А) Для функции, заданной таблично, построить интерполяционный полином Лагранжа. Сделать чертеж. б) Для функции, заданной таблично, построить

А) Для функции, заданной таблично, построить интерполяционный полином Лагранжа. Сделать чертеж. б) Для функции, заданной таблично, построить интерполяционный полином Ньютона. Сделать чертеж. в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и 2-го порядка по методу наименьших квадратов. Сделать чертеж. x 2 3 4 5 f(x) 6 2 8 6

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции.
L3x=6∙x-3x-4x-52-32-42-5+2∙x-2x-4x-53-23-43-5+8∙x-2x-3x-54-24-34-5+
+6∙x-2x-3x-45-25-45-4=-x3+12x2-47x+60+x3-11x2+38x-40-4x3+
+40x2-124x+120+x3-9x2+26x-24=-3x3+32x2-107x+116
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
L3x=-3x3+32x2-107x+116
Проверка выполнения условия интерполяции:
L32=-3∙23+32∙22-107∙2+116=6
L33=-3∙33+32∙32-107∙3+116=2
L34=-3∙43+32∙42-107∙4+116=8
L35=-3∙53+32∙52-107∙5+116=6
Построим интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции. Для этого составим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:
∆y0=y1-y0; ∆2y0=∆y1-∆y0; ∆3y0=∆2y1-∆2y0;
∆y1=y2-y1; ∆2y1=∆y2-∆y1;
∆y2=y3-y2.
№ точки y=fx
∆y
∆2y
∆3y
0 6 -4 10 -18
1 2 6 -8
2 8 -2
3 6
Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:
P3x=y0+∆y0h∙1!x-x0+∆2y0h2∙2!x-x0x-x1+∆3y0h3∙3!x-x0x-x1x-x2
где h=x1-x0=1
P3x=6+-41∙1!x-2+1012∙2!x-2x-3+-1813∙3!x-2x-3x-4
P3x=6-4x-2+5x-2x-3-3x-2x-3x-4
P3x=6-4x-2+5x2-5x+6-3x3-9x2+26x-24
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
P3x=-3x3+32x2-107x+116
Проверка выполнения условия интерполяции:
P32=-3∙23+32∙22-107∙2+116=6
P33=-3∙33+32∙32-107∙3+116=2
P34=-3∙43+32∙42-107∙4+116=8
P35=-3∙53+32∙52-107∙5+116=6
Будем искать аппроксимирующий многочлен 2-го порядка (m=2) в виде:
g2x=a2x2+a1x+a0
Неизвестные коэффициенты a0, a1, a0 из системы линейных алгебраических уравнений:
s0a0+s1a1+s2a2=t0s1a0+s2a1+s3a2=t1s2a0+s3a1+s4a2=t2
Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка (m=1) будем искать в виде:
g1x=a1x+a0
Неизвестные коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений:
s0a0+s1a1=t0s1a0+s2a1=t1
С целью составления систем для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующих полиномов составим таблицу:
№ x0
𝑥 x2
x3
x4
y
yx
yx2
0 1 2 4 8 16 6 12 24
1 1 3 9 27 81 2 6 18
2 1 4 16 64 256 8 32 128
3 1 5 25 125 625 6 30 150
s0
s1
s2
s3
s4
t0
t1
t2
Сумма 4 14 54 224 978 22 80 320
Запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома 2-го порядка:
4a0+14a1+54a2=2214a0+54a1+224a2=8054a0+224a1+978a2=320 a0=9a1=-3a2=1
g2x=x2-3x+9
Аналогично, запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего многочлена 1-го порядка:
4a0+14a1=2214a0+54a1=80a0=3a1=1
g1x=x+3
На рисунке 1