Анализ зависимости валового дохода от стоимости основных фондов предприятия

Творческое задание № 5

 

«Анализ зависимости валового дохода от стоимости основных фондов предприятия»

 

Пояснение к ТЗ

Для выполнения работы необходимо собрать или использовать готовые данные о величинах валового дохода различных предприятий и организаций и стоимостях их основных фондов. Объем выборки должен содержать не менее 15 наблюдений. В качестве статистических наблюдений можно использовать данные статистических исследований, опубликованные в научных журналах и на специализированных сайтах. Затем необходимо провести обработку данных по следующей схеме:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной и экспоненциальной парной регрессий.
3. Оценить  тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Оценить  качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
5. С помощью F-критерия Фишера оценить  статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. Выбрать  лучшее уравнение регрессии и дать  его обоснование.
6. Рассчитать  прогнозное значение результата, при условии , что  прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определить  доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Работу нужно выполнить в двух вариантах. Вариант 1: работа выполняется вручную, все необходимые расчеты проводятся с помощью калькулятора или ППП Excel (но в функции калькулятора). Вариант 2: Решение задачи с помощью ППП Excel с использованием статистических функций. В заключении сравнение результатов, полученных в двух вариантах расчетов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предприятия легкой промышленности (на 01.01.2017). Источник данных «Центр раскрытия корпоративной информации» (e-disclosure.ru).

 

тыс. руб.

№	Название	Город	Величина валового дохода	Остаточная стоимость основных фондов
	ОАО "ДО "Орел"	г. Домодедово	32769	10069
	АО "Волжанка"	г. Саратов	33932	26140
	ОАО "Заря"	г. Владивосток	130874	506456
	ПАО "Митра"	г.Горбатов	19123	6659
	ОАО "Коломнатекмаш"	г. Коломна	93540	112809
	ОАО "Обувная фабрика "Спартак"	г.Казань	559051	1127041
	ОАО "Павловопосадская платочная мануфактура"	г. Павловский Посад	846064	172961
	ОАО "Адонис"	г.Казань	41182	0
	АО "ТП "КРАСНЫЙ ВОСТОК"	г. Москва	41875	2495
	ОАО "Трехгорная мануфактура"	г. Москва	1437649	317539
	АО "Красный Перекоп"	г.Ярославль	456915	68411
	ОАО "Павлово-Посадский камвольщик"	г.Павловский Посад	282241	57020
	ОАО "Никологорская швейная фабрика"	п. Никологоры	2605	2660
	ОАО БШФ "Россиянка"	г. Белгород	64742	12509
	ПАО «Победа труда»	г. Москва	94020	23295

 

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

Величина валового дохода, Y	Остаточная стоимость основных фондов, X
32769	10069
33932	26140
130874	506456
19123	6659
93540	112809
559051	1127041
846064	172961
41182	0
41875	2495
1437649	317539
456915	68411
282241	57020
2605	2660
64742	12509
94020	23295

 

 

По графику видно, что зависимость валового дохода от остаточной стоимости ОФ является нелинейной.

 

2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной и экспоненциальной парной регрессий.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a

Система нормальных уравнений.

an + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑yx

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x • y
10069	32769	101384761	1073807361	329951061
26140	33932	683299600	1151380624	886982480
506456	130874	256497679936	17128003876	66281922544
6659	19123	44342281	365689129	127340057
112809	93540	12725870481	8749731600	10552153860
1127041	559051	1270221415681	312538020601	630073398091
172961	846064	29915507521	715824292096	146336075504
0	41182	0	1695957124	0
2495	41875	6225025	1753515625	104478125
317539	1437649	100831016521	2066834647201	456509625811
68411	456915	4680064921	208771317225	31258012065
57020	282241	3251280400	79659982081	16093381820
2660	2605	7075600	6786025	6929300
12509	64742	156475081	4191526564	809857678
23295	94020	542657025	8839760400	2190195900
2446064	4136582	1679664294834	3428584417532	1361560304296

Для наших данных система уравнений имеет вид

15a + 2446064 b = 4136582

2446064 a + 1679664294834 b  = 1361560304296

Домножим уравнение (1) системы на (-163070.93), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-2446064a -398881931319.52 b = -674556273761.26

2446064 a + 1679664294834 b  = 1361560304296

Получаем:

1280782363514.5 b  = 687004030534.74

Откуда b = 0.5364

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

15a + 2446064 b = 4136582

15a + 2446064*0.5364 = 4136582

15a = 2824527.87

a = 188301.8582

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.5364, a = 188301.8582

Уравнение регрессии: y = 0.5364 x + 188301.8582

Это означает, что с ростом основных средств на 1тыс. руб., валовой доход растет на 0.5364 тыс. руб.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

3. Коэффициент корреляции.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между валовым доходом и величиной основных фондов  умеренная и прямая.

4. Оценим качество уравнения регрессии  с помощью ошибки абсолютной  аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных  значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 718.21%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.4012 = 0.1611, т.е. в 16.11% случаев изменения стоимости ОФ приводят к изменению величины валового дохода. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 83.89% изменения валового дохода Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

 

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	|y - yx|:y
10069	32769	193702.81	59050522809.816	25899691109.342	4.911
26140	33932	202323.198	58486650090.683	28355595621.465	4.963
506456	130874	459961.833	20995469043.484	108298801884.24	2.515
6659	19123	191873.706	65868777640.749	29842806448.572	9.034
112809	93540	248811.932	33208550419.217	24109372977.899	1.66
1127041	559051	792839.922	80246916299.953	54657260139.711	0.418
172961	846064	281077.106	325232813186.16	319210190335.69	0.668
0	41182	188301.858	55032530657.35	21644252684.674	3.572
2495	41875	189640.161	54707868981.55	21834542903.369	3.529
317539	1437649	358627.882	1349957853295.2	1164286572833.2	0.751
68411	456915	224997.11	32812738144.219	53785907603.195	0.508
57020	282241	218887.046	41846235.951	4013723510.571	0.224
2660	2605	189728.666	74620282733.549	35015266506.994	71.833
12509	64742	195011.611	44533717174.683	16970171588.669	2.012
23295	94020	200797.157	33033837971.217	11401361290.242	1.136
2446064	4136582	4136582	2287830374683.8	1919325517437.8	107.732

 

5. Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

5.1. Выдвигается  нулевая гипотеза о том, что  уравнение в целом статистически  незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.

5.2. Далее  определяют фактическое значение F-критерия:

или по формуле:

где m=1 для парной регрессии.

5.3. Табличное  значение определяется по таблицам  распределения Фишера для заданного  уровня значимости, принимая во  внимание, что число степеней  свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05.

5.4. Если фактическое  значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания  отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=13, Fтабл = 4.67

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

 

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a xb

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 148.91 b = 161.6

148.91 a + 1631.3 b  = 1752.77

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.7157, a = 3.9302

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = e3.93018006x0.7157 = 50.91614x0.7157

3. Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

 

 

Полученная величина свидетельствует о том, что стоимость ОС умеренно влияет на величину валового дохода.

4. Ошибка аппроксимации.

 

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 114.65%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Индекс детерминации.

т.е. в 11.89% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 88.11% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

5. F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=12, Fтабл = 4.75

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

 

Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a ebx

Для наших данных система уравнений имеет вид

15a + 2446064 b = 172.22

2446064 a + 1679664294834 b  = 31539431.24

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 3.0E-6, a = 11.0428

Уравнение регрессии:

y = e11.04284492 e2.7E-6x  = 62418.62e2.7E-6x

3. Вычислить индекс детерминации и проверить качество модели, используя вычисления по формулах не представляется возможным из-за слишком больших чисел. Для этого используем результаты функций Excel (Сервис/ Анализ данных / Регрессия)

4. Ошибка аппроксимации.

 

 

 

Уравнение регрессии: y = 62418.62e2.7E-6x

4. Ошибка аппроксимации.

3. Коэффициент детерминации

R2 = 0,24

Индекс детерминации.

R = 0,4934

5. F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=12, Fтабл = 4.75

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Показатель	Линейная регрессия	Степенная регрессия	Экспоненциальная регрессия
Коэффициент детерминации	0.1611	0.1189	0,24
Средняя ошибка аппроксимации	718.21	114.65	22 9.05

 

По максимальному коэффициенту детерминации и минимальной ошибке аппроксимации выбираем уравнение экспоненциальной регрессии.

y = 62418.62e2.7E-6x

 

6. Рассчитать  прогнозное  значение результата, при условии , что  прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определить  доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Xp = 163070.933*110% = 179378.03

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 179378.03

tкрит (n-m-1;α/2) = (13;0.025) = 2.16

y(179378.03) = 62418.62e2.7E-6x = 101264.8

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = a ebx

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

101252.413 ± 268010.87

(-166746,0447; 369275,6987)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения валового дохода при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

 

Выводы: Изучена зависимость валового дохода предприятий легкой промышленности от их основных средств. На этапе спецификации были выбраны парная линейная, степенная и экспоненциальная регрессии. Оценены их параметры методом наименьших квадратов. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера. По наилучшим показателям было выбрано уравнение экспоненциальной зависимости. Установлено, что в исследуемой ситуации 24% общей вариабельности валового дохода объясняется изменением величины основных средств. Доверительный интервал при изменении ОС на 10% от их средней величины составит: -166746,0447 ≤ y ≤ 369275,6987.

 

Сравнительная характеристика методов вычислений.

 

Виды регрессии	Линейная		Степенная		Экспоненциальная
	Функции Excel	Сервис Excel	Функции Excel	Сервис Excel	Функции Excel	Сервис Excel
Коэффициент детерминации	0.1611	0,161072	0.1189	0,648845	-0,3077	0,24
Параметры уравнения	0,536394 188301,9	0,536394 188301,9	3,93018 0,715706	3,93018 0,715706	2,69752E-06 11,04161897	2,69752E-06 11,04161897

 

 Несоответствие данных по R2 в степенной регрессии вызвано различными методиками расчета, т.к. расчет через сервис Excel происходил на основании логарифмированных данных.

Несоответствие данных по R2 в экспоненциальной регрессии вызвано ошибками округления при оперировании больших значений.

 

Литература и источники:

1. Мхитарян В. С. Эконометрика : Москва: Евразийский открытый институт, 2012: 224 с.

2. Яковлева А. В. Эконометрика : Саратов: Научная книга, 2012 -223с.

3. Новиков А.И. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Новиков А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: Дашков и К, 2015.- 224 c.

4. Шилова З.В. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Шилова З.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Ай Пи Ар Букс, 2015.— 148 c.

5. Кремер Н.Ш. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебник для студентов вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 328 c.

6. Соколов Г.А. Эконометрика: теоретические основы: Учебное пособие / Г.А. Соколов. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 216 с.

7. Балдин, К. В. Эконометрика [Электронный ресурс] : учеб. пособие для вузов / К. В. Балдин, О. Ф. Быстров, М. М. Соколов. - 2-е изд. перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012 – 254с.

8. Эконометрика. Практикум: Учебное пособие / С.А. Бородич. - М.: НИЦ ИНФРА-М; Мн.: Нов. знание, 2014. - 329 с.

9. Горидько Н.П. Регрессионное моделирование инфляционных процессов [Электронный ресурс]: монография/ Горидько Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: Российский новый университет, 2012.— 248 c