Что такое дюрация и ее применение

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Рынок ценных бумаг»

на тему: «Что такое дюрация и ее применение» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Что такое  дюрация и ее применение 

      Дюрация является одним из важных аналитических  показателей облигации. Дюрация  была самостоятельно разработана Ф. Маколеем и Дж. Хиксом. Маколей стремился найти показатель, с помощью которого можно было бы сравнивать облигации с одинаковым сроком погашения, но разной структурой купонных платежей. Хикс же хотел определить показатель эластичности цены облигации по процентной ставке. В связи с данными задачами можно двояко понимать и показатель дюрации.

      Эластичность  цены облигации по процентной ставке определяется как отношение процентного  изменения цены облигации к процентному  изменению ее доходности до погашения. Поэтому, согласно определению Хикса, дюрация равна:

     Доходность  к погашению – это доходность в расчете на год, которую обеспечит  себе инвестор, если, купив облигацию, продержит ее до погашения [1, с. 102].

     В формуле (1) стоит знак минус, чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в противоположных направлениях, т.е. величины и имеют противоположные знаки.

     Перепишем уравнение (1) следующим образом:

      В уравнении (2) отношение  есть не что иное как производная цены облигации по процентной ставке. Цена облигации с выплатой купонов один раз в год определяется по формуле:

Поэтому величина равна:

или

или в сокращенной  записи:

Подставив в  уравнение (2) значение из уравнения (3), получим:

или

     Выражение в правой части уравнения (4) называют дюрацией Маколея. По мысли Маколея дюрация – это показатель, который говорит о том, когда в среднем будут получены платежи по облигации, включая купоны и номинал. Правая часть уравнения (4) как раз и представляет собой средневзвешенное время до погашения купонов и номинала облигации. Весами выступают относительные приведенные стоимости купонов и номинала. Действительно, уравнение (4) можно представить в следующем виде:

      Тогда в уравнении (5) выражение является относительной приведенной стоимостью первого купона. Данная величина выступает удельным весом для первого года выплаты купона. Величина является относительной приведенной стоимостью для второго купона. Она выступает удельным весом для второго года выплаты купона и т.д., выражение является относительной приведенной стоимостью номинала, который выплачивается при погашении облигации.

      Таким образом, с одной стороны, дюрация представляет собой показатель эластичности цены облигации по процентной ставке и характеризует риск изменения цены облигации при изменении процентной ставки. С другой стороны, это средневзвешенное время до погашения купонов и номинала облигации.

      Показатель  дюрации определяется в годах. Однако, если купон облигации выплачивается  несколько раз в год, то по формуле (5) ответ получится в   купонных периодах. Перевести полученный результат в годы можно с помощью следующей формулы:

где m – число раз выплаты купонов в течение года.

      Перепишем уравнение (2) следующим образом:

где это процентное изменение цены облигации.

      Как следует из уравнения (6), дюрация Маколея говорит о том, на сколько процентов приблизительно изменится цена облигации при изменении доходности к погашению облигации на один процент.

      Таким образом, дюрация дает представление  о процентном изменении цены облигации  при изменении процентной ставки, хотя и с некоторой погрешностью.

      На  практике обычно используют не дюрацию  Маколея, а модифицированную дюрацию. Она равна:

или с учетом формулы (2):

где модифицированная дюрация.

Соответственно формула (6) принимает вид:

      Таким образом, модифицированная дюрация  говорит о том, на сколько процентов  приблизительно изменится цена облигации  при изменении ее доходности к  погашению на один процент. Модифицированная дюрация дает более точную оценку, чем дюрация Маколея.

      Преобразуем уравнение (7) следующим образом:

      Выражение в правой части уравнения (8) называют дюрацией в денежном выражении.

      Умножив обе части уравнения (8) на получим:

Уравнение (9) позволяет определить изменение цены облигации при изменении доходности к погашению на небольшую величину.

      Уравнение (2) показывает, что дюрация представляет собой только линейную меру риска изменения цены облигации при изменении процентной ставки. Поэтому формула (9) дает хорошее приближение величины изменения цены облигации только при небольших изменениях доходности к погашению. Графически (см. рис. 1) дюрация представляет собой угол наклона касательной к графику цены облигации в точке (r, P), который равен величине

Рис. 1. Графическая интерпретация показателя дюрации

      Как следует из рис. 1, для больших  изменений доходности к погашению  облигации дюрация дает значительную погрешность. Поскольку дюрация представлена касательной к кривой цены облигации, то при падении доходности к погашению она занижает действительное изменение цены облигации, а при росте доходности к погашению – завышает ее.

      Дюрация, в том числе модифицированная, имеет следующие характеристики.

      1. Для купонной облигации она  меньше времени, остающегося до погашения бумаги. Дюрация облигации с нулевым купоном равна времени до ее погашения. Это следует как из формулы (5), так и из определения дюрации как средневзвешенного времени до погашения выплат по облигации. Единственный платеж, который осуществляется по такой облигации – это    номинал. Он выплачивается по истечении срока ее обращения. Модифицированная дюрация бескупонной облигации также меньше времени до ее погашения.

      2. Чем меньше купон облигации,  тем больше дюрация, так как  больший удельный вес выплат  по бумаге приходится на момент ее погашения. Чем выше купон облигации, тем меньше ее дюрация.

      3. Чем дольше время до погашения облигации, тем больше дюрация.

      4. При повышении доходности к  погашению дюрация уменьшается, при понижении – возрастает. Такая динамика объясняется тем фактом, что при  росте процентной ставки приведенная стоимость купонов и номинала облигации падает, однако она уменьшается в большей степени для более отдаленных платежей по облигации. Поэтому в формуле (5) удельный вес для  более отдаленных моментов во времени уменьшается в большей степени, чем ближайших, и соответственно дюрация сокращается. График на рис. 1 наглядно показывает отмеченную закономерность.

      5. Чем больше дюрация, тем в  большей степени цена облигации  реагирует на изменение процентной  ставки, и наоборот. Другими словами,  чем больше дюрация, тем больше  риск по облигации.

      Для купонной облигации существует риск реинвестирования купонов. Он заключается в том, что при падении процентных ставок купоны реинвестируются под более низкий процент, при повышении ставок – под более высокий. Изменение процентных ставок также оказывает влияние и на цену облигации, но в противоположном направлении. Таким образом, при повышении ставок инвестор будет проигрывать в цене облигации, но   выигрывать от реинвестирования купонов. Напротив, при падении доходности он выигрывает от роста цены облигации, но проигрывает в реинвестировании купонов. Поскольку изменение цены облигации и доходов от реинвестирования купонов имеют противоположную направленность, то можно найти точку во времени (в течение срока обращения облигации), где эти два процесса уравновешивают друг друга, и доходность операции для  инвестора остается неизменной. Такая точка во времени и представлена дюрацией облигации.

      Например, инвестор купил облигацию с доходностью  к погашению 20%, дюрацией 3 года, до погашения которой остается 5 лет. Через некоторое время доходность к погашению данной облигации выросла. Если он продаст облигацию через 3 года, то реализованная доходность его операции составит 20%. Таким образом, инвестор может обезопасить себя от изменения процентных ставок на рынке, или иммунизировать облигацию для периода времени в 3 года. Если он продаст облигацию раньше или позже 3-х лет, то реализованная доходность, как правило, будет отличаться от 20%. В этом случае инвестор подвергается риску изменения процентной ставки.

      Величина  дюрации дает хорошее приближение  изменения цены облигации только для небольших изменений доходности к погашению. Поэтому, если в приведенном  примере доходность к погашению  облигации сильно изменится, она  уже не будет иммунизирована на период 3 года, и инвестор не обеспечит себе реализованную доходность в 20% на этот момент времени. Если процент вырастет, дюрация уменьшится и соответственно временная точка иммунизации облигации составит меньше 3-х лет, и наоборот.

      Принцип иммунизации можно использовать при управлении портфелем облигаций, а также других активов, которые  предполагают известные суммы выплат. Иммунизация достигается путем вычисления дюрации ожидаемых платежей и формирования на этой основе портфеля облигаций с одинаковой дюрацией. Такой подход использует преимущество того, что дюрация портфеля облигаций равна взвешенному среднему дюраций отдельных бумаг в портфеле.

      Рассмотрим  ситуацию, когда менеджер должен через 2 года осуществить за счет своего портфеля только один платеж величиной в 1 000 000 руб. Поскольку выплата только одна, то ее дюрация составляет 2 года. Менеджер рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов. Первый тип облигаций показан в табл. 1 и имеет срок до погашения 3 года. Второй тип – это облигации со сроком погашения 1 год, с единовременным платежом 1070 руб. (состоящим из 70 руб. купонного платежа и 1000 руб. номинала). Текущий курс облигаций равен 950,25 и 972,73 руб. соответственно, и, значит, их доходность к погашению равна 10%. 

Таблица 1

     Рассмотрим  альтернативы менеджера. Во-первых, все средства могут быть вложены в облигации со сроком погашения 1 год и реинвестированы через год вновь в ценные бумаги со сроком погашения 1 год. Однако такой подход сопряжен с риском. В частности, если процентные ставки снизятся в   течение следующего года, тогда средства, полученные от погашенных облигаций, будут вложены по более низкой ставке, чем та, которая имеется в настоящее время, – 10%. Таким образом, менеджер сталкивается с риском, связанным с возможностью реинвестирования средств по более низкой ставке.

      Во-вторых, он может вложить все средства в трехгодичные облигации, но это тоже сопряжено с риском. В частности, трехгодичные ценные бумаги должны быть проданы через 2 года, с тем чтобы получить 1 000 000 руб. Риск состоит в том, что процентные ставки поднимутся до этого момента, приводя к общему снижению курсов облигаций. В этом случае облигации, возможно, не будут стоить 1 000 000 руб., т.е. и здесь менеджер сталкивается с риском изменения процентной ставки.

      Одно  из возможных решений – инвестировать  часть средств в  одногодичные облигации, а часть в трехгодичные облигации. В какой пропорции их следует делить? При использовании иммунизации решение можно получить, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

      Здесь W₁ и W₂ обозначают удельные веса (или пропорции), по которым средства инвестируются в один и другой тип облигаций соответственно. Уравнение (10) требует, чтобы сумма весов была равна 1. В соответствии с уравнением (11) взвешенное среднее дюраций бумаг портфеля должно быть равно дюрации выплаты, которая составляет 2 года.

      Решив систему уравнений, получим: W₁ = 0,4382, W₂ = 0,5618, т.е. менеджер должен вложить 43,82% средств в одногодичные облигации, а 56,18% – в трехгодичные облигации.

      В этом случае менеджеру понадобится 826 446 руб. (1 000 000/(1,10)²), с    тем чтобы приобрести облигации, которые составят полностью иммунизированный портфель. При этом  362 149 руб. (0,4382 × 826 446) пойдет на приобретение одногодичных облигаций, а 464 297 руб. (0,5618 × 826 446) – на приобретение трехгодичных облигаций. Поскольку текущие рыночные курсы одногодичных и трехгодичных облигаций равны 972,73 и 950,25 руб. соответственно, это значит, что будет приобретено 372 (362 149/972,73) одногодичных облигаций и 489 (464 297/950,25) трехгодичных облигаций.

      Иммунизация (и дюрация) основана на предположении, что ожидаемые потоки платежей по облигации будут выплачены полностью и своевременно. Данное положение означает, что иммунизация основана на том, что облигации будут оплачены и не будут отозваны до срока, т.е. по облигации отсутствует риск неуплаты и риск отзыва. Следовательно, если облигация не оплачивается или отзывается, то портфель не будет иммунизирован.

      Иммунизация (и дюрация) предполагает, что доходности к погашению различных типов облигаций одинаковы, т.е. кривая доходности, отображающая зависимость доходности облигации от срока до ее погашения, представляет собой горизонтальную прямую, и любые ее сдвиги будут параллельны. В действительности же кривая доходности не будет горизонтальной с самого начала, сдвиги не обязательно будут параллельными, и, возможно, портфель не   будет иммунизирован. Исходя из этого, некоторые специалисты утверждают, что иммунизационные модели бесполезны. Другие считают, что тем не менее существуют возможности использования иммунизационных моделей даже при риске стохастичности [2, с. 467].

      Другая  проблема, возникающая при использовании иммунизации, – это изменение со временем дюрации бумаг портфеля и дюрации планируемых выплат. Так как доходность и дюрации меняются со временем с разной степенью, то вследствие этого портфель перестает быть иммунизированным. Это значит, что портфель довольно часто нужно переструктурировать.

     Как правило, существует несколько портфелей с заданной дюрацией. Какой портфель предпочесть? Одно из возможных решений – выбрать портфель, имеющий наивысшую среднюю доходность к погашению (или    минимальную цену). Другой подход – это выбрать наиболее «сфокусированный» портфель, в минимальной степени подверженный риску стохастичности. Это такой портфель, в котором бумаги имеют дюрации (или сроки до погашения), близкие к дюрациям ожидаемых выплат.

     С 31 октября 2006 года ФБ ММВБ был начат расчет дюрации облигаций, допущенных ко вторичному обращению на бирже. Использование показателя дюрации позволяет инвесторам и профессиональным участникам рынка составить представление о том, за какой срок окупаются инвестиции в тот или иной инструмент долгового рынка. Расчет данной величины ФБ ММВБ, являющейся единственной российской биржевой площадкой, на которой сосредоточена вся ликвидность вторичного рынка негосударственных облигаций, по единой методике для всех облигаций позволяет привести к единому стандарту самые разнообразные по своим характеристикам выпуски облигаций (по срокам заимствований, количеству купонных платежей, методам расчета купонного дохода) [3].

Список литературы 

1. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. – М.: Научно–техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2002. – 348 с.
2. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. – М.: ИНФРА–М, 2004. – 1028 с.
3. http://www.investnews.ru/finances/