РЕФЕРАТ 
Задача теплопереноса радиоактивного раствора в глубокозалегающих пластах

Содержание: 

Введение

Актуальность. В настоящее время наиболее распространённым видом утилизации радиоактивных отходов предприятий атомной промышленности и химических производств является закачка их в виде жидких растворов в глубокозалегающие подземные пласты. Поэтому чрезвычайно важной экологической задачей является прогнозирование и контроль поведения зон, охваченных воздействием вредных примесей, особенно с учётом того, что глубокозалегающие пласты обычно имеют выходы на поверхность. Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчётным путём, так как возможности экспериментального определения размеров глубоко залегающих зон загрязнения весьма ограничены.

При закачке  вредных примесей нарушается естественное температурное поле, что определяется как отличием температуры закачиваемой жидкости от пластовой, так и выделением тепла за счет радиоактивного распада и химических реакций. Важно проводить диагностику процесса изменения температурного поля области, подвергнутой закачке радиоактивных отходов, разрабатывать методы для контроля за областью заражения.

Целью работы является изучение методов расчёта полей температур радиоактивных примесей при закачке растворов, содержащих радиоактивный загрязнитель, в глубоко залегающие проницаемые пласты.

Основные  задачи исследования:

• анализ вклада основных физических процессов, обуславливающих динамику распространения температурных полей, постановка соответствующей математической задачи;
• получение аналитических решений задач для коэффициентов разложения первого порядка.

Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Во  введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи данной работы.

В первой главе произведено описание основных физических процессов, происходящих при фильтрации жидкостей в глубокозалегающих пластах.

Во  второй главе выписаны уравнения, определяющие изменение температурного поля. Произведено обезразмеривание задачи о распространении поля температур. Введён параметр асимптотического разложения, определена математическая постановка задачи для первого приближения.

Третья  глава посвящена решению задачи теплообмена первом приближении. Для первого коэффициента разложения получено решение в пространстве изображений.

В заключении подведены итоги проведенного анализа.

Физические процессы при фильтрации жидкости в глубокозалегающих пластах

      Построение  механики смесей осуществлено на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Вместе с истинной скоростью движения жидкости в пористой среде вводится скорость фильтрации

      Здесь m – коэффициент пористости (точнее эффективной пористости), который обуславливает фильтрацию в породе жидкости или газа и зависит от объёма пор , через которые осуществляется фильтрация по отношению ко всему объему образца .

      Скорость  фильтрации безынерционного движения жидких фаз определяется законом  Дарси 

      В большинстве встречающихся (и, что важно, “рассчитываемых”) фильтрационных процессов деформация пористого скелета, сжимаемость и связанные с этим изменения температур жидкостей являются малыми. Основными эффектами, определяющими движение системы, являются неравновесное совместное движение нескольких жидких фаз, молекулярная и конвективная диффузия растворённых в фазах компонент, поглощение твёрдой фазой или сорбция компонент, массообмен между фазами и т.д.

      Ограничимся рассмотрением задачи для одного загрязнителя, который является радиоактивным или химически активным. Нагнетание теплоносителя не сопровождается никакими процессами изменения фазового состояния пластовых жидкостей; теплофизические характеристики жидкости, насыщавшей пласт до начала нагнетания, совпадают с характеристиками нагнетаемой жидкости; начальная температура пласта и окружающих его пород стационарна. Полагаем, что температуры скелета пористой среды и насыщающей её несжимаемой жидкости одинаковы, так как теплообмен между скелетом и жидкостью осуществляется сравнительно быстро. Это допущение выполняется вследствие большой удельной поверхности пористых сред глубоко залегающих пластов (~ ).

      Жидкость  считается несжимаемой, капиллярными силами, силой тяжести, а также  температурными изменениями объёмов и тепловых свойств рассматриваемой системы пренебрегаем.

Постановка задачи теплопереноса

      Рассмотрим  задачу о распространении радиоактивных  примесей в пористом глубоко залегающем пласте, в который закачивается жидкость с растворёнными радиоактивными веществами. Такая задача является фундаментальной для подземного захоронения радиоактивных отходов и отходов химических производств.

      Одним из способов прогнозирования динамики поведения радиоактивных и химических примесей в глубокозалегающих пластах, является исследование их температурных полей. Современные приборы и методики измерения температуры позволяют проводить оперативные измерения с точностью, превосходящей тысячные доли градуса. Температурные измерения в таких условиях можно использовать для контроля продвижения радиоактивной зоны.

      Соответствующие температурные аномалии возникают  как за счет отличия температуры  закачиваемой жидкости от естественной температуры пластов, так и за счет энергии, выделяющейся при распаде  радиоактивных веществ.

      В результате одного акта радиоактивного распада выделяется энергия ~ 1 МэВ. Согласно действующим в России Нормам радиационной безопасности и санитарным правилам высокоактивными жидкими радиоактивными отходами (РАО) признаются отходы, активность которых > 1 Ки/л. Следовательно, для высокоактивных отходов выделяемая мощность оказывается порядка ~   ~ 5 Вт/м³. Причём, для средне- и долгоживущих нуклидов эта мощность мало меняется на протяжении лет и даже десятилетий. Выделяемая энергия является весьма существенной и приводит к значительному изменению температурного поля.

      На  рис. 1. представлена геометрия задачи в цилиндрической системе координат, ось z которой совпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z = ±h. Закачка примесей в область -h < z < h производится из скважины радиуса r₀; покрывающий (кровля) и подстилающий (подошва) пласты считаются непроницаемыми; средняя область толщины 2h является пористой; все пласты считаются однородными и анизотропными по теплофизическим свойствам.

      Рис. 1. Геометрия задачи теплопереноса

      Через скважину малого (по сравнению с  расстоянием до точки наблюдения) радиуса  в горизонтальный бесконечный пласт толщиной закачивается вода с радиоактивным загрязнителем.

      В поступающей в пласт жидкости (при  ) поддерживаются постоянная температура и концентрация примеси . В общем случае температура и концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления , радиальной теплопроводности и диффузии вдоль , теплопроводности и диффузии вдоль , за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации (в нашем случае такими источниками является радиоактивный распад загрязнителя).

      В окружающих средах имеет место теплопроводность и диффузия вдоль  и радиальная теплопроводность и диффузия вдоль . В пласте концентрация примеси , температура – , коэффициент диффузии вдоль равен , коэффициент теплопроводности – , коэффициент радиальной диффузии – , коэффициент радиальной теплопроводности – , в покрывающих пласт породах соответственно – , , , , , , в подстилающих породах – , , , , , . Кроме того, постулируются условия равенства температур и концентраций, а также плотностей тепловых и диффузионных потоков на границах соприкосновения, накладываются начальные и граничные условия. В начальный момент времени везде и в бесконечно удалённых точках всегда концентрации примеси в пласте и в окружающих средах равны нулю.

      Математическая  постановка задачи теплопереноса для  всех областей, таким образом, включает уравнение теплопроводности с учётом радиоактивного распада в покрывающем

      и подстилающем

      пластах, а также уравнение конвективного  переноса с учётом радиоактивного распада  в пористом пласте

      Сомножитель при  во втором слагаемом в левой части уравнения (5) в развёрнутом виде

      Условия сопряжения включают в себя равенство  температур

      и потоков тепла на границах раздела  пластов

      В уравнениях (3) – (5) учтено, что плотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяется суммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением

                                                                                                                                              (8)

где – коэффициент распределения загрязнителя между носителем и скелетом.    .

      В начальный момент времени температура  пластов  является естественной невозмущённой температурой Земли на данной глубине. Рассматривая глубины, превышающие порог влияния сезонных температур (~100 м), будем считать, что в силу малой величины градиента температурного поля Земли (~0.01 К/м) и небольшой толщины пористого пласта (~10 м)

      Температура загрязнителя в скважине, радиус которой  мы считаем малым по сравнению  с расстоянием до точки наблюдения, равна 

      Будем в дальнейшем искать превышение температуры  в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермической температуры в пористом пласте .

      При решении задачи удобно перейти к безразмерным координатам, определяемым соотношениями

      Сразу заметим, что в силу ,

      Безразмерный  параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt является аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина определяет отношение изменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.

        Для больших  температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых – конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.

      В силу большого значения аналога параметра  Пекле (Рt ~  ), в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла.

      Аналогично, для настилающего и подстилающего  пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.

      Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из (3) – (5) исчезнут слагаемые, содержащие и интересующие нас уравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов):

а условия  сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид

      Уравнения и равенства (13) – (20) представляют математическую постановку задачи теплопереноса.

      Рассмотрим более  общую задачу, получающуюся введением  произвольного асимптотического параметра  путем формальной замены на и, соответственно, на , а на . Задача (13) – (20) является, таким образом, частным случаем более общей задачи при .

      Будем искать решение задачи (21) – (28), разлагая каждое в ряд по параметру . При этом асимптотические формулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид

      Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при  . Подставив (29) в (21) – (28) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)

      При этом плотность загрязнителя, входящая в (30) – (32), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения , причём это разложение производится независимо от разложения (29), хотя и по тому же принципу.

      Уравнения (30), (31) для коэффициентов при (первое приближение) принимают вид

      Для коэффициентов при  в (32)

      Условия сопряжения, начальные и граничные  условия

      Уравнения (38) – (45) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь также зависит от плотности загрязнителя.

Решение задачи теплопереноса

      Решая систему уравнений (38) – (45), вначале  определяют решение , которое отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z

      причём

      Для нахождения перепишем (40) в виде

      Учитывая (46) и (49), а также линейность оператора , получим

      Проинтегрируем  последнее выражение

      Как видно из (52), в первом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первого приближения плотности радиоактивного загрязнителя. В силу громоздкости получающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае в пространстве изображений (преобразование Лапласа – Карсона).

      Перейдём  сразу в пространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа – Карсона. При этом последнее уравнение принимает вид

      Причём  оператор в пространстве изображений представится как

      Учитывая  условия сопряжения (41), остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получим из (53)

      и

      Умножая (55) на и вычитая (56), получим

      Выразим из (57)

      В пространстве изображений (46) принимает вид

      где

      Решения уравнений 

      соответствующих (38), (39) в пространстве изображений, с учётом условий регулярности и сопряжения, принимают вид

      При этом следы производных из внешних  областей представятся как

      что позволяет переписать (58) в виде

      В пространстве изображений определены граничные значения первого коэффициента

      Подстановка (68), (69) в (67) даёт уравнение для определения .

      Действительно, значения всех величин и выражения  для всех переменных, входящих в (70), за исключением нам известны. При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования, значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегрального условия.

Заключение

      В работе, на основе уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка задачи теплопереноса в глубокозалегающих горизонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивных веществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная задача представлена в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных из внешних областей для первого коэффициента разложения и остаточного члена.