Поверхность и правый конец стержня теплоизолированы. На левом конце поддерживается температура , где ‒

Поверхность и правый конец стержня теплоизолированы. На левом конце поддерживается температура , где ‒ коэффициент в уравнении теплопроводности. Начальное распределение температуры . Найти температуру стержня.

Имеем следующую задачу:
Краевые условия ненулевые, поэтому выполним редукцию:
.
От функции потребуем выполнения краевых условий:
.
В качестве такой функции возьмем, к примеру, следующую:
.
Определим, как изменится заданное однородное уравнение теплопроводности:
.
Получили неоднородное уравнение теплопроводности.
Краевые условия для будут нулевыми:
.
Определим, как изменится начальное условие:
.
Получаем следующую вспомогательную задачу:
Краевые условия нулевые: на левом конце – условие первого рода, на правом – второго, значит, общее решение вспомогательной задачи ищем в виде ряда:
.
Подставим в неоднородное уравнение теплопроводности:
,
где ‒ коэффициенты разложения неоднородности по системе собственных функций на отрезке :
.
Таким образом, получаем следующее ДУ:
.
Его общее решение ищем в виде суммы:
.
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
Частное решение ищем в виде:
.
Подставим в полученное неоднородное ДУ:
.
Таким образом,
.
Используем начальное условие:
.
Вычислим полученные интегралы отдельно:
.
Так как ортогональны на , то
.
.
Таким образом, при получим
.
При получим
.
Используем полученные начальные условия.
При :
.
Пусть :
.
Вычислим отдельно :
.
Решение вспомогательной задачи:
.
Решение поставленной задачи:
.