Тепловой поток Q поступает через участок x<a плоской границы полубесконечного тела. Найти стационарное распределение

Тепловой поток Q поступает через участок x<a плоской границы полубесконечного тела. Найти стационарное распределение температуры в теле, считая поток равномерно распределенным и предполагая, что поверхность тела излучает тепло в окружающую среду по закону Ньютона. ∂2T∂x2+∂2T∂y2=0 (1) Tx→ ±∞ ограничено (2) Ty→ +∞ ограничено (3) ∂T∂yy=0-hTy=0=fx (4) fx=-Q2ak, x<a 0, x≥a

Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
Tx,y=Xx∙Yy.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (1)
X''x∙Yy+Xx∙Y''(y)=0
Разделим равенство на Xx∙Yy, получим
X''(x)X(x)+Y''yYy=0,
-X''(x)X(x)=Y''yYy=λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получаются два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
(5)
Y''y-λYy=0.
(6)
Если λ<0, то общие решения уравнений (5), (6) будут
Xx=C1e--λx+D1 e-λx,
Yy=C2cos-λy+D2 sin-λy,
Подставим Tx,y=Xx⋅Y(y) в условия ограниченности (2), (3), получим
Xx→ ±∞ ограничено, Yy→ +∞ ограничено.
Тогда
Xx→ +∞=limx→ +∞C1e--λx+D1 e-λx=limx→ +∞D1 e-λx ⇒ D1=0;
Xx→ -∞=limx→ -∞C1e--λx+D1 e-λx=limx→ -∞C1e--λx ⇒ C1=0;
Получили, что Xx≡0 − не подходит.
Если λ>0, то общие решения уравнений (5), (6) будут
Xx=C1cosλx+D1sinλx,
Yy=C2e-λy+D2 eλy,
Xx→ ±∞=limx→ ±∞C1cosλx+D1sinλx<∞;
Yy→ +∞=limy→ +∞C2e-λy+D2 eλy=limy→ +∞D2 eλy ⇒ D2=0 ⇒
⇒ Yy=C2e-λy.
Обозначим λ=μ2, μ∈(-∞;+∞), тогда
Yμy=C2μe-|μ|y,
Xμx=C1μcosμx+D1μsinμx.
(7)
Случай μ=0 дает X0x=C0+D0x, для ограниченности должно быть D0=0