Частотные характеристики цепей. Комплексные функции цепи

Частотные характеристики цепей.

Комплексные функции цепи

Основным методом расчета цепей синусоидального тока является метод комплексных амплитуд. В его основе лежит пред­ставление синусоидальных функций через экспоненциальные функции мнимой частоты ƒω:

Применение экспоненциальной функции делает возможным ввести понятие комплексной функции цепи, имеющей исключи­тельно большое значение в теории цепей. Понятие комплексной функции используется для описани линейных цепей, не содержа­щих независимые источники энергии.

В самом общем случае сигнал на выходе (реакция) такой цепи х_вых и сигнал на ее входе (воздействие) х_вх связаны линей­ным дифференциальным уравнением вида

где — вещественные коэффициенты, за­висящие лишь от параметров цепи и ее схемы. Представим воздействие в виде экспоненты

. (6.2)

Реакция линейной цепи в установившемся режиме, т. е. спустя достаточно большой промежуток времени после появления воздей­ствия, имеет всегда тот же вид, что и воздействие, т. е.

(6.3)

Эти величины представляют токи или напряжения, действую­щие на участках цепи.

Так как дифференцирование экспоненты эквивалентно ее умно­жению на ƒω, после подстановки выражений (6.2) и (6.3) в фор­мулу (6.1) получим

Комплексной функцией цепи называется отношение реакции цепи к воздействию, заданному в виде экспоненциальной функции мнимой частоты ƒω:

Порядок цепи и ее комплексной функции определяется наи­высшей степенью при ƒω в знаменателе выражения (6.5).

С помощью комплексной функции легко найти изображение выходного сигнала как произведение

В зависимости от того, рассматривается реакция цепи со сто­роны точек приложения воздействия или же на других ее уча­стках, комплексные функции цепи разделяют на две группы: входные и передаточные.

Пусть на входных зажимах пассивной линейной цепи (рис. 6.1) действуют напряжение и ток . .Выделим в схеме элемент Z₂, на зажимах которого 2—2' дей­ствуют напряжение и ток .

Входной функцией цепи называется отношение изображений тока и напряжения, действующих на входных зажимах. В зави­симости от того, какая величина является воздействием, разли­чают входное сопротивление и входную проводимость:

. (6.7)

Передаточной функцией цепи называется отношение изобра­жений токов и напряжений, действующих на разных парах зажи­мов. В зависимости от того, что является воздействием, различают:

комплексные передаточные функции или коэффициенты пере­дачи по напряжению и по току:

; (6.8)

передаточные сопротивления:

(6.9)

передаточные проводимости:

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ЦЕПИ

И ЕЕ КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Чтобы установить связь между параметрами цепи и ее вход­ными и передаточными комплексными функциями, рассмотрим схему (рис. 6.2).

Пусть к входным зажимам k — k' пассивной линейной цепи, не содержащей внутренние независимые источники энергии, подклю­чен источник сигнала с э.д. с. I⅛ и внутренним сопротивлением Z_BH. При этом на входе цепи действуют напряжение U⅛ и ток I⅛, а на выходе, т. е. на любом интересующем нас ее элементе Z\,— напряжение U; и ток I/. Найдем соотношения между этими напря­жениями и токами. Для этого запишем систему уравнений по ме-тоду контурных токов, выбирая ⅛-й и 1-й контуры внешними:

Здесь Z_jj и Z_jk — контурные сопротивления; Z´_kk — сумма со­противлений элементов той части k-го контура, которая входит в состав рассматриваемой цепи и не включает внутреннее conpoтивление Z_BH источника; Z'_kk + Z_BH = Z_kk — контурное сопро­тивление k-го контура;

— контурные токи.

Исключим параметры источника сигнала из системы уравне­ний (6.11).

Так как

, (6.12)

эту систему перепишем в виде:

Ее решение по правилу Крамера относительно выходного тока с последующим разложением определителя Δ_l по l-му столбцу дает

(6.14)

где Δ — определитель системы;

Δ_l — определитель, получающийся из Δ заменой столбца, со­ставленного из коэффициентов Z_kl при неизвестном , столбцом, составленным из свободных членов;

Δ_kl — алгебраическое дополнение элемента Z_kl. Аналогично получим решение системы относительно тока на входе

(6.15)

Входные и передаточные функции цепи находим в виде отно­шения определителей системы (6.13), составленной по методу кон­турных токов:

Чтобы выяснить особенности полученных функций, рассмотрим более подробно определители Δ, Δ_kl, Δ_kk.

Общее выражение для определителя п-го порядка системы уравнений (6.13) имеет вид¹

Определитель Δ, таким образом, представляет сумму n! про­изведений. Каждое из этих произведений содержит п множите­лей. Каждый из множителей является элементом определителя и есть не что иное, как соответствующее контурное сопротивление рассматриваемой цепи.

Любое контурное сопротивление, как и сопротивление любой ветви в линейной цепи с конечным числом элементов, в общем случае является рациональной функцией мнимой частоты ƒω:

. (6.19)

где.

Так как произведения, суммы, разности и отношения рацио­нальных функций есть также рациональные функции, то и опре­делитель Δ — рациональная функция. То же самое можно сказать и об определителях Δ_kl, Δ_kk, которые отличаются от Δ лишь на единицу меньшим порядком.

Таким образом, убеждаемся, что как входные, так и переда­точные комплексные функции цепи являются рациональными функциями переменной ƒω и в общем виде могут быть представ­лены в виде рациональной дроби (6.5) с вещественными коэффи­циентами. Важно отметить, что все коэффициенты числителя и знаменателя этой дроби вещественные, так как они зависят лишь от схемы цепи и определяются параметрами ее элементов:

Системные функции цепи полностью определяются схемой и параметрами цепи и совершенно не зависят от параметров и схемы источника входного сигнала.

¹ Здесь α, ß, ..., υ пробегают все возможные n! перестановок из чисел 1, 2, ..., п; знак перед каждым членом определителя (т. е. перед каждым сла­гаемым) определяется числом q инверсий в каждой перестановке.

Соотношения (6.11) —(6.18) получены методом контурных то­ков. К аналогичным выражениям и сделанным выводам можно прийти, используя также дуальный метод — метод узловых напря­жений.

Действительно, пусть в схеме (см. рис. 6.2) независимые узлы

выбраны так, что Ù_k и Ù_l— узловые напряжения. Тогда можно записать систему узловых уравнений:

Здесь Y_jj и Y_jk — узловые проводимости; Y'_kk—сумма прово-димостей ветвей, подходящих k-му узлу и принадлежащих рас­сматриваемой цепи, взятая без учета источника входного сигнала; (Y'_kk+Y_вн) = Y_kk узловая проводимость k-гo узла; — узловые напряжения.

Учитывая, что

, (6.21)

исключаем параметры источника сигнала из системы уравне­ний (6.20):

Решая полученную систему относительно Ù_l и Ù_k, с помощью соотношений (6.7) — (6.10) находим функции цепи через опреде­лители системы (6.22), составленной по методу узловых напря­жений:

Так как узловые проводимости

(6.26)

имеют те же свойства, что и контурные сопротивления (6.19), можно прийти к уже сформулированным выше выводам относи­тельно свойств системных функций цепи.

Сравнивая полученные для системных функций выражения (6.16) — (6.18) и (6.23) — (6.26), нужно отметить, что входящие в них определители соответствуют уравнениям, составленным по разным методам. В первом случае они соответствуют матрице контурных сопротивлений (МКС), а во втором — матрице узло­вых проводимостей (МУП).

Важно заметить, что в любых случаях для входных функций

(6.27)

а для передаточных функций

, (6.28)

так как

но (6.29)

Для описания цепи, например, системой контурных или узло­вых уравнений используются такие ее параметры, как контурные сопротивления или узловые проводимости. Они определяются зна­чениями сопротивлений элементов, входящих в состав цепи. Эти параметры зависят и от выбора независимых переменных, взятых в качестве определяющих (контурные токи, узловые напряжения), и соответствующих им основных топологических элементов цепи (независимые контуры, узлы), а также от того, какая из возмож­ных совокупностей этих величин и элементов принята для описа­ния данной цепи. Учитывая это обстоятельство, такие параметры называют первичными.

Комплексные функции цепи относятся к числу ее вторичных параметров. Вторичные параметры не зависят от выбора опреде­ляющих величин, выбора независимых контуров или узлов.

КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ

И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПИ

Комплексные функции цепи представляют отношения комп­лексных токов и напряжений, действующих на входе и выходе цепи при синусоидальном воздействии. Как и любые комплекс­ные числа, эти функции можно выразить в показательной или ал­гебраической форме через модуль и аргумент или через веще­ственную и мнимую части:

. (6.30)

Здесь

Зависимость модуля K(ω) комплексной функции цепи от ча­стоты называется ее амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Величина K(ω) определяет отношение амплитуды реак­ции цепи к амплитуде воздей­ствия.

Зависимость аргумента φ(ω) комплексной функции цепи от частоты называется ее фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Величина φ(ω) опре­деляет сдвиг по фазе реакции Непи относительно воздейст­вия.

Зависимость вещественной части R(ω) от частоты назы­вается вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) цепи, а зависимость мнимой части X(ω) — ее мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Частотные характеристики описывают свойства цепи при воз­действии синусоидальных сигналов. С их помощью можно опре­делить реакцию цепи на заданное воздействие любой частоты, а также судить о важных особенностях и возможностях исполь­зования цепи. Например, АЧХ, приведенная на рис. 6.3, характе­ризует цепь, обладающую .свойством пропускать сигналы только в диапазоне частот от ω_c1 до ω_c2. Такую цепь используют как по­лосовой фильтр. С помощью приведенной АЧХ можно оценить та­кие его качественные показатели, как равномерность характери­стик в полосе пропускания (диапазон частот от ω_c1 до ω_c2), зату­хание в полосе непропускания (частоты менее ω_c1 и более ω_c2), крутизна характеристик на границах полосы пропускания. Кроме того, можно количественно определить граничные частоты ω_c1 и ω_c2, полосу пропускания П = ω_c2 - ω_c1и др.

Комплексная функция цепи К(ω) объединяет АЧХ и ФЧХ и поэтому часто называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Построение АФХ можно сделать как в декартовой, так и в полярной системе координат (рис. 6.4). Откладывая по координатным осям значения R(ω) и jX(ω) или в полярной системе K(ω) и φ(ω), можно при каждом конкретном значении ω найти положение вектора K(jω). Так как его компоненты R(ω), X(ω), K(ω) и φ(ω) в общем случае являются функциями частоты, то с изменением ω положение вектора K(jω) будет меняться. При этом будут изменяться как его модуль, так и аргумент. При из­менении частоты ω от 0 до (или в более общем случае от — до +) конец вектора опишет траекторию, называемую частот­ным годографом, которая и представляет амплитудно-фазовую характеристику цепи (рис. 6.5). На годогрэф наносится стрелка,

показывающая направление изменения частоты, а также указы­ваются точки, соответствующие конкретным значениям частоты ω. Годографы удобны для исследования устойчивости систем с об­ратной связью.

Для комплексных коэффициентов передачи K(jω) кроме алгеб­раической и показательной формы записи (6.30) часто, например в теории электрических фильтров, используется иная форма записи — экспоненциальная:

(6.35)

где

. (6.36)

Логарифмируя в (6.35) левую и правую части:

приходим к логарифмической частотной характеристике

. (6.38)

Функция α(ω) называется логарифмической амплитудно-ча­стотной характеристикой (ЛАЧХ), а ß(ω) остается равной φ(ω) и является фазо-частотной характеристикой.

Преимущества ЛАЧХ наиболее полно проявляются при реше­нии задач со сложными схемами и в задачах аппроксимации ха­рактеристик.

Величины и ß являются безразмерными; α измеряется в неперах (Нп), белах (Б) или децибелах (дБ):

Все указанные разновидности частотных характеристик могут быть легко измерены экспериментально. Соотношения частотных характеристик сведены в табл. 6.1.

Рассмотрим в качестве примеров частотные характеристики простейших rС- и rL-цепей первого порядка (рис. 6.6 и 6.7), на­шедших самое широкое применение в радиоэлектронике, системах связи, автоматического регулирования и т. д. В зависимости от назначения и соотношения параметров элементов они исполь­зуются в качестве фильтров нижних и верхних частот, переход­ных, корректирующих, дифференцирующих и интегрирующих це­почек.

Комплексную передаточную функцию по напряжению rС-схемы (рис. 6.6, а) найдем как отношения:

Здесь τ=rC — постоянная времени цепи. Соответствующие характеристики приведены на рис. 6.8.

Представляя комплексную функцию (6.40) в алгебраической форме

получаем ВЧХ и МЧХ (рис. 6.9):

⁽⁶·⁴³⁾

Построение частотного годографа или АФХ цепи можно сде­лать в системе координат R(ω) и X(ω) или K(ω) и φ(ω), откла­дывая значение этих функций при каждом конкретном значении

частоты ω, взятом в диапазоне от -до +. В рассматривае­мом случае годограф представляет окружность (рис. 6.10,а).

Комплексную передаточную функцию гС-схемы '(рис. 6.6,6)' находим аналогично:

Здесь

Графики частотных характеристик приведены на рис. 6.11. В данном случае частотный годограф-также окружность рис. 6.10,6).

Обращаясь теперь к схемам рис. 6.7, заметим, что выражения для комплексной передаточной функции rL-цепи (см. рис. 6.7, а)

(6.49)

и rL-цепи (см. рис. 6.7,6)

(6.48)

где -постоянная времени, отличаются лишь значением постоянной τ. Поэтому частотные характеристики rL-цепей (см, рис. 6.7) будут совпадать с частотными характеристиками соответ­ствующих rC-цепей (см. рис. 6.6).

1. Основна мета роботи

Основна мета роботи - засвоєння спектрального метода аналізу процесів шляхом розв‘язку задачі по визначенню реакції лінійного електричного кола на дію періодичного сигналу.

1. Основні відомості для розрахунку

Реакція лінійного електричного кола спектральним методом визначається в залежності від характеру зовнішньої дії (вхідного сигналу), а саме:

• при неперіодичних сигналах

де - - комплексна спектральна густина, або комплексний спектр, вихідного сигналу (реакції кола);

- комплексна спектральна густина вхідного сигналу;

- комплексна передаточна функція електричного кола;

- при періодичних сигналах

де - частота першої гармоніки спектру сигналу;

k – номер гармоніки;

- комплексні амплітуди спектральних складових (гармонік) вихідного сигналу (реакції) кола;

- комплексні амплітуди спектральних складових вхідного сигналу;

- значення комплексної передаточної функції кола на частотах спектральних складових.

Оскільки завдання полягає в аналізі проходження через лінійне коло сигналу у вигляді періодичної послідовності прямокутних імпульсів (ПППІ), нагадаємо характерні моменти спектрального метода саме для цього випадку.

1. Завдання.

На вході кола діє сигнал у вигляді ПППВІ напруги з параметрами: U_m= 0,25мВ; = 4мс;

T = 14мс, t₀= 2мс. Знайти реакцію кола спектральним методом.

1. Принципова схема електричного кола.

Z₁

Z₂

Z₃

Z₄

Z₅

Z₆

5. Розрахуємо еквівалентну схему з двома резисторами.

Z_1екв = = = 2 Ом

• 1. Розраховуємо значення постійної складової та амплітуд і початкових фаз гармонічних складових сигналу на вході

Спочатку розраховуємо шпаруватість q, максимальний номер гармоніки kмакс і частоти першої та наступних гармонік

= = 4

оскільки гранична частота "ефективного" спектру f_макс=2qF,

k_макс= 2q = 8;

Гц;

Гц

Гц

Гц

Гц

Гц

Гц

Гц

Постійна складова

Амплітуда першої (основної) і подальших гармонік

В

В

В

В

0,0000085 В

0,00001025 В

0,000012 В

0,0000125 В

Початкові фази 1,2,3 гармонік розраховуємо як

,

а 4, 5, 6 гармонік -

.

Результати подальших обчислень об‘єднаємо в таблиці. В цю таблицю внесемо також результати розрахунків АЧХ і ФЧХ кола, а також АЧС и ФЧС сигналу на виході.

За результатами розрахунків побудуємо спектри сигналу на вході кола

Umkвх,

мВ

0.4

0.002125

0.00225

0.012

0 71 142 284 568 1136 2272 4544 f, Гц

Ψk,вх,

рад

53

10

1,2

21

0 71 142 284 568 1136 2272 4544 f, Гц

6.2 Розраховуємо амплітудно - частотну і фазо - частотну характеристики кола.

В відповідності з визначенням комплексного коефіцієнта передачі напруги

Представимо в показниковій формі

=

де - амплітудно – частотна характеристика;

- фазо - частотна характеристика.

Підставляючи в отримані співвідношення частоти спектральних складових вхідного сигналу, обчислимо значення амплітудно – частотної та фазо – частотної характеристик в діапазоні частот, що відповідає ефективній ширині спектра. Результати розрахунків занесемо в таблицю.

Графіки АЧХ та ФЧХ досліджуваного кола приведені на рисунку

= 0

6.3 Розраховуємо амплітудно – частотний та фазо - частотний спектри сигналу на виході кола

Для АЧС:

Для ФЧС:

6.4. На завершення будуємо амплітудно – частотний та фазо – частотний спектри сигналу на виході кола.

Umkвых,

мВ

0 71 142 284 568 1136 2272 4544 f, Гц

0 71 142 284 568 1136 2272 4544 f, Гц

Таким чином, спектри сигналу на виході досліджуваного кола суттєво відрізняються від спектрів сигналу на вході. Зміни в спектрах обумовлені частотними властивостями кола, тобто частотною залежністю модуля і аргументу комплексного коефіцієнта передачі напруги кола.

Рекомендована література

2. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1987.

3. Добротворский И. Н. Теория электрических цепей. М.: Радио и связь, 1989.

4. Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. – М: Высшая школа, 1973.

5. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч. 1. – М: Энергия, 1970.