Организация по прокату велосипедов в городе выдает велосипеды напрокат в трех пунктах города: А,

Организация по прокату велосипедов в городе выдает велосипеды напрокат в трех пунктах города: А, В, С. Клиенты могут возвращать велосипеды в любой из трех пунктов. Анализ процесса возвращения велосипедов из проката в течение года показал, что клиенты возвращают велосипеды в пункты А, В, С в соответствии со следующими вероятностями: Пункты выдачи Пункты приема велосипедов А В С А 0,6 0,4 0 В 0,2 0,1 0,7 С 0,2 0,2 0,6 Требуется: в предположении, что число клиентов в городе не изменяется, найти процентное распределение клиентов, возвращающих велосипеды по станциям проката к концу года, если в начале года оно было равномерным; найти вероятности состояний в установившемся режиме; определить пункт проката, у которого более целесообразно строить станцию по ремонту велосипедов

Матрица перехода:
P=0.60.400.20.10.70.20.20.6
Начальное распределение вероятностей равномерное:
p0=1/31/31/3.
Вероятности состояний системы на n-й год:
pn=PnT∙p0
Через год
p1=0.60.400.20.10.70.20.20.6T131313=0.60.20.20.40.10.200.70.6131313=
=35+15+1513 25+110+1513710+3513=137301330≈0.33330.23330.4333.
Процентное распределение возвратов клиентов:
33,33% на пункт A;
23,33% на пункт B;
43,33% на пункт C;
Стационарные установившиеся вероятности qi определяются из системы уравнений
0.6q1+0.2q2+0.2q3=q10.4q1+0.1q2+0.2q3=q20.7q2+0.6q3=q3q1+q2+q3=1
Из первых трёх уравнений только два линейно независимых, поэтому вместо первых двух запишем их разность – так исключим q3:
-0.8q1+1.1q2=00.7q2-0.4q3=0q1+q2+q3=1⟹q1=118q2q3=74q2q1+q2+q3=1
118q2+q2+74q2=1⟹338q2=1, q2=833.
Тогда
q1=118q2=13, q3=74q2=1433.
Стационарное распределение вероятностей:
q=13;833;1433
Станцию по ремонту велосипедов целесообразно строить около третьего пункта, так как именно туда велосипеды возвращаю чаще всего (вероятность q3 самая большая).
Непрерывные цепи Маркова