На основании обобщенной схемы электрической цепи, изображенной на рис. 5.1, начертить схему заданного варианта,

На основании обобщенной схемы электрической цепи, изображенной на рис. 5.1, начертить схему заданного варианта, которая содержит только элементы, обозначенные цифрой 1 в таблице 5.1. center635 Рисунок 5.1. Обобщенная схема электрической цепи Таблица 5.1 № схемы S1 E1 R1 L1 C1 S2 E2 R2 L2 C2 S3 E3 R3 L3 C3 21 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 Для полученной электрической цепи постоянного тока с двумя реактивными элементами и заданными в таблице 5.2 параметрами требуется: 1) рассчитать значения токов в ветвях и напряжений на реактивных элементах в установившемся докоммутационном режиме; 2) рассчитать значения токов в ветвях и напряжений на реактивных элементах в установившемся послекоммутационном режиме; 3) определить законы изменения токов в ветвях и напряжений на всех элементах электрической цепи в переходном режиме после замыкания ключа S; 4) произвести проверку правильности решения по независимым уравнениям Кирхгофа, записанным для мгновенных значений токов и напряжений; 5) построить временные зависимости токов и напряжений в интервале времени от 0 до 5τ в совмещенных по времени системах координат. Таблица 5.2 № вар. E1,В R1,Ом L1,мГн C1,мкФ E2,В R2,Ом 21 36 50 100 2000 12 5 L2,мГн C2,мкФ E3,В R3,Ом L3,мГн C3,мкФ 100 2000 24 10 100 2000 Для схемы электрической цепи постоянного тока заданного варианта требуется: 1) составить операторную схему замещения электрической цепи, соответствующей послекоммутационному режиму; 2) определить операторные изображения токов в ветвях в переходном режиме после замыкания ключа S; 3) определить законы изменения токов в ветвях в переходном режиме, используя теорему разложения.

Дана электрическая цепь постоянного тока, схема которой изображена на рис. 5.2, а параметры приведены в таблице 5.3.
1592580109220
Рисунок 5.2. Схема электрической цепи
Таблица 5.3
Параметр C1,мкФ
R2,Ом
E2,В
R3,Ом
L3,мГн
Значение 2000 5 12 10 100
5.1 Рассчет токов в ветвях и напряжений на реактивных элементах в установившемся докоммутационном режиме
На основании заданной схемы электрической цепи (см. рис. 5.2) изобразим схему, соответствующую установившемуся докоммутационному режиму (рис. 5.3).
Используя законы Ома и Кирхгофа, определим токи в ветвях и напряжения на реактивных элементах. Ток в индуктивности и напряжение на емкости представляют собой независимые начальные условия:
i2R2+i3R3+uL=E2; i1=0; i2=i3; uL=L3di3dt=0; uC=0.
Следовательно
i3=i2=E2R2+R3=1210+5=0,8A; i1=0; uL=0; uC=0.
1630680635Рисунок 5.3. Схема электрической цепи до коммутации
5.2 Рассчет токов в ветвях и напряжений на реактивных элементах в установившемся послекоммутационном режиме
На основании заданной схемы электрической цепи (см. рис. 5.2) изобразим схему, соответствующую установившемуся послекоммутационному режиму (рис. 5.4).
1259205635Рисунок 5.4. Схема электрической цепи после коммутации
Используя законы Ома и Кирхгофа, определим токи в ветвях и напряжения на реактивных элементах после окончания переходного процесса. Найденные значения представляют собой принужденные составляющие соответствующих величин:
i'2R2+i'3R3+u'L=E2; i'1=0; i'2=i'3; u'L=L3di'3dt=0; u'C=E2−i2'R2.
Следовательно
i'3=i'2=E2R2+R3=1210+5=0,8A; i'1=0; u'L=0; u'C=E2−i'2R2=12−0,8⋅5=8B.
5.3 Определение законов изменения токов в ветвях и напряжений на всех элементах электрической цепи в переходном режиме
По схеме электрической цепи после коммутации (см. рис. 5.4) составим систему независимых уравнений Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений:
i2=i3+i1;i2R2+i3R3+uL=E2;uC+i2R2=E2.i2=i3+C1duCdt;i2R2+i3R3+L3di3dt=E2;uC+i2R2=E2.
Сведем систему независимых уравнений Кирхгофа к одному дифференциальному уравнению второго порядка.
i3+C1duCdtR2+i3R3+L3di3dt=E2;uC+i3+C1duCdtR2=E2.i3R2+R3+C1R2duCdt+L3di3dt=E2;i3=E2−uC R2−C1duCdt.
Подставив выражение для i3 в первое уравнение получим:
d2uCdt2+C1R2R3+L3L3C1R2⋅duCdt+R2+R3L3C1R2⋅uC=E2R3L3C1R2.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
p2+0,002⋅5⋅10+0,10,1⋅0,002⋅5⋅p+5+100,1⋅0,002⋅5=0;
p2+200p+15000=0; p1=−100+j70,7; p2=−100−j70,7.
Учитывая вид корней характеристического уравнения, запишем полное решение для напряжения на емкости как сумму принужденной и свободной составляющих (см. п. 5.2):
uC=u'C+u''C=8+A1sin70,7t+A2cos70,7te−100t.
Используя полное решение для напряжения на емкости и его производную, запишем полное решение для тока в индуктивности:
i3=E2−uCR2−C1duCdt=12−8+A1sin70,7t+A2cos70,7te−100t5−
−0,002−100A1+70,7A2sin70,7t+70,7A1−100A2cos70,7te−100t=
=0,8+0,1414A2sin70,7t−0,1414A1cos70,7te−100t.
Найдем постоянные интегрирования A1 и A2 из системы алгебраических уравнений, полученной на основе записи решения для напряжения на емкости uC и тока индуктивности i3 для момента времени t=+0. Численные значения напряжения и тока в этот момент времени по законам коммутации примем равными независимым начальным условиям (см. п. 5.1):
0=8+A2;0,8=0,8−0,1414A1;A2=−8;A1=0.
Подставив найденные постоянные интегрирования в соответствующие уравнения, запишем окончательное решение для напряжения на емкости uC и тока индуктивности i3:
uC=8−8e−100tcos70,7t;
i3=0,8−1,1312e−100tsin70,7t.
Определим закон изменения тока в первой и второй ветвях:
i1=C1duCdt=0,002565,6sin70,7t+800cos70,7te−100t=1,1312sin70,7t+1,6cos70,7te−100t;
i2=E2−uCR2=12−8+8e−100tcos70,7t5=0,8+1,6e−100tcos70,7t.
Определим закон изменения напряжения на индуктивности:
uL=L3di3dt=11,312sin70,7t−8,0cos70,7te−100t.
Определим закон изменения напряжения на сопротивлениях:
uR2=i2R2=4+8e−100tcos70,7t;
uR3=i3R3=8−11,312e−100tsin70,7t.
5.4 Проверка правильности решения по независимым уравнениям Кирхгофа, записанным для мгновенных значений токов и напряжений
Первый закон Кирхгофа: i1−i2+i3=0;
1,1312sin70,7t+1,6cos70,7te−100t−0,8−1,6e−100tcos70,7t+0,8−1,1312e−100tsin70,7t=0;
0≡0.
Второй закон Кирхгофа для первого контура: uR2+uR3+uL−E2=0;
4+8e−100tcos70,7t+8−11,312e−100tsin70,7t+11,312sin70,7t−8,0cos70,7te−100t−12=0;
0≡0.
Второй закон Кирхгофа для второго контура: uC+uR2−E2=0;
8−8e−100tcos70,7t+4+8e−100tcos70,7t−12=0;0≡0.
5.5 Временные зависимости токов и напряжений в электрической цепи
На основании расчетов (см

. п.5.3) построим графики в интервале времени от 0 до 0,05 (от 0 до 5τ). Графики представлены на рисунках 5.5, 5.6.
center635
Рисунок 5.5. Временные зависимости токов в электрической цепи
center635Рисунок 5.6. Временные зависимости напряжений в электрической цепи
5.6 Составление операторной схемы замещения электрической цепи, соответствующей послекоммутационному режиму
На основании заданной схемы электрической цепи (см. рис.5.2) изобразим операторную схему замещения, соответствующую установившемуся послекоммутационному режиму 1744980629920(рис. 5.7).
Рисунок 5.7. Операторная схема замещения
Определим начальные условия для тока через индуктивность и напряжения на емкости. Для этого воспользуемся результатами, полученные в п. 5.1.
uC0=0;i3=0,8A.
5.7 Определение операторных изображений токов в ветвях в переходном режиме
Для определения операторных изображений токов в ветвях воспользуемся методом узловых потенциалов. Запишем систему уравнений по методу узловых потенциалов в операторной форме.
Принимаем потенциал нулевого узла φ0p=0.
Тогда система уравнений по методу узловых потенциалов примет вид
φ1pG11p=J11p.
Запишем собственную проводимость первого узла в операторной форме:
G11p=C1p+1R2+1R3+L3p;
G11p=L3C1R2p2+C1R2R3+L3p+R2+R3R2R3+L3p.
Запишем ток первого узла в операторной форме:
J11p=uC0C1pp+E2pR2−L3i30R3+L3p=E2pR2−L3i30R3+L3p;
J11p=E2L3−L3R2i30p+E2R3pR2L3p+R3.
Определим потенциал первого узла в операторной форме:
φ1p=J11pG11p;
φ1p=E2L3−L3R2i30p+E2R3pL3C1R2p2+C1R2R3+L3p+R2+R3.
Определим операторное изображение тока первой ветви с учетом того, что uC(0)=0:
I1p=φ1p−φ0pC1p=φ1pC1p;
I1p=C1E2L3−L3R2i30p+E2R3L3C1R2p2+C1R2R3+L3p+R2+R3.
Определим операторное изображение тока второй ветви:
I2p=−φ1p+φ0p+E2pR2=−φ1pp+E2R2p;
I2p=L3C1E2p2+C1E2R3+L3i30p+E2pL3C1R2p2+C1R2R3+L3p+R2+R3.
Определим операторное изображение тока третьей ветви:
I3p=I2p−I1p;
I3p=L3C1R2i30p2+L3i30p+E2pL3C1R2p2+C1R2R3+L3p+R2+R3.
5.8 Определение законов изменения токов в ветвях в переходном режиме по теореме разложения
Определим корни знаменателей операторных изображений токов. Сопоставив выражения знаменателей, можно отметить, что для I2(p) и I3(p) они являются эквивалентными, а знаменатель I1(p) отличается на множитель p. Следовательно корни знаменателей токов I2(p) и I3(p) будут одинаковыми, а два корня знаменателя тока I1(p) будут соответствовать корням знаменателей токов I2(p) и I3(p) за исключением корня p0=0.
Рассмотрим знаменатель тока I2(p) и найдем его корни:
pL3C1R2p2+C1R2R3+L3p+R2+R3=0;
p0,001p2+0,2p+15=0;
pp2+200p+15000=0; p0=0; p1=−100+j70,7; p2=−100−j70,7.
Произведем переход от изображения к оригиналу функции тока первой ветви по теореме разложения.
I1p=0,0016p+0,240,001p2+0,2p+15=Gi1pHi1p,
тогда по теореме разложения:
i1t=Gi1p1H'i1p1ep1t+Gi1p2H'i1p2ep2t,
где Gi1 – полином числителя I1(p);
H'i1 – производная полинома знаменателя I1(p).
i1t=0,8+j0,5656e−100−j70,7t+0,8−j0,5656e−100+j70,7t;
i1t=0,8e−j70,7t+ej70,7t−j0,5656ej70,7t−e−j70,7te−100t.
Воспользуемся преобразованием:
sinωt=12jejωt−e−jωt → jejωt−e−jωt=−2sinωt;
cosωt=12ejωt+e−jωt → ejωt+e−jωt=2cosωt;
i1t=1,6cos70,7t+1,1312sin70,7te−100t.
Произведем переход от изображения к оригиналу функции тока второй ветви по теореме разложения.
I2p=0,0024p2+0,32p+12p0,001p2+0,2p+15=Gi2pHi2p,
тогда по теореме разложения:
i2t=Gi2p0H'i2p0+Gi2p1H'i2p1ep1t+Gi2p2H'i2p2ep2t,
где Gi2 – полином числителя I2(p);
H'i2 – производная полинома знаменателя I2(p).
i2t=0,8+0,8e−100−j70,7t+0,8e−100+j70,7t;
i2t=0,8+0,8e−j70,7t+ej70,7te−100t.
i2t=0,8+1,6e−100tcos70,7t.
Произведем переход от изображения к оригиналу функции тока третьей ветви по теореме разложения.
I3p=0,0008p2+0,08p+12p0,001p2+0,2p+15=Gi3pHi3p,
тогда по теореме разложения:
i3t=Gi3p0H'i3p0+Gi3p1H'i3p1ep1t+Gi3p2H'i3p2ep2t,
где Gi3 – полином числителя I3(p);
H'i3 – производная полинома знаменателя I3(p).
i3t=0,8−j0,5656e−100−j70,7t+j0,5656e−100+j70,7t;
i3t=0,8+j0,5656ej70,7t−e−j70,7te−100t.
i3t=0,8−1,1312e−100tsin70,7t.
Полученные законы изменения токов соответствуют законам изменения токов переходного режима, рассчитанным классическим методом.
Расчетно-графическая работа №3
СИММЕТРИЧНАЯ ТРЕХФАЗНАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
На основании обобщенной схемы электрической цепи, изображенной на рис