Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАЛОГОВАЯ СЛУЖБА

ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра «Математики»

Семестровая контрольная  работа по курсу

«Эконометрика»

Эконометрический  анализ производственной функции Кобба-Дугласа

Выполнил: студент  гр. БО-301 Ковчегин И. А.

Преподаватель: к.э.н. Ботвинник А.В.

Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas) и математика Д. Кобба (D. Cobb) «Теория производства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь  между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании.

При субституционной производственной функции производство может быть увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при различных количественных комбинациях факторов труда и имущественного капитала.

Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение:

где:

K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

На основе условно введённой субстиционности факторов производства можно сделать следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов:

При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к  увеличению выпуска – первая производная положительна.

Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается  с увеличением величины данного  фактора – вторая производная  отрицательна.

Уровень организационных и технических  знаний отображается в соответствующих  формах взаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Таким образом, субстиционная функция производства может быть представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 1):

Рисунок 1. Связь между производством и производственным трудом

Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK₁ на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK₀ при любом числе занятых трудом.

С увеличением количественного  параметра имущественного капитала увеличивается и средняя производительности труда, которая является частным от деления величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда.

Величина имущественного капитала принимается в рамках данного  кратковременного анализа как экзогенно  заданная, поэтому в модели и описании не учитывается технический  прогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счёт инвестиций.

В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что  если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но они были первыми, кто использовал  для ее построения эмпирические данные.

Однако при больших значениях K и L эта функция не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.

Кинетическая функция  (где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на e^g, что снимает данную проблему и делает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.

Эластичность выпуска продукции  по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как

и аналогичным образом легко  показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска  продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.

Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).

В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства  и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK:

и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех  случаях, когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когда между  выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.

При построении производственной функции  Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(y_i), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .

3) Введем векторы

;   ;

; 

и матрицу  

Тогда критерий можно записать в  виде

.

Дифференцируя SSD по вектору Х и  приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК

или

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

где c_ii – элементы главной диагонали матрицы .

s² – дисперсия погрешности измерений.

Оценка s² определяется по формуле

Рассчитывается значение t – параметра

Если полученное значение t больше, чем табличное t_a при (N-3-1) степеней свободы, тогда X_i существенно отлично от нуля при уровне a.

Доверительные границы для  определяются по формуле

Тогда вероятность того, что величина X_i действительно находится в этих пределах, составит 1–a.

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

где  .

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент  множественной детерминации

Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.

Мы имеем данные по ВВП Мексики  за 20 лет (таблица 1) относительно рабочей  силы (L) и капитала (K). Эти точки не будут лежать на 1 прямой, так как между экономическими величинами не существует строгой взаимосвязи, потому что на ВВП кроме рабочей силы и капитала могут влиять и другие факторы. Поэтому экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид:

где K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

Или в линейном виде:

Таблица 1

Мексика, 1955-1974 гг.

Реальный ВВП (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)

Численность рабочих (тысяч человек)

Основной капитал (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим следующие исходные данные:

Анализируем исходные данные с помощью  линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:

Данные показатели определяются следующим  образом.

R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

где

Q_R – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;

Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней .

В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:

где

N – число наблюдений (20),

P – число объясняющих переменных (2).

Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:

для регрессии df=M–1=3–1=2,

для остатка df=N–M=20–3=17,

итоговый df=N–M=20–1=19,

где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений.

Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):

где – условная (групповая) средняя переменной y

Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):

Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):

Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок:

F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:

F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F_0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).

Стандартная ошибка – это оценка стандартного отклонения распределения коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.

t-статистика – оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.

На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа  для вышеописанной ситуации:

На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа путем экспонирования:

Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих  значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы (L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000.

Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и рабочей силы (L)

В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a и b превышает 1 (равна 1,185729). Это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции.

Для примера определим объем  ВВП в среднем при ожидаемом  уровне капитала 50.000 млн. песо и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.

Список литературы

1. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: Инфра-М, 2001.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити-Дана, 2003.
3. Ресурс Интернет – http://allmath.ru/appliedmath/micro/labs/micro-labs1.htm.
4. Ресурс Интернет – http://nit.miem.edu.ru/cgi-bin/article?id=122.
5. Фурманн В., Султанов А. Общеэкономический рынок труда (Der gesamtwirtschaftliche Arbeitsmarkt) – ресурс Интернет http://ek-lit.agava.ru/mul/mul003.htm.

Москва 2005