Нужно найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнения. 3x1+x2-8x3+2x4+x5=02x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0x1+11x2-12x3+34x4-5x5=05x1-x2-11x3-3x4+3x5=0

Нужно найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнения. 3x1+x2-8x3+2x4+x5=02x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0x1+11x2-12x3+34x4-5x5=05x1-x2-11x3-3x4+3x5=0

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
3215 1-211-1 -8-3-12-11 2-734-3 12-53 0000
Вычитаем из второй строки первую строку, умноженную на 0,67, чтобы получить нули ниже ведущего элемента. Также вычитаем из 3 строки 1 строку, умноженную на 0,33, из 4 строки вычитаем первую строку, умноженную на 1,67.
3000 1-2,6710,67-2,67 -82,33-9,332,33 2-8,3333,33-6,33 11,33-5,331,33 0000
Вычитаем из 3 строки 2 строку, умноженную на 4, из 4 строки вычитаем 2 строку, умноженную на 1.
3000 1-2,6700 -82,3300 2-8,3302 11,3300 0000
Удалим из матрицы нулевую строку.
31-80-2,672,33000 21-8,331,3320 000
В результате получена стандартная ступенчатая матрица . Представим ее в виде системы уравнений:
3x1+x2-8x3+2x4+x5=0-2,67x2+2,33x3-8,33x4+1,33x5=02x4=0
Из уравнения 3 итоговой системы найдем переменную x4:
2x4=0
x4=0
Из уравнения 2 итоговой системы найдем переменную x2:
-2,67x2=-2,33x3+8,33x4-1,33x5
-2,67x2=-2,33x3-1,33x5
x2=0,88x3+0,5x5
Из уравнения 1 итоговой системы найдем переменную x1:
3x1=-x2+8x3-2x4-x5
3x1=-0,88x3+0,5x5+8x3-2∙0-x5
3x1=7,12x3-1,5x5
x1=2,37x3-0,5x5
Таким образом, общее решение:
x1=2,37x3-0,5x5x2=0,88x3+0,5x5x3x4=0x5
Так как в примере две свободные переменные, то фундаментальная система содержит два вектора.
Подставим значения x3=0 и x5=1 в общее решение, получим вектор a1=-0,5;0,5;0;0;1, координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы.
Для значений x3=0 и x5=2 находим вектор a2=-1;1;0;0;2.
Фундаментальная система решений:
x3∙2,370,88100+x5∙-0,50,5001

. Представим ее в виде системы уравнений:
3x1+x2-8x3+2x4+x5=0-2,67x2+2,33x3-8,33x4+1,33x5=02x4=0
Из уравнения 3 итоговой системы найдем переменную x4:
2x4=0
x4=0
Из уравнения 2 итоговой системы найдем переменную x2:
-2,67x2=-2,33x3+8,33x4-1,33x5
-2,67x2=-2,33x3-1,33x5
x2=0,88x3+0,5x5
Из уравнения 1 итоговой системы найдем переменную x1:
3x1=-x2+8x3-2x4-x5
3x1=-0,88x3+0,5x5+8x3-2∙0-x5
3x1=7,12x3-1,5x5
x1=2,37x3-0,5x5
Таким образом, общее решение:
x1=2,37x3-0,5x5x2=0,88x3+0,5x5x3x4=0x5
Так как в примере две свободные переменные, то фундаментальная система содержит два вектора.
Подставим значения x3=0 и x5=1 в общее решение, получим вектор a1=-0,5;0,5;0;0;1, координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы.
Для значений x3=0 и x5=2 находим вектор a2=-1;1;0;0;2.
Фундаментальная система решений:
x3∙2,370,88100+x5∙-0,50,5001