Проинтегрировать уравнение y'+y∙ctgx=sinx Дано: Это линейное не

Проинтегрировать уравнение y'+y∙ctgx=sinx Дано: Это линейное не

Однородное уравнение, решается заменой
y=uv y'=u'v+uv'
Подставим замену
u'v+uv'+uv ctgx=sinx⟹u'v+u(v'+v ctgx)=sinx
Полагаем u и v такие, что v'+v ctgx=0, и получаем систему из двух уравнений.
v'+v ctgx=0u'v=sinx
Решаем первое
v'+v ctgx=0⇒dvdx+v ctgx=0⇒dvv+ctgx dx=0⇒
dvv+ctgx dx=0⇒lnv+ln⁡|sinx|=0⇒lnvsin x=0⇒vsin x=1
v=1sinx
Подставляем v во второе уравнение
u'v=sinx⇒u'1sinx=sinx⇒u'=sin2x⇒du=sin2x dx⇒
⇒du=sin2x dx+C1⇒u=1-cos2xdx2+C1⇒
⇒u=dx2-cos2xdx2+C1⇒u=x2-cos2xd2x4+C1⇒
u=x2-sin2x4+C1
y=uv=x2-sin2x4+C1sinx=2x-sin2x+4C14sinx=2x-sin2x+C4sinx
Ответ:
y=2x-sin2x+C4sinx