По заданной таблице распределений (Таблица 1) определить наилучшее приближение из списка стандартных функций (линейной,

По заданной таблице распределений (Таблица 1) определить наилучшее приближение из списка стандартных функций (линейной, степенной, гиперболы) для заданных значений (X, Y). Таблица 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 18,93 -22,13 -10,07 20,59 7,09 4,40 -20,78 -12,98 3,69 Y 6,06 7,20 5,62 7,01 5,73 6,98 6,06 6,52 6,90

А) линейная регрессионная модель
Линейное уравнение тренда имеет вид: y=a+bx
Система уравнений МНК:
an+bx=yax+bx2=yx
Таблица 2
X Y YX X^2 Y^2
1 18,93 6,06 114,72 358,34 36,72
2 -22,13 7,20 -159,34 489,74 51,84
3 -10,07 5,62 -56,59 101,40 31,58
4 20,59 7,01 144,34 423,95 49,14
5 7,09 5,73 40,63 50,27 32,83
6 4,40 6,98 30,71 19,36 48,72
7 -20,78 6,06 -125,93 431,81 36,72
8 -12,98 6,52 -84,63 168,48 42,51
9 3,69 6,90 25,46 13,62 47,61
Сумма -11,26 58,08 -70,64 2056,97 377,69
Ср. знач. -1,25 6,45 -7,85 228,55 41,97
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a-11,26b=58,08-11,26a+2056,97b=-70,64
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 6,45, b = 0,000993
Уравнение тренда:
y=6,45+0,000993х
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = 0,000993 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением x на 1 единицу, y изменится в среднем на 0,000993.
Коэффициент детерминации
Таблица 3
X Y y(x) (y-ср.y)^2 (y-y(x))^2 (y-y(x))/y
18,93 6,06 6,469 0,155 0,167 0,067
-22,13 7,2 6,428 0,558 0,596 0,107
-10,07 5,62 6,440 0,694 0,672 0,146
20,59 7,01 6,470 0,310 0,291 0,077
7,09 5,73 6,457 0,523 0,529 0,127
4,4 6,98 6,454 0,277 0,276 0,075
-20,78 6,06 6,429 0,155 0,136 0,061
-12,98 6,52 6,437 0,004 0,007 0,013
3,69 6,9 6,454 0,200 0,199 0,065
Сумма 58,08 58,03882 2,8758 2,873973 0,738093
Ср

. знач. 6,453333        
R2=1-yi-yx2yi-y2=1-2,872,88=0,000701
Т.е. в 0.07% случаев изменения х приводят к изменению y.
Относительная ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.
A=0,7389*100%=8.2%
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 8.2%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
Рисунок 1
б) степенная регрессионная модель
Степенное уравнение тренда имеет вид: y=axb (lny=lna+blnx
Система уравнений МНК:
an+bx=yax+bx2=yx
Таблица 4
  ln(x) ln(y) x^2 y^2 xy
1 2,941 1,802 8,648 3,246 5,298
2 0,000 1,974 0,000 3,897 0,000
3 0,000 1,726 0,000 2,980 0,000
4 3,025 1,947 9,149 3,792 5,890
5 1,959 1,746 3,836 3,048 3,419
6 1,482 1,943 2,195 3,775 2,879
7 0,000 1,802 0,000 3,246 0,000
8 0,000 1,875 0,000 3,515 0,000
9 1,306 1,932 1,705 3,731 2,522
Сумма 10,711 16,746 25,534 31,231 20,009
Ср. знач
  1,861 2,837 3,470 2,223
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a+10,711b=16.74610,711a+25,534b=20,009
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 1,8535, b = 0,00609
Уравнение тренда:
y=e1,8535x0,00609=6.38187x0.00609
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = 0,00609 степенной функции есть относительный показатель силы связи, или коэффициент эластичности