Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе. Используя процесс Грамма – Шмидта построить ортонормированный

Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе. Используя процесс Грамма – Шмидта построить ортонормированный базис подпространства, являющийся линейной оболочкой приведенных векторов. .

Найдем базис линейной оболочки, для чего отыщем ранг следующей матрицы:
.
Ранг матрицы равен трем, значит, базис линейной оболочки образуют векторы .
Для начала построим ортогональный базис .
Используем процесс Грамма – Шмидта . Первый вектор положим
.
Второй вектор находим по формуле:
.
Вычисляем скалярные произведения:
,
.
Значит,
.
Так как важно лишь направление, то в качестве второго вектора возьмем коллинеарный полученному:
.
Третий вектор находим по формуле:
.
Вычисляем скалярные произведения:
,
,
.
Значит,
.
Берем коллинеарный вектор полученному:
.
Вычислим квадрат модуля полученного вектора:
.
Искомый ортонормированный базис :
,
,
.
Ответ: ,
,
.

. Первый вектор положим
.
Второй вектор находим по формуле:
.
Вычисляем скалярные произведения:
,
.
Значит,
.
Так как важно лишь направление, то в качестве второго вектора возьмем коллинеарный полученному:
.
Третий вектор находим по формуле:
.
Вычисляем скалярные произведения:
,
,
.
Значит,
.
Берем коллинеарный вектор полученному:
.
Вычислим квадрат модуля полученного вектора:
.
Искомый ортонормированный базис :
,
,
.
Ответ: ,
,
.