По приведенным ниже данным: а) построить групповую таблицу, показывающую зависимость между двумя признаками; б) дать графическое

По приведенным ниже данным: а) построить групповую таблицу, показывающую зависимость между двумя признаками; б) дать графическое изображение зависимости; в) рассчитать линейный коэффициент корреляции; г) оценить существенность коэффициента корреляции; д) построить линейное и одно из криволинейных уравнений зависимости между фактором и результатом, оценить параметры уравнений; е) на основе ошибки аппроксимации выбрать лучшее уравнение; ж) сделать выводы. Имеются следующие данные о производительности труда и среднегодовой стоимости основных производственных фондов (ОПФ): № п/п Производительность труда, тыс. руб. / чел. Среднегодовая стоимость ОПС, млн. руб. 1 173,5 184,33 2 74,1 58,42 3 68,6 59,4 4 60,8 49,63 5 268,1 391,27 6 264,8 258,62 7 274,9 75,66 8 118,6 123,68 9 31,1 37,21 10 57,7 53,37 11 51,6 32,87 12 64,7 45,63 13 48,3 48,41 14 15,0 13,58 15 87,5 63,99 16 108,4 104,55 17 267,3 222,11 18 34,2 25,76

Используя шкалу определения оптимального числа групп, из 18-ти единиц образуем три группы.
Проводим группировку по факторному признаку – среднегодовой стоимости ОПФ, образуем три группы с равными интервалами. Величину интервала группировки определяем по формуле:
Δ=xmaxxminn
где Δ– величина интервала;
xmax – максимальное значение группировочного признака;
xmin – минимальное значение группировочного признака;
n – число групп.
Δ=391,27-13,583=377,693=126 млн. руб.
1-я группа 2-я группа 3-я группа
13,58 – 139,58 139,58 –265,58 265,58 – 391,58
Таблица 1 – Группировка основных фондов по среднегодовой стоимости ОПФ
Группы по среднегодовой стоимости ОПФ, млн. руб. № п/п Производительность труда,
тыс. руб. / чел. Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.
13,58 – 139,58 14, 18, 11,9, 12, 13, 4, 10, 2, 3, 15, 7, 16, 8
15; 34,2; 51,6; 31,1; 64,7; 48,3; 60,8; 57,7; 74,1; 68,6; 87,5; 274,9; 108,4; 118,6
13,58; 25,76; 32,87; 37,21; 45,63; 48,41; 49,63; 53,37; 58,42; 59,4;
63,99; 75,66; 104,55; 123,68
Итого 14 1095,5 792,16
139,58 –265,58 1, 17, 6 173,5; 267,3; 264,8 184,33; 222,11; 258,62
Итого 3 705,6 665,06
265,58 – 391,58 5 268,1 391,27
Итого 1 268,1 391,27
Всего 18 2069,2 1848,49
Таблица 1 – Аналитическая группировка по среднегодовой стоимости ОПФ
Номер группы
Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб. Число единиц Средний размер стоимости ОПФ,
млн. руб.
Средняя производительность труда,
тыс. руб. / чел.
1 13,58 – 139,58 14 56,58 78,3
2 139,58 –265,58 3 221,69 235,2
3 265,58 – 391,58 1 391,27 268,1
Итого 18 102,69 115,0

Наблюдается прямая зависимость между признаками. С увеличением среднего размера стоимости основных производственных фондов, увеличивается средняя производительность труда.
б) Графическое изображение линейной зависимости.
Рисунок 1 – Корреляционное поле зависимости между признаками
На графике видим, прямую линейную зависимость между признаками.
в) рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:
Коэффициент корреляции r определим по формуле:
Таблица 2 - Расчетные данные для определения коэффициента корреляции
№ п/п Производительность труда, тыс. руб.\чел.
y Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.
x
у2
x2
xy
1 173,5 184,33 30102,3 33977,55 31981,26
2 74,1 58,42 5490,8 3412,90 4328,92
3 68,6 59,4 4706,0 3528,36 4074,84
4 60,8 49,63 3696,6 2463,14 3017,50
5 268,1 391,27 71877,6 153092,21 104899,49
6 264,8 258,62 70119,0 66884,30 68482,58
7 274,9 75,66 75570,0 5724,44 20798,93
8 118,6 123,68 14066,0 15296,74 14668,45
9 31,1 37,21 967,2 1384,58 1157,23
10 57,7 53,37 3329,3 2848,36 3079,45
11 51,6 32,87 2662,6 1080,44 1696,09
12 64,7 45,63 4186,1 2082,10 2952,26
13 48,3 48,41 2332,9 2343,53 2338,20
14 15,0 13,58 225,0 184,42 203,70
15 87,5 63,99 7656,3 4094,72 5599,13
16 108,4 104,55 11750,6 10930,70 11333,22
17 267,3 222,11 71449,3 49332,85 59370,00
18 34,2 25,76 1169,6 663,58 880,99
Итого 2069,2 1848,49 381357,1 359324,90 340862,24
По шкале Чеддока коэффициент корреляции 0,82 свидетельствует о высокой корреляционной связи между признаками.
д) построить линейное и одно из криволинейных уравнений зависимости между фактором и результатом, оценить параметры уравнений;
е) на основе ошибки аппроксимации выбрать лучшее уравнение;
ж) сделать выводы.
г) вероятностная оценка существенности коэффициента корреляции при малой выборке можно осуществить на основе расчета значения t - критерия Стьюдента
,
гдеr - коэффициент корреляции;
n - число сопоставляемых пар наблюдений.
tрас=0,8218-21-0,82²=3,280,572=5,734
По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =18-1-1=16 получаем =2,120.
Фактическое значения превышают табличное критическое значение

. Это позволяет признать вычисленный коэффициент корреляции типичным.
д) линейная зависимость
Если с увеличением факторного признака результативный признак равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой
где yx – теоретическая зависимость (уравнение регрессии) результативного признака от факторного;
x – факторный признак;
а0, а1 – параметры уравнения прямой.
Параметры уравнения прямой а0 и а1, определяются путем решения системы уравнений, полученных с использованием метода наименьших квадратов:
где xi, yi – индивидуальные значения факторного и результативного признаков;
n – число индивидуальных значений признака.
Данные берем из таблицы 3.
Решение указанной системы уравнений дает следующие формулы для нахождения параметров и :
;
Найдем теоретические уровни производительности труда по формуле:
y=a0+a1x= 37,18+0,7574
Таблица 3 - Расчетные данные для определения параметров уравнения
№ п/п Производительность труда, тыс