В таблице представлены наблюдения случайной величины X. № 1 2 3 4 5 6 7 8

В таблице представлены наблюдения случайной величины X. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 1 2 2 1 1 3 2 3 4 5 2 3 3 3 2 3 4 3 2 3 № 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 3 3 2 4 3 3 3 3 3 1 3 3 2 1 3 2 1 2 2 4 Для данных наблюдений: Определите выборочное распределение случайной величины X и постройте многоугольник ее распределения; Получить оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X. Определите для них 95% доверительные интервалы; Считая, что случайная величина X подчиняется биномиальному распределению (число опытов определяется наибольшим значением X) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения; По критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05 проверьте гипотезу о биномиальном распределении случайной величины X.

Составим таблицу частот случайной величины X. Для этого определим диапазон ее значений. Наименьшее значение X равно 1, наибольшее значение равно 5. Подсчитаем количество наблюдений X равных 1, получим n1=6. Подсчитаем количество наблюдений X равных 2, получим n2=11. Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы.
Выборочное распределение
xi
1 2 3 4 5 Σ
ni
6 11 18 4 1 40
pi=niN
0,15 0,275 0,45 0,1 0,025 1
pi
0,1425 0,3026 0,3213 0,1706 0,0362 1
pi-pi2pi
0,0004 0,0025 0,0516 0,0292 0,0035 0,0872
Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины X. Для этого разделим частоты на число наблюдений N. Получим выборочное распределение, которое представлено в третьей строке таблицы. В соответствии с полученным выборочным распределением, построим многоугольник распределения случайной величины X.
Оценка математического ожидания случайной величина X равна среднему арифметическому ее наблюдений
x=1Ni=1NXi
С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание X по формуле
x=1Ni=1nxini=1401∙6+2∙11+3∙18+4∙4+5∙1=1406+22+54+16+5=10340=2,575
где n=5 – число столбцов в таблице частот. Выборочную дисперсию случайной величины X также вычислим с помощью таблицы
Sx2=1Ni=1nxi2ni-x2=14012∙6+22∙11+32∙18+42∙4+52∙1-2,5752=1406+44+162+64+25-2,5752=30140-6,631=0,894
Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна
σx2=NN-1Sx2=4039∙0,894=0,917
Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X имеет вид
x-σxN∙tα<MX<x+σxN∙tα
где tα – критическая точка распределения Стьюдента

. По условию задачи доверительная вероятность равна 0,95, уровень значимости равен 1-0,95=0,05. Число степеней свободы N-1=40-1=39. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим tα=2,023. В результате получим доверительный интервал
2,575-0,91740∙2,023<MX<2,575+0,91740∙2,023
2,269<MX<2,881
Доверительный интервал для дисперсии случайной величины X имеет вид
N∙Sx2χв2<DX<N∙Sx2χн2
где χн2 и χв2 соответственно нижняя и верхняя критические точки распределения χ2. При заданной доверительной вероятности 0,95, определяем вероятность 1-0,95=0,05. Делим ее пополам 0,052=0,025. По таблице критических точек распределения χ2 с уровнем значимости 0,025 и числом степеней свободы N-1=40-1=39 находим χв2=58,12