Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Численное дифференцирование

Содержание

Математическая часть: «Численное дифференцирование»

Численное дифференцирование………………………………………....2
Теорема Чебышева……………………………………………………….9
Примеры…………………………………………………………………12

Экономическая часть: «Учет фактора времени при оценке экономической эффективности хозяйственных мероприятий»

Основные понятия…………………………………………………….....15
Расчет экономической эффективности………………………………...22
Модельные расчеты……………………………………………………..33

Список используемой литературы……………………………………………35

1.1

Численное дифференцирование

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена

Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

Пусть функция задана в двух точках и ее значения

Посстроим интерполяционный многочлен первой степени

Производная равна

Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

(1)

Величина называется первой разностной производной.

Пусть задана в трех точках

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

В точке она равна

Получаем приближенную формулу

(2)

Величина называется центральной разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную

получаем приближенную формулу.

(3)

Величина называется второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует такая точка что

Доказательство. Очевидно неравенство

По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

Лемма 2.

1.Предположим, что Тогда существует такая точка , что

(4)

Если то существует такая точка , что

(5)

Когда то существует такая, что

(6) Доказательство. По формуле Тейлора

откуда следует (4).

Если то по формуле Тейлора

(7)

где

Подставим (7) в Получаем

Заменяя в соответствии с леммою 1

получаем

Откуда и следует (6).

Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):

Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.

Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству

(8)

Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам

(9)

где - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин

Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :

(12)

при этом

(13)

Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).

1.2

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

Рассмотрим частный случай теоремы Чебышева:

Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х1, Х2, Х3, ..., Хn,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, ..., п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение xi случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение xi можно считать случайной величиной Xi .

Предположим, что испытания удовлетворяют следующим требованиям:

1) испытания независимы. Это означает, что результаты Х1, Х2, Х3, ..., Хn испытаний—независимые случайные величины;

2) испытания проводятся в одинаковых условиях—это означает, с точки зрения теории вероятностей, что каждая из случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X, поэтому, MXi=MX и DXi=DX, i=1, 2, .... п.

Учитывая вышеуказанные условия, получим

Переходя к пределу, имеем

Из последнего равенства следует, что среднее арифметическое случайной величины Х обладает свойством устойчивости.

Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не дающего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.

Пример. Пусть в результате 100 независимых испытаний получены случайные величины Х1, Х2, …, Х100 с равными математическими ожиданиями М(Х)= 10 и равными дисперсиями D(X)= 1. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклоняется по абсолютной величине от М(Х) меньше чем на 1/2.

Решение:

Имеет место частный случай теоремы Чебышева. Применяя соответствующее неравенство для оценки вероятности, получим:

Первое неравенство Чебышёва

Пусть — неотрицательная случайная величина (то есть для любого ). Тогда для любого положительного числа справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что(9)

Для всех слагаемых в правой части , поэтому(10)

Из (9) и (10) следует требуемое.

]Второе неравенство Чебышёва

Пусть — случайная величина. Для любого положительного числа справедливо неравенство

Это неравенство содержалось в работе П. Л. Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 года и опубликованной в последовавшем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа , как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

Положим . Событие совпадает с событием , а потому

что и требовалось доказать.

1.3

Примеры

Можно указать неотрицательную случайную величину и положительное число такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.

Достаточно рассмотреть . Тогда , и , то есть .

Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.

Пример 1. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число , что первое неравенство Чебышёва является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно нулю. В первом случае возьмем положительное , меньшее положительного числа , например, положим . Тогда больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями

Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном .

Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины ? A требование положительности ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, ибо иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.

Закон больши́х чисел

Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики — закон больши́х чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это даёт возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больши́х чисел не было бы большей части прикладной математической статистики.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины попарно независимы и существует число такое, что при всех . Тогда для любого положительного выполнено неравенство(11)

Доказательство. Рассмотрим случайные величины и . Тогда согласно утверждению 10 , .

Из свойств математического ожидания следует, что , а из свойств дисперсии — что . Таким образом,

Из условия теоремы Чебышёва следует, что

Применим к второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

что и требовалось доказать.

Эта теорема была получена П. Л. Чебышёвым в той же работе 1867 года «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва.

Пример 2. Пусть , . При каких правая часть неравенства (11) не превосходит ? ? ?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равна . Она не превосходит , если , не превосходит , если , не превосходит , если .

Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании и фиксированных и убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причём при любом . Это утверждение называют законом больши́х чисел.

Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все , имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же дисперсию . В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое

Из закона больши́х чисел следует, что при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к , что записывают так:

Здесь знак означает «сходимость по вероятности». Это понятие отличается от «перехода к пределу» в математическом анализе. Последовательность имеет предел при , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при любом справедливо утверждение: . При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится ещё одно сколь угодно малое число и утверждение предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее .

2.1

Учет фактора времени при оценке экономической эффективности хозяйственный мероприятий

Как показывают события последних лет (1991-93гг) в

России, инфляционные процессы, будучи выпущенными из под

кредитно-финансового контроля, да к тому же усиленными

монополизированной структурой народного хозяйства, ведут к

некоторым специфическим негативным эффектам в области

сбережения, кредитования и инвестирования. Особенно угнетающе

инфляция подействовала на сферу долговременных

производственных инвестиций, начиная с 1985г не вводятся и не

строятся мощности по химической переработке древесины, не

обновляются технологии в деревообработке ( при том , что

продолжается расширение мощностей по производству сырых

пиломатериалов без утилизации отходов ) , деградирует

отечественное машиностроение для лесоперерабатывающих

отраслей. Наблюдается отчетливая тенденция сворачивания

долгосрочных инвестиций и примитивизации технологических

процессов (рост удельного веса кустарных трудо- и энергоемких

производств).

В этих условиях начинает сказываться своеобразный вакуум

апробированных методов определения экономической эффективности

хозяйственных мероприятий с комплексным учетом фактора

времени: как дисконтирования разновременных затрат,

результатов и эффектов, так и инфляционного обесценивания этих

показателей,в текущем денежном выражении.

Не претендуя на абсолютную точность, я считаю необходимым

привлечь внимание к разработанным предложениям, чтобы

стимулировать создание новых эффективных методов экономической

оценки хозяйственных мероприятий.

1. Первым шагом в данном направлении является уточнение

норматива дисконтирования разновременных затрат, результатов и

эффектов (Е), который применяется при определении этих

показателей за некоторый период (иногда называемый сроком

службы мероприятия НТП).

ЭТ = РТ - ЗТ ;

где: tк

РТ = Рt(1+Е)tР-t ;

t=tн

tк

ЗТ = Зt(1+E)tР-t ;

t=tн

Т = tк - tн ;

tР -- наиболее ранний по вариантам сравнения год,

предшествующий началу выпуска продукции

( получения результатов ) по данному

хозяйственному мероприятию;

Зt, Рt -- затраты и результаты в году (t) в текущем

денежном выражении;

tн, tк -- начальный и конечный годы периода, за который

определяется эффект от проведения хозяйствен-

ного мероприятия;

ЭТ, ЗТ, РТ -- эффект, затраты и результаты от проведения

данного мероприятия за период Т.

В известных методиках определения экономической

эффективности капитальных вложений и мероприятий НТП, норматив

экономической эффективности получал толкование вне

функционирования кредитно-денежной системы, как некая

статистическая технико-экономическая величина. Отсюда

возникали заметные расхождения между процентной ставкой

Госбанка (ныне - Центробанка) и нормативом (Е).

В частности в период введения последних версий Методик

эффективности (1988г) ставка банков, входящих в систему

Госбанка, была от 2 до 6 % , а Е=0,1 (т.е. 10% годовых).

Применение такого норматива в целях дисконтирования

разновременных затрат, результатов и эффектов, строго говоря,

было невозможно, так как норматив дисконтирования по своему

экономическому содержанию является показателем относительного

эффекта по замыкающему мероприятию (т.е. требующего минимума

затрат).

С переходом на двухуровневую банковскую систему и

установлением учетной ставки рефинансирования коммерческих

банков (до недавнего времени равной 80% , а с 1.04.93 =100%

годовых), норматив дисконтирования получил свою базу, так как

основная масса кредитов для производственных инвестиций

выдается теперь коммерческими банками. Получение бюджетных

средств под низкие проценты или безвозмездно для лесных

отраслей и лесного машиностроения практически исключается.

Таким образом в настоящее время, исходя из ученой ставки

Центробанка, можно было принять Е=0,8 при расчете по годовым

циклам, а при переходе к внутригодовым периодам величина Е

должна составить соответствующую долю от 0,8 .

Если в рамках рассматриваемого периода прогнозируется или

фактически происходит пересмотр учетной ставки, то начиная с

момента пересмотра, в расчетах необходимо применять новое

значение Е.

Если банк, через который решено финансировать данное

мероприятие (или в котором данное предприятие имеет ссудный

или расчетный счета, через которые будут проходить

инвестируемые средства), устанавливает ставку по депозитам

более высокую, чем учетная ставка Центробанка, то будет

правомерно применять в расчетах не учетную ставку, а

депозитный банковский процент.

2. Вторым шагом в совершенствовании и актуализации

методов расчета экономической эффективности является введение

поправочного коэффициента, обеспечивающего учет инфляции, в

определение норматива экономической эффективности (норматива

дисконтирования).

Динамика инфляции может быть оценена соотношением

индексов инфляции по смежным временным периодам:

It/It-1;

где It - индекс инфляции за период t (год) ;

It-1 - то же за период (t-1) .

Это соотношение устанавливает экономическую равноценность

затрат, результатов и эффектов двух смежных периодов,

оцененных в текущем денежном выражении. Если инфляция росла,

то в меру этого роста должен, в принципе, увеличиваться и

норматив эффективности. Если, например, инфляция снижалась, то

норматив эффективности должен соответственно уменьшиться.

Этот процесс похож на процесс коррекции банковских

ставок, когда с ростом инфляции банк поднимает ставку,

ограничивая этим кредитную эмиссию и повышая привлекательность

сбережений. Различие только в том, что банк основывается при

этом на движении индекса инфляции, но не буквально следует за

этим движением.

С учетом указанной коррекции норматив экономической

эффективности (норматив дисконтирования) будет выглядеть как:

Е * It/It-1.

Тогда в целом, формулы для определения затрат и

результатов за рассматриваемый период примут вид:

tк

ЗT = Зt(1+Е*It/It-1)tP-t ;

t=tн

tк

РT = Pt(1+E*It/It-1)tP-t .

t=tн

3. Руководствуясь предложенными методами, были проведены

модельные расчеты экономической эффективности различных

хозяйственных мероприятий.

Была задана определенная динамика инфляции в виде

индексов цен (цена за 1кг сахара) по отношению к некоему

исходному уровню (если последний принять за единицу). Этой

динамике инфляции соответствуют индексы инфляции, нормативы и

коэффициенты дисконтирования, приведенные в таблице 1.

Показатель степени в коэффициенте дисконтирования взят с

учетом полугодовых интервалов, на которые разбит весь период.

В таблицах 2 и 3 рассмотрены два хозяйственных

мероприятия -- два вида накоплений: накопления хозяйственного

субъекта - клиента банка и накопления самого банка в

результате краткосрочного кредитования.

Данные о движении сбережений соответствуют

дисконтированию затрат и результатов при определении

экономического эффекта.

Положительная степень при расчете кругооборотного

нарастания вложенных сумм соответствует отрицательной степени

при определении коэффициента дисконтирования. Экономическая

сущность дисконтирования проявляется именно в том, чтобы

вычесть из более поздних результатов эффект так называемого