Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов. Известно, что

Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов. Известно, что для производства одного изделия А требуется сырье 1-го типа в количестве 2 (ед.), 2-го типа – 1 (ед.) и 3-го типа – 2 (ед.), а для производства изделия В - 1, 1 и 5 соответственно. Запасы сырья на предприятии ограничены и составляют величины 16, 9 и 30 соответственно. Известно также, что прибыль от реализации одного изделия А составляет 6 (руб.), а одного изделия В – 7 (руб.). Требуется составить такой план производства изделий из имеющегося сырья, чтобы суммарная прибыль от реализации всех изделий была максимальной (для этого построить соответствующую математическую модель и решить полученную задачу линейного программирования графически и симплекс методом). Получить двойственные оценки ресурсов и дать их экономический анализ.

Составим математическую модель задачи:
Введем переменные:
х1 – количество производимых изделий А,
х2 – количество производимых изделий В.
Целевая функция прибыли будет иметь вид:
F(x1, x2) = 6x1 + 7x2
Ограничения будут иметь вид:
На запасы сырья 1-го типа2x1 + x2 ≤ 16
На запасы сырья 2-го типаx1 + x2 ≤ 9
На запасы сырья 3-го типа2x1 + 5x2 ≤ 30
Получим математическую модель:
Необходимо максимизировать целевую функцию
F(x1, x2) = 6x1 + 7x2 max
при ограничениях
2x1 + x2 ≤ 16,
x1 + x2 ≤ 9,
2x1 + 5x2 ≤ 30,
x1, x2 ≥ 0
Решим задачу графически
Построим множество допустимых решений, задаваемое ограничениями (1)-(4).
Ограничение (1) в задаче определяется прямой 2x1 + x2 = 16, проходящей через точки (0, 16) и (8, 0), область расположена ниже прямой.
Ограничение (2) в задаче определяется прямой x1 + х2 = 9, проходящей через точки (0, 9) и (9, 0), область расположена ниже прямой.
Ограничение (3) в задаче определяется прямой 2x1 + 5х2 = 30, проходящей через точки (0, 6) и (15, 0), область расположена ниже прямой.
Ограничения (4) в задаче задают 1-ю четверть координатной плоскости.
Построим на координатной плоскости данные прямые и множество допустимых решений – заштрихованная область.
23704551674495F(X)
020000F(X)
1491615256222500219646518669000028536902181225002367915195262500249174020097750026822402085975002225040192405000284924521805900026917651923415А
00А
33775652218690(3)
00(3)
22345651437640(2)
00(2)
2425065961390(1)
00(1)
Построим градиент функции F(X) = (6, 7)Т в точке с координатами (0,0).
Построим линию уровня функции f(X) = C, проходящую через точку с координатами (0, 0). Для этого построим прямую 6x1 + 7х2 = 0.
Будем искать точку максимума функции как последнюю точку касания линии уровня функции и множества допустимых решений в направлении градиента функции

. Как видно из чертежа, это точка А.
Найдем ее координаты как пересечение двух прямых (2) и (3):
Таким образом, получено решение задачи поиска максимума функции:
x1* = 5
x2* = 4
Fmax(X*) = 65 + 74 = 58
Решим задачу симплекс-методом
Подготовим задачу к решению симплекс-методом.
Перейдем к задаче в канонической форме. Запишем ограничения в виде равенств. Введем в каждое ограничение дополнительную переменную с коэффициентом 1:
Запишем первую симплекс-таблицу
В графе Бп записываются переменные, принимаемые за базисные. На первом этапе это – х3, х4, х5. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
В столбец Сi записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец Бр – столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов при i –й переменной.
Таблица № 1
6 7 0 0 0 Сj
Сi
Бп
Бр
x1 х2
х3 х4
x5 ri
0 х3 16 2 1 1 0 0 16
0 х4
9 1 1 0 1 0 9
0 x5 30 2 5 0 0 1 6 Z-строка
6 7 0 0 0
Z-столбец
Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных:
Т.к. ∆2 = max(∆1, ∆2) и ∆2>0, то в базис вводится переменная х2. Соответствующий этой переменной столбец – Z-столбец.
Вычислим величины ri, как отношения элементов столбца Бр к элементам Z-столбца:
Из базиса выводится переменная x5, т.к. ей по строке соответствует минимальная неотрицательная величина r5 , соответствующая ей строка – Z-строка.
На пересечении Z-столбца и Z-строки, находится разрешающий элемент R = 5.
Осуществим пересчет таблицы: запишем новые базисные переменные, разделим элементы Z-строки на разрешающий элемент 5, затем вычтем ее из 1-й и 2-й строки, умножив на соответствующий элемент Z-столбца