На территории муниципального образования участковыми проводятся постоянные беседы по предотвращению бытового насилия. Количество мероприятий

На территории муниципального образования участковыми проводятся постоянные беседы по предотвращению бытового насилия. Количество мероприятий в течение месяца – случайная величина Х. Замечено, что число уменьшения количества случаев обращений в полицию с бытовым насилием за этот же период от своего среднего значения – также случайная величина Y. По таблицам данных требуется проанализировать: является ли распределение этих случайных величин нормальным и найти уравнение регрессии – числа уменьшения правонарушений в зависимости от числа мероприятий на территории муниципалитета. По уравнению регрессии сделать прогноз уменьшения числа правонарушений, если число мероприятий будет равно 22. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi 6 2 5 7 4 1 8 1 2 6 1 9 6 3 6 yi 8 6 7 7 1 6 6 2 4 9 4 4 5 9 3 Где xi – число мероприятий на i-ой неделе, yi – величина, на которую уменьшилось число правонарушений за ту же неделю, i=1,2,…,15 – календарная неделя.

Доверительный интервал
Построение вариационного ряда
Строим вариационный ряд ля случайной величины Х.
Таблица 1. kx=9
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ni
3 2 1 1 1 4 1 1 1
Строим вариационный ряд ля случайной величины Y.
Таблица 2. ky=9
yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ni
1 1 1 3 1 3 2 1 2
Находим среднее выборочное, выборочную дисперсию и исправленную дисперсию. Объем выборки: n=15.
x=1ni=1kxxi∙ni Dv=1ni=1kxxi2∙ni-x2 1
S=nn-1Dv, σ=Dv, s=S
где kx – число вариант вариационного ряда.
По формулам (1) и вариационном уряду таблицы 1 находим среднее выборочное, выборочную дисперсию и исправленную дисперсию выборки Х.
x=115∙1∙3+2∙2+3∙1+4∙1+5∙1+6∙4+7∙1+8∙1+9∙1=6715=4,47
DXv=115∙1∙3+4∙2+9∙1+16∙1+25∙1+36∙4+49∙1+64∙1+81∙1-4,472=6,65
σx=6,65=2,58, Sx=1514∙6,65=7,12, sx=7,12=2,67
По формулам (1) и вариационном уряду таблицы 2 находим среднее выборочное, выборочную дисперсию и исправленную дисперсию выборки Y.
y=115∙1∙1+2∙1+3∙1+4∙3+5∙1+6∙3+7∙2+8∙1+9∙2=8115=5,4
DYv=115∙1∙1+4∙1+9∙1+16∙3+25∙1+36∙3+49∙2+64∙1+81∙2-5,42=5,44
σy=5,44=2,33, Sy=1514∙5,44=5,81, sy=5,81=2,41
Нахождение доверительного интервала для математического ожидания а с доверительной вероятностью γ=0,95 при n=15.
Для заданной надежности γ=0,95 при n=15 по таблице распределения Cтъюдента находим t0,95;15=2,15.
Найдем нижнюю α и верхнюю β границы интервала математического ожидания aX случайной величины Х:
α=x-tγ;n sx/n=4,47-2,15∙2,67/15=2,99
β=x+tγ;n sx/n=4,47+2,15∙2,67/15=5,95
Откуда находим, что доверительный интервал для математического ожидания а случайной величины Х с доверительной вероятностью γ=0,95 имеет вид aX∈(2,99;5,95)γ=0,95
Найдем нижнюю α и верхнюю β границы интервала математического ожидания aX случайной величины Y:
α=y-tγ;n sy/n=5,4-2,15∙2,41/15=4,06
β=y+tγ;n sy/n=5,4+2,15∙2,41/15=6,74
Откуда находим, что доверительный интервал для математического ожидания а случайной величины Y с доверительной вероятностью γ=0,95 имеет вид aY∈(4,06;6,74)γ=0,95
Построение гистограмм
Построим гистограмму для случайной величины Х.
Находим размах выборки H=xmax-xmin=9-1=8.
Находим длину интервала h=H:5=8:5=1,6.
Строим интервальный ряд плотностей относительных частот, группируя варианты по интервалам.
Таблица 3
xi
[1;2,6) [2,4;4,2) [4,2;5,8) [5,8;7,4) [7,4;9]
ninh
0,24 0,10 0,05 0,24 0,10
По интервальному ряду таблицы 3 строим гистограмму относительных частот

. (Площадь каждого прямоугольника равна относительной частоте pi=Wih. Полная площадь под графиком на рис. 2 равна единице.)
Рис. 1. Гистограмма случайной величины Х
На построенную гистограмму накладываем график функции плотности нормально распределения с полученными значениями: в качестве математического ожидания возьмем среднее выборочное ax=x=4,47, а с.к.о. = sx=2,67 (исправленное выборочное с.к.о. Х)
Так как ax=x=4,47, то максимальное значение, равное 0,15 будет достигаться в точке 4,47. Так как с.к.о. = sx=2,67, то в точках ax-sx=4,47-2,67=1,8 и ax+sx=4,47+2,67=7,14 значение функции достигает 60% от максимума, то есть 0,15∙0,6=0,09 и в этих точках возникает перегиб функции.
Из вида гистограмма на рис. 1 и наложенной на нее соответствующей функции плотности нормального распределения делаем вывод, что предположение о нормальности распределения случайной величины Х вполне допустимо, но для большей надежности желательно иметь большее число данных наблюдения.
Построим гистограмму для случайной величины Y.
Находим размах выборки H=ymax-ymin=9-1=8.
Находим длину интервала h=H:5=8:5=1,6.
Строим интервальный ряд плотностей относительных частот, группируя варианты по интервалам.
Таблица 4
yi
[1;2,6) [2,4;4,2) [4,2;5,8) [5,8;7,4) [7,4;9]
ninh
0,10 0,19 0,05 0,24 0,14
По интервальному ряду таблицы 4 строим гистограмму относительных частот. (Площадь каждого прямоугольника равна относительной частоте pi=Wih. Полная площадь под графиком на рис. 2 равна единице.)
Рис.2 Гистограмма случайной величины Y
На построенную гистограмму накладываем график функции плотности нормально распределения с полученными значениями: в качестве математического ожидания возьмем среднее выборочное ay=y=5,4, а с.к.о. = sy=2,41 (исправленное выборочное с.к.о. Y)
Так как ay=y=5,4, то максимальное значение, равное равное 0,15 будет достигаться в точке 4,47. Так как с.к.о. = sy=2,41, то в точках ay-sy=5,4-2,41=2,99 и ay+sy=5,4+2,41=7,81 значение функции достигает 60% от максимума, то есть 0,17∙0,6=0,10 и в этих точках возникает перегиб функции.
Из вида гистограмма на рис