Представить данную функцию в виде интеграла Фурье: fx=-1, если 1≪х≪22, если 0≪х<11, если-1≪х<0 , в

Представить данную функцию в виде интеграла Фурье: fx=-1, если 1≪х≪22, если 0≪х<11, если-1≪х<0 , в остальных интервалах f(x) =0.

А) Функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть несобственный интеграл -∞+∞ǀfхǀdх -сходится, то есть он равен конечному числу
Б) функция f(x) кусочно - непрерывна на промежутке (-∞; +∞),
Тогда ее можно представить в виде интеграла Фурье .
Построим график функции fx.
Воспользуемся комплексной формой интеграла Фурье:
f(x) = 12π -∞+∞е-iαxdα-∞+∞ftеiαtdt.
Тогда f(x) = 12π -∞+∞е-iαx -101 еiαtdt+012 еiαtdt+12-1 еiαtdtdα=
= 12π -∞+∞е-iαx1iαеiαt0-1+2iα еiαt10-1iα еiαt21dα=
= 12π -∞+∞е-iαx1iα1-е-iα+2iα еiα-1-1iα е2iα- еiαdα=
= 12π -∞+∞е-iαx∙1iα3 еiα-1- е-iα- е2iαdα.
Ответ: f(x) = 12π -∞+∞е-iαx∙1iα( 3 eiα- 1 - e-iα- e2iα)dα
В точках разрыва функции x=-1 , x=0, x=1 значения функции надо взять:
f(x) = fx+0+f(x-0)2.
f(-1) =0+12 = 12 f(0)=1+22 = 32 f(1) =-1+22 =12 f(2) = -1+02 =-12

.
Построим график функции fx.
Воспользуемся комплексной формой интеграла Фурье:
f(x) = 12π -∞+∞е-iαxdα-∞+∞ftеiαtdt.
Тогда f(x) = 12π -∞+∞е-iαx -101 еiαtdt+012 еiαtdt+12-1 еiαtdtdα=
= 12π -∞+∞е-iαx1iαеiαt0-1+2iα еiαt10-1iα еiαt21dα=
= 12π -∞+∞е-iαx1iα1-е-iα+2iα еiα-1-1iα е2iα- еiαdα=
= 12π -∞+∞е-iαx∙1iα3 еiα-1- е-iα- е2iαdα.
Ответ: f(x) = 12π -∞+∞е-iαx∙1iα( 3 eiα- 1 - e-iα- e2iα)dα
В точках разрыва функции x=-1 , x=0, x=1 значения функции надо взять:
f(x) = fx+0+f(x-0)2.
f(-1) =0+12 = 12 f(0)=1+22 = 32 f(1) =-1+22 =12 f(2) = -1+02 =-12