу: В={2, 4}.

13). Выделяем следующий  элемент из Ф и преобразуем  аналогично, получаем

Λ=[-1 +2 ] [ +4 -6 -7 ] [ +15 -13 ] [ +8 -6 -7] [

14).  присутствуют структурные ориентированные числа с идентификатором a_k = 15, 8, 1, 5, 13, 7, следовательно заносим их в базу: B = {2, 4, 15, 8, 1, 5, 13, 7}.

15). В  отсутствуют структурные ориентированные числа с идентификатором a_k = 3, 14, 16, 9, 10, 6, следовательно заносим их в кобазу: B^* = {3, 14, 16, 9, 10, 6}.

16). В каждом из структурно  ориентированных чисел совокупности  , начиная с последнего, с помощью эквивалентных преобразований исключим все элементы с идентификаторами из множества В, кроме того порядковый номер которого совпадает с порядковым номером рассматриваемого числа в совокупности .

Первое, второе и третье числа совокупности содержит только один элемент из множества В, поэтому числа остаются без изменений.

Преобразуем остальные числа  число: 
[= [ + = []

[ +8 -6 -7] = [ +8 -6 -7] + = [ +8 -6 +9 - 10]

[ +15 -13 ] = [ +15 -13 ] + = []

[ +4 -6 -7 ] = [ +4 -6 -7 ] + = []

[-1 +2 ] = [1 +2 ] + []= [].

17). Преобразуем структурные  ориентированные числа совокупности  так, чтобы элемент с идентификатором стоял на крайнем левом месте, имел знак «-»  и k=1.

Λ =

Λ =

Конечные данные:

B = {2, 4, 15, 8, 1, 5, 13, 7} - множество идентификаторов ветвей базы; 
B^* = {3, 14, 16, 9, 10, 6} - множество идентификаторов ветвей кобазы;

Λ = – полная совокупность структурных ориентированных чисел, описывающих базисные коциклы. 

2. Построение базисных циклов (алгоритм БЦ)

Исходные  данные:

Λ = ;

B^* = {3, 14, 16, 9, 10, 6}.

1) Выделим первый элемент В* и обозначим его как a_s = 3.

2). Cкопируем Λ в :

Λ_тек = ;

3). Образуем : θ₂ = [-3].

4).Находим в структурное ориентированное число , содержащее элемент с идентификатором a_s =3:

Λ₄=

5). Дополняем  элементом, знак которого противоположен знаку a_s = -3 в , коэффициент равен коэффициенту элемента a_s = -3 в , а идентификатор есть :

θ₁=[-3 +1].

6). Удаляем  из  : Λ_тек = ;

7). Находим в еще одно структурное ориентированное число , содержащее элемент с идентификатором a_s = 3:

Λ₈=.

8). Дополняем  элементом, знак которого противоположен знаку a_s = -3 в , коэффициент равен коэффициенту элемента a_s = -3 в , а идентификатор есть :

θ₁ = [-3 +1 +2].

9). Удаляем  из  : ;

10).В Λ_тек больше нет Λ_ак , содержащих элемент с идентификатором a_s = 3. Следовательно берем второй элемент B^* и обозначим его a_s = 14 (если такового нет, то получен θ окончательного состава).

Аналогично, следуя пунктам  алгоритма, получим:

Θ = [-3 +1 +2] [-14 +13-k1-k2+15] [-16 -13 –15] [ –9 +7 +8 +4] [ -10 +7-1- 8-4-2] [-6-5-1-8-4-2] – совокупность структурных ориентированных чисел, описывающих базисные циклы.

6. Выявление неособых и особых ветвей базы и кобазы.

В результате выполнения алгоритмов БКК и БЦ получены характеристики матроида структуры токов и напряжений:

B = {2, 4, 15, 8, 1, 5, 13, 7};B^* = {3, 14, 16, 9, 10, 6};

Λ = ;

Θ = [-3 +1 +2] [-14 +13-k1-k2+15] [-16 -13 –15] [ –9 +7 +8 +4] [ -10 -7-1-8-4-2] [-6-5-1-8-4-2] .

Множества, задающие типы ветвей, имеют вид:

   

    

7. Формирование уравнений для определения напряжений ветвей базы и токов ветвей кобазы.

Получим уравнения напряжений для  неособых ветвей базы и токов неособых ветвей кобазы:

В^{* н} ₆ = { 6 }: ;

В^{* н} ₅ = { 9}: ;

В^{* н} ₅ ={ 10}: ;

В₄^н = {8}: ;

В₄^н = {5}: ;

Получим уравнения для  определения напряжений и токов  особых ветвей:

В₄^o = { 1, 13 }; В₅^о = { 7 }; В^{* о} ₄ = { 3,14,16 }.

Будем формировать систему уравнений для определения токов особых ветвей базы R – типа.

Ψ \ Ψ₄ = { 2, 4, 15, 8, 1, 3, 5, 13, 14, 16, 7, 9, 10, 6} \ { 1, 3, 5, 13, 14, 16} = {2, 4, 15, 8, 7, 9, 10, 6}

В₄^o = { 1, 13 }

Левая часть уравнения  примет вид:

  ;

Правая часть уравнения  представляется в виде:

 

;

;

 

 

Окончательно формируемое  уравнение приняло вид:

.

Сформируем систему уравнений  для особых ветвей L – типа:

В₅^о = { 7 };

Ψ \ Ψ₅ = { 2, 4, 15, 8, 1, 3, 5, 13, 14, 16, 7, 9, 10, 6} \ {7, 9, 10} = { 2, 4, 15, 8, 1, 3, 5, 13, 14, 16, 6}.. 
Положим ;

 

  ;

_;

_;

Окончательно формируемое уравнение приняло вид:

 

Токи особых ветвей кобазы  R-типа из множества с учётом предшествующего вычисления напряжений могут быть определены по уравнениям:

 

 

 

7. Формирование уравнений для определения токов ветвей базы и напряжений ветвей кобазы.

B = {2, 4, 15, 8, 1, 5, 13, 7};

Получим уравнения дляопределения токов ветвей базы:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

B^* = {3, 14, 16, 9, 10, 6};

Уравнения для определения  напряжений ветвей кобазы имеют вид:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

8. Формирование дифференциальных уравнений

Для рассматриваемой схемы:

В ∩ Ψ₃ =  {2, 4, 15, 8, 1, 5, 13, 7} ∩ {8} = {8};

B^*∩ Ψ₅ = {3, 14, 16, 9, 10, 6} ∩{7,9,10} = {9,10}.

;

;

.

 

 

 

 

 

 

9. Получение уравнений переходных процессов  на ЭВМ с помощью вычислительного комплекса «РИТМ»

----------------------------------------------------------------------------

  u(5-1) = i(6-1) * R(5-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  w(6-1) = i(6-1)

 

  w(10-1) = i(10-1)

 

  w(3-1) = [-u(2-1)] / R(3-1)

 

  w(14-1) = [2.50000*u(2-1)-u(15-1)] / R(14-1)

 

  w(16-1) = u(15-1) / R(16-1)

 

  [1/R(1-1)+1/R(3-1)+6.25000*1/R(14-1)]*u(1-1) + [-2.50000*1/R(14-1)]*u(13-1)

  = -w(3-1)+w(6-1)+w(10-1)+2.50000*w(14-1)

 

  [-2.50000*1/R(14-1)]*u(1-1) + [1/R(13-1)+1/R(14-1)+1/R(16-1)]*u(13-1) = -w(1

  4-1)+w(16-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  i(3-1) = [u(1-1)-u(2-1)] / R(3-1)

 

  i(14-1) = [-2.50000*u(1-1)+2.50000*u(2-1)+u(13-1)-u(15-1)] / R(14-1)

 

  i(16-1) = [-u(13-1)+u(15-1)] / R(16-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  w(9-1) = [-u(4-1)+u(8-1)] / L(9-1)

 

  w(10-1) = [-u(1-1)+u(2-1)+u(4-1)-u(8-1)] / L(10-1)

 

  [1/L(7-1)+1/L(9-1)+1/L(10-1)]*u(7-1) = -w(9-1)+w(10-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  u(9-1) = -u(4-1)+u(7-1)+u(8-1)

 

  u(10-1) = -u(1-1)+u(2-1)+u(4-1)-u(7-1)-u(8-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  i(8-1) = i(6-1)-i(9-1)+i(10-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  du(8-1)/dt = [i(6-1)-i(9-1)+i(10-1)] / C(8-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

  di(9-1)/dt = [-u(4-1)+u(7-1)+u(8-1)] / L(9-1)

 

  di(10-1)/dt = [-u(1-1)+u(2-1)+u(4-1)-u(7-1)-u(8-1)] / L(10-1)

  ----------------------------------------------------------------------------

 

10. Моделирование переходного процесса в электрической системе при  возникновении короткого замыкания.

Исходные  данные:

 
 
               

Графики, полученные в программе  «Ритм»:

 

График напряжений на интервале времени 0.0-0.14 с:

График токов на интервале времени 0.0-0.14 с:

График токов на интервале  времени 0.9-1.0 с:

График напряжений на интервале  времени 0.9-1.0 с:

Максимальное значение ударного тока: i_1уд = 33824 A

Амплитуда тока в установившемся режиме: I_1m = 18480 А

Ударный коэффициент: К_у =  i_1уд / I_1m = 1.83

11. Расчёт переходного процесса:

 

Переходный  процесс при замыкании ключей в каждой фазе описываются дифференциальным уравнением:

Решение данного неоднородного дифференциального  уравнения есть сумма частного решения  неоднородного дифференциального  уравнения (установившееся значение тока i’’) и общего решения соответствующего ему однородного (с нулевой правой частью) дифференциального уравнения (апериодическая составляющая тока), которое имеет вид:

 

Начальные условия: i(t_k) = i’+i’’= 0, отсюда С = -i’’(t_k)

Установившиеся  значения фазных токов:

Апериодические  составляющие фазных токов:

 

Построим  графики :

 

 

 

 

 

 

Максимальное значение ударного тока:

Амплитуда тока в установившемся режиме:

Ударный коэффициент:

 

 

 

 

Выводы и анализ полученных результатов.

В ходе проведенной работы были изучены возможности математического  моделирования объектов электроэнергетики. В первой части работы для заданной расчетной схемы были получены уравнения  переходных процессов вручную по универсальным алгоритмам. Во второй части эти уравнения были получены с помощью вычислительного комплекса  «РИТМ». Полученные вручную и на ЭВМ уравнения совпали, за исключением ветвей содержащих источники Э.д.с, потому что были не верно заданы положительные направления токов. В третьей части работы был смоделирован и теоретически рассчитан переходный процесс при коротком замыкании в простейшей электрической схеме, по результатам которого построены графики токов короткого замыкания, а также определен ударный коэффициент ( , ). Как видно, результаты расчёта и опыта практически совпадают (расхождение не более 2 %).