Х – месячный доход жителя региона (в руб.) xi менее 500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500

Х – месячный доход жителя региона (в руб.) xi менее 500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 свыше 2500 ni 58 96 239 328 147 132 Считая, что таблица 3а) семинара №3 представляет распределение по месячному доходу 1000 жителей, отобранных по схеме собственно-случайной бесповторной выборки для исследования доходов населения города, составляющего 20 000 человек, решить следующие задачи: 1) Найти вероятность того, что средний месячный доход жителя города отличается от среднего дохода в выборке не более, чем на 45 (по абсолютной величине). 2) Определить границы, в которых с надежностью 0,99 заключен средний месячный доход жителя города. 3) Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с надежностью 0,9973? 4) Решить задачи 1) – 3), если население города неизвестно, но очень велико по сравнению с объемом выборки. 5) Найти вероятность того, что доля малообеспеченных жителей города (доход менее 500) отличается от доли таких же жителей в выборке не более, чем на 0,01 (по абсолютной величине). 6) Определить границы, в которых с надежностью 0,98 заключена доля малообеспеченных жителей города 7) Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы для доли малообеспеченных жителей города гарантировать с надежностью 0,9973? 8) Как изменились бы результаты, если бы о доле малообеспеченных жителей вообще ничего не было бы известно? 9) Решить задачи 5) – 8), если население города неизвестно, но очень велико по сравнению с объемом выборки.

I ai
bi
xi ni xini
xi2ni
1 0 500 250 58 14500 3625000
2 500 1000 750 96 72000 54000000
3 1000 1500 1250 239 298750 373437500
4 1500 2000 1750 328 574000 1004500000
5 2000 2500 2250 147 330750 744187500
6 2500 3000 2750 132 363000 998250000
Сумма       1000 1653000 3178000000
Рассчитаем средние значения указанных интервалов: ,
– соответственно, начало и конец i-го интервала, (первый и последний интервал будем считать закрытыми длины 500: (0;500) и (2500; 3000), соответственно).
По формуле средней арифметической для интервального вариационного ряда
где – варианты вариационного ряда, равные срединным значениям интервалов разбиения; – соответствующие им частоты; – число интервалов разбиения, получим:
Аналогично определяется среднее арифметическое квадратов вариант вариационного ряда:
Следовательно, выборочная дисперсия будет равна:
а среднее квадратическое отклонение:
1) Найти вероятность того, что средний месячный доход жителя города отличается от среднего дохода в выборке не более, чем на 45 (по абсолютной величине).
Вероятность того, что средний месячный доход жителя города отличается от среднего дохода в выборке не более, чем на 45 (по абсолютной величине), представляет собой доверительную вероятность или надежность. Она определяется через среднюю квадратическую ошибку выборки. Средняя квадратическая ошибка при оценке генеральной средней для собственно-случайной бесповторной выборки находим по формуле:
По условию имеем, что . Подставляя в последнее соотношение числовое значение вычисленной ранее выборочной дисперсии, получим:
Доверительная вероятность (надежность) при оценке генеральной средней для собственно случайной бесповторной выборки достаточно большого объема, определяется по формуле:
Таким образом, искомая доверительная вероятность будет равна:
2) Определить границы, в которых с надежностью 0,99 заключен средний месячный доход жителя города.
Границы, в которых с надежностью 0,99 заключен средний месячный доход жителя города, определяются предельной ошибкой выборки, которая возможна с заданной доверительной вероятностью

.
Предельная ошибка бесповторной выборки находится как , где – аргумент функции Лапласа, соответствующий доверительной вероятности .
Оценка генеральной средней (доверительный интервал) будет удовлетворять следующему двойному неравенству:
где – выборочная средняя арифметическая.
Для заданной доверительной вероятности = 0,99 значение аргумента функции Лапласа .
Следовательно, , и искомый доверительный интервал для генеральной средней будет иметь вид:
или .
3) Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с надежностью 0,9973?
Для определения объема повторной выборки, необходимого для того, чтобы гарантировать определенную точность оценки генеральной средней, задаваемую предельной ошибкой выборки , при заданной надежности , используем формулу:
По условию задачи доверительная вероятность равна , что соответствует , а предельная ошибка из п.1. . Таким образом, объем повторной выборки приблизительно будет равен (округление производим всегда в большую сторону):
Зная объем повторной выборки и объем генеральной совокупности, вычисляем объем бесповторной выборки по формуле:
.
4). Решить задачи 1) – 3), если население города неизвестно, но очень велико по сравнению с объемом выборки.
Т.к