Вейвлети. Вейвлет аналіз та вейвлет перетворення. Кратномасшабне перетворення

Київський Національний Економічний Університет

імені Вадима Гетьмана

 

 

 

 

Реферат з системного аналізу на тему:

Вейвлети. Вейвлет аналіз та вейвлет перетворення. Кратномасшабне перетворення.

Виконала

Студентка групи 6101

Сабадаш Катерина

 

 

Київ 2013

План 
1. Введение 
2. История 
3. Определения, свойства, виды 
4.Вейвлет преобразование 
5. Принцип кратномасштабного анализа 
- Дискретные ортогональные преобразования 
- Вейвлет Хаара 
6. Дискретное вейвлет преобразование 
7.Непрерывное вейвлет преобразование 
 
 
 
Введение 
 
Вейвлет-анализ разработан для решения задач, оказавшихся слишком сложными для традиционного анализа Фурье. Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам) с выделением частотных компонентов. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, обуславливая его применимость только к анализу стационарных сигналов, в то время как многие сигналы имеют сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонентов и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонентов. Для анализа таких сигналов необходим метод, способный обеспечить хорошее разрешение как по частоте, так и по времени. Первое необходимо для локализации низкочастотных составляющих, второе - для выделения компонентов высокой частоты. Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа. Первый основан на локальном преобразовании Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, нестационарный сигнал сводится к стационарному путем его предварительного разбиения на сегменты (фреймы), статистика которых не меняется со временем. Второй подход заключается в использовании вейвлет-преобразования. Не так уж трудно рассказать без математической строгости, что такое вейвлет-анализ. Всем известно, что любой сигнал можно разложить в сумму гармоник (синусоид) разной частоты. Но синусоидальные волны бесконечны, и не очень-то отслеживают изменения сигнала во времени. Чтобы уловить эти изменения, вместо бесконечных волн можно взять совершенно одинаковые, но разнесенные по времени короткие "всплески". Однако, как оказалось, этого недостаточно, надо добавить еще их всевозможные растянутые и сжатые копии. Вот теперь сигнал можно разложить на сумму таких всплесков разного размера и местоположения. По сути, это и есть вейвлет-анализ.  
Коэффициенты разложения, по сути несущие информацию об эволюции сигнала, зависят от выбора изначального всплеска. Для каждой прикладной задачи можно подобрать наиболее приспособленный (именно для нее) всплеск, который и называется вейвлетом. Математическая сторона вейвлет-анализа - вещь довольно тонкая, хотя и весьма наглядная. Вообще, реально работающие в приложениях математические методы всегда (почему-то) опираются на красивую чистую математику - это экспериментальный факт. А вот прикладная сторона вейвлетов проста на столько, что дальше некуда. При этом вейвлет-преобразование не только работает быстрее, чем преобразование Фурье, но и его программная реализация несравненно проще. 
 
Вейвлет (от англ. wavelet), всплеск) — это математическая функция, позволяющая анализировать различные частотные компоненты данных. График функции выглядит как волнообразные колебания с амплитудой, уменьшающейся до нуля вдали от начала координат. Однако это частное определение — в общем случае анализ сигналов производится в плоскости вейвлет-коэффициентов (масштаб — время — уровень) (Scale-Time-Amplitude). Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени. 
 
История 
 
В начале развития области употреблялся термин «волночка» — калька с английского. Английское слово «wavelet» означает в переводе «маленькая волна», или «волны, идущие друг за другом». И тот и другой перевод подходит к определению вейвлетов. Вейвлеты — это семейство функций, которые локальны во времени и по частоте («маленькие»), и в которых все функции получаются из одной посредством её сдвигов и растяжений по оси времени (так что они «идут друг за другом») 
Разработка вейвлетов связана с несколькими отдельными нитями рассуждений, начавшимися с работ Хаара в начале двадцатого века. Весомый вклад в теорию вейвлетов внесли Гуппилауд, Гроссман и Морле, сформулировавшие то, что сейчас известно как непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) (1982), Жан Олаф-Стромберг с ранними работами по дискретным вейвлетам (1983), Добеши, разработавшая ортогональные вейвлеты с компактным носителем (1988), Малла, предложивший кратномасштабный метод (1989), Натали Делпрат, создавшая временно-частотную интерпретацию CWT (1991), Ньюланд, разработавший гармоническое вейвлет-преобразование и многие другие. 
В конце 20-го века появляются инструментальные средства по вейвлетам в системах компьютерной математики Mathcad,MATLAB и Mathematica (см. их описание в книге Дьяконова В. П.). Вейвлеты стали широко применяться в технике обработки сигналов и изображений, в частности для компрессии их и очистки от шума. Были созданы интегральные микросхемы для вейвлет-обработки сигналов и изображений. 
 
Определения, свойства, виды 
 
Существует несколько подходов к определению вейвлета: через масштабный фильтр, масштабную функцию, вейвлет-функцию. Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут бытьсимметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости. 
Примеры вейвлетов

• вейвлет Хаара
• вейвлеты Добеши
• вейвлеты Гаусса
• вейвлет Мейера
• вейвлеты Морле
• вейвлет Пауля
• вейвлет MHat («Мексиканская шляпа»)
• вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
• вейвлет Шеннона 
   
  Вейвлет-преобразование   
   
  Вейвлет-преобразование (англ. Wavelet transform) — интегральное преобразование, которое представляет собой сверткувейвлет-функции с сигналом.

Cпособ преобразования  функции (или сигнала) в форму,  которая или делает некоторые  величины исходного сигнала более  поддающимися изучению, или позволяет  сжать исходный набор данных. Вейвлетное преобразование сигналов  является обобщением спектрального  анализа. Термин (англ. wavelet) в переводе с английского означает "маленькая волна". Вейвлеты — это обобщённое название математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте и в которых все функции получаются из одной базовой, изменяя её (сдвигая, растягивая).

Требования к вейвлетам

Для осуществления вейвлет-преобразования вейвлет-функции должны удовлетворять  следующим критериям[1]:

1. Вейвлет должен обладать  конечной энергией:

 
2. Если   фурье-преобразование для  , то есть

тогда должно выполняться  следующее условие:

Это условие называется условием допустимости, и из него следует  что вейвлет при нулевой частотной  компоненте должен удовлетворять условию   или, в другом случае, вейвлет   должен иметь среднее равное нулю.

3. Дополнительный критерий  предъявляется для комплексных  вейвлетов, а именно, что для  них Фурье-преобразование должно  быть одновременно вещественным  и должно убывать для отрицательных  частот.

4. Локализация: вейвлет  должен быть непрерывным, интегрируемым,  иметь компактный носитель и  быть локализованным как во  времени (в пространстве), так  и по частоте. Если вейвлет  в пространстве сужается, то его  средняя частота повышается, спектр  вейвлета перемещается в область  более высоких частот и расширяется.  Этот процесс должен быть линейным  – сужение вейвлета вдвое должно  повышать его среднюю частоту  и ширину спектра также вдвое. 
Свойства вейвлет преобразования

1. Линейность

2. Инвариантность относительно  сдвига

Сдвиг сигнала во времени  на t0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра  также на t0.

3. Инвариантность относительно  масштабирования

Растяжение (сжатие) сигнала  приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра  сигнала.

4. Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или  анализирующий вейвлет. Если анализирующий  вейвлет задан формулой, то это  может быть очень полезным для анализа сигналов. Это свойство особенно полезно, если сигнал задан дискретным рядом. 
Непрерывное вейвлет-преобразование

Вейвлет преобразование для  непрерывного сигнала относительно вейвлет функции определяется следующим  образом[1]:

где   означает комплексное сопряжение для  , параметр   соответствует временному сдвигу, и называется параметром положения, параметр   задает масштабирование и называется параметром растяжения.

 — весовая функция.

Мы можем определить нормированную  функцию следующим образом

что означает временной сдвиг  на b и масштабирование по времени  на a. Тогда формула вейлет-преобразования изменится на

Исходный сигнал может  быть восстановлен по формуле обратного  преобразования

Дискретное вейвлет-преобразование

В дискретном случае, параметры  масштабирования a и сдвига b представлены дискретными величинами:

 и 

Тогда анализирующий вейвлет  имеет следующий вид:

где m и n — целые числа.

В таком случае для непрерывного сигнала дискретное вейвлет-преобразование и его обратное преобразование запишутся  следующими формулами:

Величины   также известны как вейвлет-коэффициенты.

 есть постоянная нормировки. 
Графическое представление

Временное и спектральное представления WAVE-вейвлета

 

Временное и спектральное представления вейвлета Морле

Применение

Вейвлет-преобразование широко используется для анализа сигналов. Помимо этого, оно находит большое  применение в области сжатия данных. В дискретном вейвлет-преобразовании наиболее значимая информация в сигнале  содержится при высоких амплитудах, а менее полезная — при низких. Сжатие данных может быть получено за счет отбрасывания низких амплитуд. Вейвлет-преобразование позволяет получить высокое соотношение сжатия в сочетании с хорошим качеством восстановленного сигнала. Вейвлет-преобразование было выбрано для стандартов сжатия изображенийJPEG2000 и ICER. Однако, при малых сжатиях вейвлет-преобразование уступает по качеству в сравнении с оконным Фурье-преобразованием, которое лежит в основе стандарта JPEG.

Выбор конкретного вида и  типа вейвлетов во многом зависит  от анализируемых сигналов и задач  анализа. Для получения оптимальных  алгоритмов преобразования разработаны  определенные критерии, но их еще нельзя считать окончательными, т.к. они  являются внутренними по отношению  к самим алгоритмам преобразования и, как правило, не учитывают внешних  критериев, связанных с сигналами  и целями их преобразований. Отсюда следует, что при практическом использовании  вейвлетов необходимо уделять достаточное  внимание проверке их работоспособности  и эффективности для поставленных целей по сравнению с известными методами обработки и анализа. 

Принцип кратномасштабного  анализа

Дискретные ортогональные преобразования. Непрерывное вейвлет-преобразование, равно как и его дискретный аналог с произвольным шагом по масштабу и сдвигу, обладает сильной избыточностью. Интуитивно понятно, что если какая-либо информация заключена в N отсчетах сигнала, то при любых преобразованиях сигнала для отображения этой информации без потерь в новом базисном пространстве должно быть необходимо и достаточно то же самое количество отсчетов N. С учетом принципа неопределенности Гейзенберга это означает, что для точного восстановления сигнала достаточно знать его вейвлет-преобразование на некоторой решетке частотно-временной области, густой в области высоких частот сигнала, и редкой в области низких частот. Идея КМА заключается в том, чтобы масштабировать вейвлет в некоторое постоянное число раз (например, 2), и при скольжении по сигналу сдвигать его во времени с шагом, равным интервалу носителя масштабированного вейвлета. Если обозначить количество масштабных строк индексом m, и принять N=2^m, то при N=32 решетка вейвлетного спектра будет иметь всего m=5 масштабных строк с количеством отсчетов в первой строке 16, во второй 8, в третьей 4, в четвертой 2, и в пятой 1, с общим количеством отсчетов 32, как и в исходном сигнале. При этом все сдвиги одного масштаба будут попарно ортогональны (нет перекрытия сдвигов), равно как и вейвлеты разных масштабов в силу их нулевого первого момента.

Рис. 3.1.1.

Вейвлет Хаара. Простейшие методы КМА, без всякой теоретической базы, использовались при обработке числовых данных уже достаточно давно. Рассмотрим один из таких методов на практическом примере анализа гистограмм, который обычно выполняется функцией Хаара (Haar), в дальнейшем получившей название вейвлета Хаара (рис. 3.1.1).

Допустим, что мы анализируем  определенную зависимость s(x) на интервале 0 ≤ х ≤ 1, показанную на рис. 3.1.2. Функция нецентрированная, и для использования вейвлет-преобразования с последующим восстановлением исходного сигнала требует применения как вейвлета, так и его скейлинг-функции. На основе базовых функций вейвлета и скайлинг-функции Наара, приведенных на рис. 3.1.1, записываем масштабированные функции:

Рис. 3.1.2.

j_m,k(x) = 2^m/2 j(2^mx-k),                 (3.1.1)

y_m,k(x) = 2^m/2 y(2^mx-k).                (3.1.2)

Эти функции образуют нормированные  взаимно ортогональные базисы пространства вейвлетных коэффициентов, на которые может быть разложен анализируемый сигнал.   Ортогональность базисных функций является обязательным условием КМА, обеспечивающим возможность обратной реконструкции сигнала.

Для коротких и достаточно гладких кривых нет смысла устанавливать  много уровней декомпозиции сигнала. Примем максимальное значение m, равным 4, при этом N=1/2^m=16 с интервалом дискретизации данных, соответственно, Dx=1/N. В принципе, можно применять и задание исходного значения Dx с последующим определением количества уровней разложения.

При сдвиговой ортогональности  прямоугольных базисных функций  прямое преобразование (проекции сигнала  на базис (3.1.1)) для непрерывных сигналов выполняется по формуле:

С_m,k = s(x) j(2^mx-k) dx.                                        (3.1.3)

Значения коэффициентов при m=4:

Восстановление сигнала  с четвертого уровня декомпозиции соответственно выполняется по формуле реконструкции:

s_r(m,x) = С_m,k j_m,k(x),   m=4,  N=16.                                 (3.1.4)

Восстановление исходной непрерывной  функции сигнала s(x) скейлинг-функцией Хаара невозможно в силу того, что значение скейлинг-функции – константа шириной Dx, на которую умножается соответствующее значение С_4,k и распространяется на весь интервал kDx-(k+1)Dx (кривая s_r(x) на рис. 3.1.2). Если выполнить перевод сигнала s(t)  во временной ряд sd_k, k=0…N-1, с осреднением по интервалам Dx, или с использованием (в общем случае произвольного вейвлета) его скейлин-функции:

sd_k = 2^m/2 s(x) j_m,k (x) dx,                                   (3.1.5)

то нетрудно убедиться, что  sd_k = s_r(kDx+Dx/2) (числовые отсчеты sd_k на рис. 3.1.2 отнесены к середине интервалов Dx).

В принципе, гистограмма  sd_k может представлять собой непосредственные исходные дискретные данные (результаты измерений и т.п.). Сравнением выражений (3.1.5) и (3.1.3) нетрудно убедиться, что нулевой уровень разложения (m=m_max) может быть получен непосредственно из дискретных данных:

С_m,k =sd_k/2^m/2 .                                                  (3.1.3')

Рис. 3.1.3.

На следующем  уровне разложения функции, при m=3, скейлинг-функция (3.1.1) расширяется по x в 2 раза (в нашем примере до 1/8), т.е. производится усреднение отсчетов по двум соседним интервалам исходной гистограммы. Количество коэффициентов соответственно в 2 раза уменьшается. Расчет коэффициентов С_3,k может выполняться непосредственно по (3.1.3), реконструкция  s_r3(x)– по (3.1.4), при m=3, N=8. Тем самым аппроксимация исходного сигнала выполняется на более "грубом" уровне декомпозиции, на основании чего скейлинг-функции вейвлетов называют аппроксимирующими или масштабными функциями, а сами коэффициенты, выделенные скейлинг-функциями - аппроксимирующими.

Но при известных значениях  коэффициентов С_4,k предшествующего уровня следующий уровень может выполняться непосредственно по ним с учетом изменения нормировочного множителя в формуле скейлинг-функции (3.1.1). В общей форме:

С_m-1,k = (1/ ) (С_m,2k+ С_m,2k+1).                                     (3.1.6)

С_3,k = {2.665, 13.421, 13.706, 6.948, 20.037, 29.906, 14.538, 2.267}.

Кроме аппроксимирующих коэффициентов  C_m-1,k из предшествующей гистограммы аппроксимации C_m,k могут быть выделены также коэффициенты изменения сигнала в пределах нового интервала усреднения, т.е. коэффициенты разности значений первой и второй половины интервала:

D_m-1,k = (1/ )(C_m,2k - C_m,2k+1),                                     (3.1.7)

которые называют детализирующими  коэффициентами.

D_3,k = {-1.571, -2.979, 2.769, -0.625, -5.024, 1.275, 4.853, 1.299}.

Рис. 3.1.4.

На рис. 3.1.4 показан  график d_r(3,x) детализирующих коэффициентов (m=3), приведенный к масштабу исходного сигнала по формуле (3.1.4) при m=3 и N=2^m=8, по которому нетрудно понять их физическую сущность. Так как значения сигнала в интервале разложения 2Dt по m=3 представляют собой среднее значение сигналов в двух интервалах Dt разложения по m=4, которые они перекрывают, а детализирующий коэффициент (с учетом приведения к масштабу исходного сигнала) равен половине разности сигналов этих двух интервалов, то его значение есть не что иное, как флюктуация сигнала по m=4 относительно его аппроксимации по m=3. Если детализирующий коэффициент отрицателен, то эта флюктуация отрицательна относительно аппроксимированного значения в первой половине его интервала и положительна во второй, и наоборот. Т.е. соответствующие коэффициенты аппроксимации С_m-1,k и детализации D_m-1,k разделяют коэффициенты C_m,k предшествующего уровня декомпозиции сигнала на аппроксимированную (низкочастотную) и флюктуационную (высокочастотную) части.

Отсюда следует, что ряды коэффициенты C_m-1,k и D_m-1,k (количество точек 2^m-1 в каждом ряде) содержат полную информацию, адекватную информации в C_m,k предшествующего уровня (количество точек 2^m=2^m-1+2^m-1), что позволяют полностью восстановить значения коэффициентов более высокого уровня m:

C_m,2k = (1/ ) (C_m-1,k+ D_m-1,k),      C_m,2k+1 = (1/ ) (C_m-1,k - D_m-1,k),         (3.1.8)

а, следовательно, и восстановить исходный дискретный сигнал. Для восстановления значений в исходных интервалах при m=4, значение аппроксимирующего коэффициента на первой половине интервала при m=3 складывается с детализирующим коэффициентом, а на второй – вычитается. Для математического отображения этой операции введем функцию y (3.1.2), форма которой приведена на рис. 3.1.1, и обеспечим ее сдвиг по координате синхронно со скейлинг-функцией. Эта функция является ортонормированным базисом разложения детализирующих коэффициентов. Именно она и получила название вейвлета (вейвлетной или детализирующей функции). С ее использованием уравнение (3.1.4) с входящими в него уравнениями (3.1.8) приводятся к следующей форме (с уровня m=3, 2^m-1 =8):

s_r(3, x) = C_3,k j_3,k(x) + D_3,k y_3,k(x).                               (3.1.9)

Как и значения коэффициентов  C_m,k, значения детализирующих коэффициентов могут вычисляться непосредственно по формуле (3.1.3) с заменой скейлинг-функции на вейвлет-функцию.

Аналогичным образом операция разделения на аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты может быть продолжена над значениями коэффициентов C_3,k по уровню m=2, с выделением коэффициентов аппроксимации C_2,k и детализации D_2,k, и далее по уровням m=1 и m=0. На последнем уровне m=0 получаем только 1 коэффициент аппроксимации C₀ и детализации D₀ по всему интервалу задания сигнала 0 ≤ х ≤ 1. Применяя последовательно, начиная с m=0, функцию "сборки" сигнала (3.1.9), получаем общую формулу реконструкции сигнала:

s_r(x)=C₀·j₀(x)+D₀·y₀(x)+ D_1,k·y_1,k(x)+ D_2,k·y_2,k(x)+ D_3,k·y_3,k(x).      (3.1.10)

Свойства  преобразования. Отметим на этом примере характерные и очевидные особенности нового представления сигнала:

• Общее количество коэффициентов разложения равно количеству отсчетов исходного сигнала (условие необходимости и достаточности сохранения в новом математическом представлении исходного объема информации).
• Вейвлет и его скейлинг-функция должны иметь однозначную связь. Это определяется тем, что разложение сигнала может быть выполнено с использованием только скейлинг-функции, а детализирующие коэффициенты определяться по разности m и m+1 уровней аппроксимации, и наоборот.
• Значение C₀ представляет собой среднее значение исходного сигнала по интервалу его задания. Для центрированных сигналов это значение равно нулю. При выполнении разложения без скейлинг-функции (с вейвлетом в (3.1.2)) картина детальных особенностей нецентрированных сигналов остается без изменений, но полная реконструкция сигнала невозможна. Без значения C₀·j₀(x) при полном разложении сигнал центрируется, при реконструкции с других масштабов декомпозиции  искажается за счет отсутствия соответствующих коэффициентов C_m,k.
• Увеличение масштабного значения m разложения соответствует возрастанию временного разрешения сигнала (1/2^m). Коэффициенты вейвлет-преобразования вскрывают флюктуационную структуру сигнала на разных масштабах и в разных временных точках. В областях "гладких" значений сигнала коэффициенты детализации близки к нулевым и ими можно пренебречь, что позволяет осуществлять сжатие информации для хранения.
• Реконструкция сигнала возможна с любого масштабного уровня декомпозиции, причем все особенности сигнала сохраняются без искажений с временным разрешением первого вейвлета (с минимальной шириной окна).  
  

Дискретное вейвлет преобразование 
 
В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).

Первое ДВП было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2ⁿ чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2ⁿ−1 разность и 1 общая сумма.

Это простое ДВП иллюстрирует общие  полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование можно выполнить  за   операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временную область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — возможную альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье. При принятии условия случайности сигнала Х спектральную плотность его амплитуд Y вычисляют на основе алгоритма Ийетса: matrixY=matrix(±X), верно и обратное matrixX=matrix(±Y).

Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован  бельгийским математиком Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши.

Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают непрореженное вейвлет-преобразование (где не выполняется прореживания сигналов), преобразование Ньюлэнда (где  ортонормированный базис вейвлетов  выводится из специальным образом  построенных фильтров типа «top-hat»  в частотной области). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с ДВП. Другая форма  ДВП — комплексное вейвлет-преобразование.

У дискретного вейвлет-преобразования много приложений в естественных науках, инженерном деле, математике (включая  прикладную). Наиболее широко ДВП используется в кодировании сигналов, где свойства преобразования используются для уменьшения избыточности в представлении дискретных сигналов, часто — как первый этап в компрессии данных.

Непрерывное вейвлет-преобразование 
 
Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию  , определенную на временно́й оси переменной  , в функцию

двух переменных   и  . Здесь   представляет параллельный перенос,   представляет масштаб и   — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может  быть восстановлена с помощью  обратного преобразования

где

называется постоянной допустимости и   — преобразование Фурье от  . Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

.

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что  , так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

. 
Висновок 
 
Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Это является основной причиной, почему термин «вейвлет-преобразование»используется в весьма различных ситуациях и применениях. Также существует множество типов классификации вариантов вейвлет-преобразования. Здесь мы покажем только деление. основанное на ортогональности вейвлетов. Можно использовать ортогональные вейвлеты для разработки дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

1. Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшее число коэффициентов вейвлет-спектра, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр весьма хорош для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь избыточной информации.
2. Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течение длительности сигнала и сравнивать этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированы и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

 
 
 
Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: РХД, 2001. — 464 с.

• Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. — 440 с.
• Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005. — 672 с.
• Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск: РХД, 2010. — 292 с.
• Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001. — 412 с.
• Сенсор виброакустики и вибродиагностики изделий: пат №95116U1, МПК G 01 H 1/08.
• Fast discrete biorthogonal CDF 9/7 wavelet forward and inverse transform (lifting implementation) — реализация на Си для быстрого лифтинга дискретного биортогонального CDF 9/7 вейвлета, используемого в алгоритме сжатия изображений JPEG-2000.
• Новая тенденция в преобразовании данных от датчиков механических и физических величин. М: Машиностроение//Вестник машиностроения,2004, №4,стр.78.
• Юэн Ч., Бичем К., Робинсон Дж. Микро-процессорные системы и их применение при обработке сигналов. М: Радио и связь.1986. 296 с.
• Дхонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование экспериментов в технике и науке. Методы планирования экспериментов. М: Мир. 1981. 512 с.
• Брох Е. Т. Применение измерительных систем фирмы "Брюль и Къер" к анализу механических колебаний и ударов. Сёборг; Ларсен и сын. 1973. 235 с.