Предприятие, затрачивая для производства 15 единиц материальных затрат и 90 трудовых, выпускало 110 единиц

Предприятие, затрачивая для производства 15 единиц материальных затрат и 90 трудовых, выпускало 110 единиц продукции. В результате расширения производства при увеличении материальных затрат до 45 единиц выпуск возрос до 111 единиц, а при увеличении трудозатрат до 110 единиц выпуск вырос до 121 единиц. 1) Найти максимальную величину производства при ограничениях на ресурсы – материальных затрат может быть использовано не менее 15 и не более 55 единиц, а трудовых не менее 10 и не более 130 единиц. 2) Определите предельную норму замещения труда капиталом, если труда тратить в 2 раза больше, чем капитала. 3) Определите предельную норму замещения капитала трудом, если труда тратить на 25% больше, чем капитала. 4) Определите предельную норму замещения труда капиталом если труд и капитал тратить в равных количествах. 5) Определить: а) предельные и средние производительности капитала и труда, б) частичные эластичности капитала и труда, при затратах капитала и труда дающих максимум производственной функции. в) Определить, при каких значениях затрат труда и капитала происходит максимальный прирост продукции и вычислить соответствующее значение производственной функции при ограничениях на ресурсы, приведённых в п. 3.

Составим производственную функцию Кобба-Дугласа.
Записав для удобства исходные данные в виде таблицы, рассчитываем параметры производственных функций.
X1 15 45 -
X2 90 - 110
y 110 111 121
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Для нахождения параметров а1 и а2 используем формулу:
Получаем:
Для нахождения b подставляем в уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы:
В результате производственная функция имеет вид:
Максимальное количество выпускаемой продукции достигается при максимальном использовании обеих производственных факторов:
у.е.
То есть предприятие максимально сможет выпустить 131 у.е . продукции.
2) Найдем предельный продукт капитала и труда:
Предельная норма замещения труда капиталом:
По условию х2=2х1
Предельная норма замещения труда капиталом составляет 1 единица.
3) Аналогично п. 2:
По условию х2=1,25х1.
Предельная норма замещения капитала трудом составляет 29 единиц.
4) Предельная норма замещения труда капиталом согласно п.2:
По условию х2=х1
Предельная норма замещения труда капиталом составляет 0,02 единицы.
5) а) предельные производительности определены в п.2
Средний продукт труда и капитала составят:
б) Параметры а1 и а2 называют коэффициентами эластичности, поэтому частичная эластичность капитала составляет 45%, а труда – 1%.
в) Прирост продукции показывает предельный продукт труда и капитала.
Согласно п.3 х2=1,25х1.
Таким образом максимум обоих функций достигается при минимальных знаменателях, а значит при минимуме капитала, если это целое число, то выходит 1 единица капитала и 1,25 единиц труда или округлив до целых 1 единица труда.
То есть максимальный прирост продукции произойдет при использовании 1 единицы труда и капитала.

. продукции.
2) Найдем предельный продукт капитала и труда:
Предельная норма замещения труда капиталом:
По условию х2=2х1
Предельная норма замещения труда капиталом составляет 1 единица.
3) Аналогично п. 2:
По условию х2=1,25х1.
Предельная норма замещения капитала трудом составляет 29 единиц.
4) Предельная норма замещения труда капиталом согласно п.2:
По условию х2=х1
Предельная норма замещения труда капиталом составляет 0,02 единицы.
5) а) предельные производительности определены в п.2
Средний продукт труда и капитала составят:
б) Параметры а1 и а2 называют коэффициентами эластичности, поэтому частичная эластичность капитала составляет 45%, а труда – 1%.
в) Прирост продукции показывает предельный продукт труда и капитала.
Согласно п.3 х2=1,25х1.
Таким образом максимум обоих функций достигается при минимальных знаменателях, а значит при минимуме капитала, если это целое число, то выходит 1 единица капитала и 1,25 единиц труда или округлив до целых 1 единица труда.
То есть максимальный прирост продукции произойдет при использовании 1 единицы труда и капитала.