Используя определение, найти свертку функций ft и gt и ее изображение: ft=tsint,gt=5.

Используя определение, найти свертку функций ft и gt и ее изображение: ft=tsint,gt=5.

Сверткой функций ft и gt (обозначается f*g) называется функция, определяемая формулой:
f*g=Rn fygx-ydy=Rn fx-ygydy
Применительно к нашему случаю, когда t∈R, а функции определены на положительной полуоси:
f*g=0t5xsinxdx=u=5xdu=5dxdv=sinxdxv=-cosx=-5xcosx0t+50tcosxdx=
=-5tcost+5sinx0t=-5tcost+5sint
Чтобы найти изображение свертки используем теорему о свертке функций, соглас которой свертке функций соответствует произведение изображений.
Учитывая, что:
5 5p
sint 1p2+1
Далее, применяя теорему о дифференцировании изображения:
-1ntnft Fnp
Находим:
tsint -ddp1p2+1=2pp2+12
И изображение свертки:
Fp=5p∙2pp2+12=10p2+12