На левой грани пластины (x=0) поддерживаются нулевая температура, правая x=5 теплоизолирована. Коэффициент теплопроводности α=9.

На левой грани пластины (x=0) поддерживаются нулевая температура, правая x=5 теплоизолирована. Коэффициент теплопроводности α=9. Начальное распределение температуры − линейное, причем левая грань пластины находилась при нулевой температуре, правая − при температуре T0=4. Найти закон выравнивания температуры.

Функция температуры пластины u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ut'=αuxx'',
ut'=9uxx''; 0<x<5; t>0,
(1)
граничным условиям
ux=0=0; uxx=5=0,
(2)
и начальному условию
ut=0=4x5,
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T' t=9X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 8Xx∙T(t)
T'(t)9T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+9λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X'5⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'5=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'5=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'(5)=C2 λ cos5λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cos5λ=0,
5λ=π2+πk, k=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=π2k+1102, k=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπ(2k+1)x10, k=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk'(t)+9π(2k+1)102Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake- 32k+1π102t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=k=0∞TktXkx=k=0∞Ake- 32k+1π102tsinπ(2k+1)x10.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (3)
ut=0=k=0∞Ak sinπ(2k+1)x10=4x5.
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции 4x5 в ряд Фурье по собственным функциям sinπ(2k+1)x10k=0∞
Ak=25054x5sinπ(2k+1)x10dx=825-10π(2k+1)05x dcosπ(2k+1)x10=
=-165π2k+1xcosπ2k+1x1005=0-05cosπ2k+1x10dx=
=32π22k+12sinπ2k+1x1005=32π22k+12sinπ2k+12=32-1kπ22k+12.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=k=0∞32-1kπ22k+12e- 32k+1π102tsinπ(2k+1)x10.
Ответ: Закон выравнивания температуры имеет вид
ux,t=32π2k=0∞-1k2k+12e- 32k+1π102tsinπ(2k+1)x10.