К цепи последовательного соединения сопротивлений r=30 Ом, XL1=5 Ом, XC1=45 Ом приложено несинусоидальное напряжение u=10+2002sinωt+30°+1002sin3ωt+60° Определить

К цепи последовательного соединения сопротивлений r=30 Ом, XL1=5 Ом, XC1=45 Ом приложено несинусоидальное напряжение u=10+2002sinωt+30°+1002sin3ωt+60° Определить потребляемую и полную мощности цепи, а также коэффициент мощности.

Дано: R=30 Ом, XL1=5 Ом, XC1=45 Ом.
Расчетная схема показана на рис.4.1:
Рис.4.1. Расчетная схема
Сопротивление цепи для постоянной составляющей U=10B будет бесконечным, т.к. емкостной элемент С постоянный ток не пропускает. Поэтому постоянная составляющая тока в цепи I0=0.
Сопротивление цепи для первой гармоники
Z1=R2+XL(1)-XC(1)2=302+5-452=50 Ом
Находим угол сдвига фаз между напряжением и током для первой гармоники
sinφ1=XL(1)-XC(1)Z1=5-4550=-0,8
откуда угол сдвига равен
φ1=arcsin-0,8=-53,13°
Учитываем, что на третьей гармонике по сравнению с основной первой гармоникой сопротивление индуктивного элемента увеличивается в 3 раза,
т.е . XL(3)=3XL=3·5=15 Ом, а емкостное уменьшается в 3 раза, т.е.
XC(3)=XC3=453=15 Ом
Таким образом, сопротивление цепи для третьей гармоники
Z3=R2+3XL(3)-XC(3)32=302+3∙5-4532=302+15-152=30 Ом
Находим угол сдвига фаз между напряжением и током для третьей гармоники
sinφ3=XL(3)-XC(3)Z3=15-1530=0
откуда угол сдвига равен
φ3=arcsin0=0°
Действующие значения гармоник напряжения:
действующее значение напряжения первой гармоники
U1=U1M2=20022=200 B
действующее значение напряжения третьей гармоники
U3=U3M2=10022=100 B
Действующие значения первой и третьей гармоник тока
I1=U1Z1=20050=4 A
I3=U3Z3=10030=3,333 A
Действующее значение несинусоидального напряжения и тока в цепи:
U=U02+U12+U32=102+2002+1002=223,83 B
I=I02+I12+I32=02+42+3,3332=5,207 A
Активная (потребляемая) мощность цепи
P=U1I1cosφ1+U3I3cosφ3=200∙4∙cos-53,13°+100∙3,333∙cos0°=813,3 Вт
реактивная мощность цепи
Q=U1I1sinφ1+U3I3sinφ3=200∙4∙sin-53,13°+100∙3,333∙sin0°=-640 ВAp
Полная мощность
S=UI=223,83∙5,207=1165,483 BA
Коэффициент мощности
cosφ=PS=813,31165,483=0,698

. XL(3)=3XL=3·5=15 Ом, а емкостное уменьшается в 3 раза, т.е.
XC(3)=XC3=453=15 Ом
Таким образом, сопротивление цепи для третьей гармоники
Z3=R2+3XL(3)-XC(3)32=302+3∙5-4532=302+15-152=30 Ом
Находим угол сдвига фаз между напряжением и током для третьей гармоники
sinφ3=XL(3)-XC(3)Z3=15-1530=0
откуда угол сдвига равен
φ3=arcsin0=0°
Действующие значения гармоник напряжения:
действующее значение напряжения первой гармоники
U1=U1M2=20022=200 B
действующее значение напряжения третьей гармоники
U3=U3M2=10022=100 B
Действующие значения первой и третьей гармоник тока
I1=U1Z1=20050=4 A
I3=U3Z3=10030=3,333 A
Действующее значение несинусоидального напряжения и тока в цепи:
U=U02+U12+U32=102+2002+1002=223,83 B
I=I02+I12+I32=02+42+3,3332=5,207 A
Активная (потребляемая) мощность цепи
P=U1I1cosφ1+U3I3cosφ3=200∙4∙cos-53,13°+100∙3,333∙cos0°=813,3 Вт
реактивная мощность цепи
Q=U1I1sinφ1+U3I3sinφ3=200∙4∙sin-53,13°+100∙3,333∙sin0°=-640 ВAp
Полная мощность
S=UI=223,83∙5,207=1165,483 BA
Коэффициент мощности
cosφ=PS=813,31165,483=0,698