Чотирикутник
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ГІМНАЗІЯ № 4
НАУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА
На тему: „Чотирикутник’’
Денис Константинович
Юлія Миколаївна
Миколаїв
I. Чотирикутник та його елементи.
1. Загальні властивості чотирикутника.
2.Ознаки подібності
3.Вписаний і описаний
II. Класифікація чотирикутників.
1.Паралелограм.
а. Ознаки паралелограма.
б. Властивості паралелограма.
в. Площа паралелограма.
2.Ромб.
а. Ознаки ромба.
б. Властивості ромба.
в. Площа ромба.
г. Вписаний і описаний ромб.
3.Прямокутник.
а. Ознаки прямокутника.
б. Властивості прямокутника.
в. Площа прямокутника.
г. Вписаний і описаний
4. Квадрат.
а. Властивості квадрата.
б. Вписаний і описаний
в. Площа квадрата.
5. Трапеція.
а. Види трапеції.
б. Властивості довільної
в. Властивості рівнобічної
г. Ознаки рівнобічної
д. Середня лінія трапеції, її властивості.
е. Вписана і описана трапеція.
III. Розв’язання задач.
Чотирикутник - це фігура , яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно з’єднують точки. Дві вершини чотирикутника, які не є кінцями однієї сторони, називаються сусідніми. Вершини, які не є сусідніми називаються протилежними. Сусідніми називають сторони, які виходять з однієї вершини. Протилежними називаються ті сторони чотирикутника, яки не мають спільного кінця. Діагональ є відрізком, що з'єднує дві різні вершини, що не належать одній стороні. Чотирикутник має дві діагоналі, що з'єднують протилежні пари вершин. Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить його сторону. Для того щоб чотирикутник був опуклим необхідно і достатньо, щоб його діагоналі перетинались. Чотирикутники можуть бути правильними. Правильним називається чотирикутник, всі сторони і всі кути якого рівні. Правильний чотирикутник – це квадрат. Кути утворені сусідніми сторонами чотирикутника називаються внутрішніми кутами чотирикутника. Кут, суміжний з внутрішнім кутом чотирикутника називається зовнішнім кутом. Периметр чотирикутника – це сума довжин його сторін. Чотирикутник має багато властивостей:
- Сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині , дорівнює 360* .
- Сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360* .
Площу чотирикутника можна знайти за такою формулою:
S= 0.5(h1 x h2)k, де h1 і h2 – перпендикуляри проведені з протилежних вершин чотирикутника на одну й туж саму діагональ k.
Також у будь-якому опуклому чотирикутнику з площею S середини сторін є вершинами чотирикутника, площа якого у два рази менша від S.
Опуклі чотирикутники мають такі ознаки подібності:
- Два опуклі чотирикутники подібні, якщо у них три пари відповідних сторін пропорційні і пари відповідних кутів, які лежать між відповідними сторонами, рівні.
- Два опуклі чотирикутники подібні, якщо у них рівні чотири відповідні кути і відповідні кути між діагоналями також рівні.
Чотирикутник можна вписати в коло і описати навколо нього. Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини належать колу. Чотирикутник можна вписати у коло коли суми його протилежних куті дорівнюють 180*. Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Опуклий чотирикутник можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін рівні.
не опуклий опуклий
Паралелограм
Паралелограм – це опуклий чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.
Ознаки паралелограма
- Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні то цей чотирикутник - паралелограм.
- Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.
- Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.
Властивості паралелограма
- Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.
- Протилежні кути паралелограма попарно рівні.
- Сума кутів прилеглих до однієї сторони паралелограма дорівнює 180*.
- Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
- Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін паралелограма.
- Кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.
- Діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликі трикутники тобто у них однакові площі.
- Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
- Бісектриса кута паралелограма перетинає більшу з його сторін і відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник, основою якого є ця бісектриса.
- Бісектриси кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони утворюють прямий кут.
- Якщо діагоналі паралелограма не рівні, то більша діагональ з’єднує вершини гострих кутів, а менша вершини тупих кутів.
- Периметр паралелограма – це сума довжин усіх його сторін.
- У паралелограм можна вписати коло тільки у тому випадку коли він є ромбом.
- Паралелограм можна вписати в коло тільки у тому випадку, якщо він є прямокутником.
Висотою паралелограма називається відстань між паралельними прямими,що містять протилежні сторони паралелограма, тобто довжина перпендикуляра проведеного з будь-якої точки прямої, що містить одну із сторін паралелограма, до прямої, що містить протилежну сторону.
Висоти паралелограма мають такі властивості
1) Якщо сусідні сторони паралелограма не рівні, то менша висота є відстанню між меншими сторонами, а більша відстанню між меншими сторонами.
2) Кут між висотами
Площа паралелограма
Площа паралелограма дорівнює добутку сторони і висоти проведеної до цієї сторони.
Площа паралелограма дорівнює добутку сторін паралелограма на синус кута який утворюють ці сторонии.
Ромб
Ромб – це паралелограм, всі сторони якого рівні.
Або
Ромб – це чотирикутник з рівними сторонами, протилежні сторони якого попарно паралельні.
Ознаки ромба
- Якщо сторони чотирикутника рівні, то цей чотирикутник – ромб.
- Якщо сусідні сторони паралелограма рівні, то цей паралелограм – ромб.
- Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, то цей паралелограм – ромб.
- Якщо діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів, то цей паралелограм – ромб.
- Якщо всі висоти паралелограма рівні, то цей паралелограм – ромб.
Властивості ромба
- Оскільки ромб є паралелограм, то для нього виконуються властивості паралелограма.
- Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.
- Середини сторін ромба є вершинами прямокутника.
- Ромб має дві осі симетрії – прямі, що містять його діагоналі.
- Усі висоти ромба рівні.
Вписаний і описаний ромб
У будь-який ромб можна вписати коло. Навколо ромба можна описати коло, якщо цей ромб квадрат.
Площа ромба
- Площа ромба дорівнює добутку сторони і висоти. S=ah
- Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей. d1d2 -де, d1 і d2 діагоналі ромба.
- Площа ромба дорівнює добутку сторони і діаметра кола вписаного в ромб. S=2ar
Прямокутник
Прямокутником називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні і всі кути прямі.
Або
Прямокутник – це паралелограм всі кути якого прямі.
Ознаки прямокутника
- 1)Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм – прямокутник.
- 2)Якщо один з кутів паралелограма прямий то цей паралелограм – прямокутник.
- 3)Якщо всі кути чотирикутника прямі , то цей чотирикутник – прямокутник.
Властивості прямокутника
- Оскільки прямокутник є паралелограмом, то для нього виконуються всі властивості паралелограма.
- Всі кути прямокутника рівні.
- Діагоналі прямокутника рівні.
- Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його сусідніх сторін.
- Прямі, що перпендикулярні до сторін прямокутника і проходять через середини його сторін, є осями симетрії прямокутника.
- Середини сторін прямокутника є вершинами ромба.
Вписаний і описаний прямокутник
Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло. Центром описаного кола є точка перетину діагоналей прямокутника. Радіус кола дорівнює половині діагоналі. У прямокутник можна вписати коло, якщо цей прямокутник квадрат.
Площа прямокутника
Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін. S=ab
Квадрат
Квадрат - це прямокутник, всі сторони якого рівні.
Властивості квадрата
- Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником, ромбом, то він має всі властивості паралелограма, прямокутника і ромба.
- Всі квадрати подібні.
Вписані і описані квадрати
Навколо квадрата можна описати коло. Центр описаного навколо квадрата кола – це точка перетину діагоналей квадрата. Радіус описаного кола дорівнює половині діагоналі квадрата. R=d. Радіус описаного кола дорівнює частці від ділення сторони квадрата на . У квадрат можна вписати коло. Центром кола вписаного в квадрат є точка перетину діагоналей. Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.
Площа квадрата
Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони. S=.
Площа квадрата дорівнює половині квадрата діагоналі.
Трапеція
Трапеція – це чотирикутник,
дві сторони якого паралельні,
а дві інші не є паралельними.
Паралельні сторони
Властивості довільної трапеції
- Суми внутрішніх кутів, прилеглих до кожної бічної сторони трапеції дорівнюють 180*.
- Бісектриса кута трапеції відтинає від неї рівнобедрений трикутник, основою якого є проведена бісектриса.
- Бісектриси кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони взаємно перпендикулярні.
- Точка перетину діагоналей трапеції ділить навпіл відрізок, який проходить через цю точку паралельно до основ трапеції і кінці якого належать бічним сторонам. Довжина цього відрізка дорівнює , де a і b – основи трапеції.
- При продовжені бічних сторін трапеції утворюються два подібні трикутники.
- Трикутники, утворені основами і відрізками діагоналей трапеції рівні.
- Будь-який відрізок, що з’єднує основи трапеції і проходить через точку перетину її діагоналей, ділиться цією точкою у відношенні, яке дорівнює відношенню основ.
- Трикутники утворені бічними сторонами і відрізками діагоналей трапеції, рівновеликі тобто мають рівні площі
Властивості рівнобічної трапеції
- Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
- У рівнобічної трапеції суми протилежних кутів рівні і дорівнюють 180*.
- 3)Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
- Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута до більшої основи, ділить її на відрізки, менший з яких дорівнює піврізниці основ, а більший – їх півсумі.
Ознаки рівнобічної трапеції
- 1)Якщо кути при основі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна.
- 2)Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна.
Середня лінія трапеції
Середньою лінією трапеції називається відрізок який сполучає середини бічних сторін трапеції.
Властивості середньої лінії
- Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
- 2)середня лінія трапеції ділить навпіл будь-який відрізок, кінці якого лежать на основах трапеції.
- 3)Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.
Вписана і описана трапеція
Трапецію можна вписати в коло у тому і тільки у тому випадку, якщо вона рівнобічна. У трапецію можна вписати коло якщо суми її протилежних сторін рівні.
Площа трапеції
- Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту . S=h
- Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту. S=mh, де h – висота трапеції, а m – середня лінія.
- Площа трапеції дорівнює пів добутку діагоналей і синуса кута між ними.
Розв’язання задач
Дано : ABCD - чотирикутник, AC = = 12см, BD =8см
N - середина BC
F - середина CD
K- середина AD
Знайти: PNMFK
Розв’язання
Оскільки M і N – середини AB і BC Відповідно,то MN – середня лінія ∆ABC.
За властивість середньої
За ознакою, MNFK – паралелограм.
PNMFK=2(MN+MK).
MK – середня лінія ∆ABD, MKIIBD і MK=BD=4см.
PNMFK= 2X(6+4)=20см.
Відповідь: 20см.
Дано:ABCD- паралелограм,-
BD – висота,BD=BC,
Відстань від точки B до
прямої CD 3 см
Знайти: CD
D
Розв’язаня
Проведемо BH перпендикулярно CD, BH- відстань від B до CD , BH=3см,
Оскільки BD=CD , ∆BCD то – рівнобедрений з основою CD, BH - висота, проведена до основи, тоді BH - медіана Отже, DH=CH= CD.
∆BDH: кут BHD=90*, BH=3см, BD = Xсм
За теоремою Піфагора, ,тоді , = + , тоді = - , = - 9,
=
Отже, =CD= (1)
∆BDC: кут DBC=90*(оскільки перпендикулярна і паралельна , то перпендикулярна),
BD =BC=X см
За теоремою піфагора, = + , = + = 2.
Отже = CD=X (2)
З (1) і (2) маємо
2= X
4( - 9) = 2
4 - 36= 2
2 = 36
= 18
X = 3
=2(3) =2 x 9 x 2 = 36 ,тоді CD = 6см.
Відповідь: 6 см.
Дано: ABCD-паралелограм,
AB=4см,
AF- бісектриса кута BAD,
BF - бісектриса кута ABC.
Коло(O;r)проходить
Через точки A,B,F.
Знайти:r.
Розв’язання
За умовою, AF – бісектриса кута BAD, тоді кут BAF = куту DAF = кута BAD.
BF – бісектриса кута ABC, тоді кут ABF= куту CBF = кута ABC.
За властивістю кутів
Кут BAD + кут ABC = 180*
Кут BAF+ кут ABF = кута BAD + кута ABC = x 180* = 90*
∆ABF: кут BAF + кут ABF + кут AFB = 180*, а кут BAF + кут ABF = 90*, тоді кут AFB = 90*.
Отже, ∆ABF - прямокутний з гіпотенузою AB. Коло (O;r) проходить через точки A, B і F, отже, це коло, описане навколо ∆ABF .
Відомо що радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині його гіпотенузи, тоді
r = AB = =2см.
Відповідь 2см.
Дано: ABCD – ромб,
PABCD =100см
BD : AC = 3 : 4
Знайти: BH
Розв’язання
PABCD = 4AB, тоді AB= PABCD, AB = 100x =25 (см).
Нехай k - коефіцієнт пропорційності (k>0)
Тоді BD = 3k см, AC = 4k см
За властивістю діагоналей ромба, BO = OD = = 1,5k см,
AO = CO = = 2k см (О – точка перетину діагоналей) AC перпендикулярна BD.
∆AOB: кут AOB = 90*,BO = 1,5k см, AO = 2k см
За теоремою Піфагора, = + .
= +
6,25 = 625
= 100
K=10
BD = 10 x 3 = 30 (см), AC = 10 x 4= 40 (см).
SABCD = AC x BD, SABCD = =600 ().
SABCD =AD x BH, тоді BH = = =24 (см).
Відповідь: 24см.
Дано: ABCD – ромб,
BD=30 см
AC=40 см
Знайти: PABCD
Розв’язання
Нехай О – точка перетину діагоналей AC і BD . За властивістю діагоналей ромба, AC перпендикулярна BD і BO = OD = BD = 30 x = 15(см),
AO = OC = = 40 x =20(см).
∆AOB: кут AOB = 90*, AO = 20см, BO = 15см.
За теоремою Піфагора, = + .
= + =400 + 225 =625,
Тоді AB = 25см.
Оскільки всі сторони ромба рівні, то PABCD = 4AB,
PABCD = 25 x 4 = 100(см).
Відповідь 100см.
Дано: ABCD - прямокутник
Коло(О;R ) – описане навколо
ABCD,
AB = 18см,кут ABD = 60*.
Знайти: R.
Розв’язання
∆ABD: кут BAD = 90* - кут прямокутника, тоді
Кут ABD + кут ADB = 90*
За умовою, кут ABD = 60*, тоді кут ADB = 30*.
За властивістю катета, який лежить проти кута 30*:
AB = BD. Отже, BD = 2AB = 2 x 18 = 36(см).
R = BD = 36 x =18(см).
Відповідь 18см.
Дано: ABCD – прямокутник,
K € AB, M € CD,
AB =3см
Кут CAB = 30*
Знайти: AM.
Розв’язання
Оскільки AKCM – ромб, то AK = CK = CM = AM.
AC - діагональ ромба. За властивістю діагоналей ромба, кут KAC = куту MAC = 30*, тоді кут MAK = 60*.
Кут DAK = 90*, тоді кут DAM = 90* - 60* = 30*.
∆ADM: кут ADM = 90*, кут DAM = 30*. За властивістю катета, що лежить проти кута 30*,
DM = AM.
Нехай AM = x см – сторона ромба. AB = CD = 3 см і MC = AM = x см, тоді DM = (3 - x )см. Але DM = AM = ( )см.
Отже
3 – x = x
6 – 2x = x
-3x = -6
x = 2
Отже, =2см
Відповідь 2 см.
Список літератури
