Эконометрика. 16

Содержание 

      Вопрос 1. Предмет  и методы эконометрики. Абстрактные модели рыночной экономики 

1. Предмет эконометрики 

     Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

     Эконометрика  – быстроразвивающаяся отрасль  науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Можно сказать также, что целью эконометрики является модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, обусловленных общими качественными закономерностями, изученными в экономической теории.

     Термин  «эконометрика» («эконометрия») был  впервые введен в 1910 г. австрийским  бухгалтером П. Цьемпой, который  считал, что если к данным бухгалтерского учета применить методы алгебры и геометрии, то будет получено новое, более глубокое представление о результатах хозяйственной деятельности. Термин «эконометрика», образованный от слов «экономика» и «метрика», подчеркивает специфику, содержание эконометрики как науки: количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Дадим одно из определений эконометрики:

     Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

     Другое  определение, данное известным российским ученым, профессором С.А.Айвазяном:

     Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе:

• экономической теории;
• экономической статистики;
• математико-статистического инструментария

придавать конкретное количественное выражение  общим качественным закономерностям, обусловленным экономической теорией.

     Зарождение  эконометрики является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения в особый «сплав» трех компонент: экономической теории, статистических и математических методов. Впоследствии к ним присоединилось развитие вычислительной техники как условие развития эконометрики.

     Для описания, анализа и прогнозирования  реальных экономических процессов эконометрика как наука располагает своими методами. 

2. Методы эконометрики 

     Эконометрика  как система специфических методов начала развиваться с осознания своих задач – отражения особенностей экономических переменных и связей между ними. Поэтому в основе методов эконометрики лежат методы математической статистики, в частности, метод корреляционно-регрессионного анализа.

     В ходе развития эконометрики в эконометрическом моделировании выделились четыре основные группы методов:

• Классическая линейная модель парной и множественной регрессии (или парный и множественный регрессионный анализ), с применением классического метода наименьших квадратов (МНК);
• Обобщенная классическая линейная модель парной и множественной регрессии и обобщенный МНК;
• методы статистического анализа временных рядов (выделение тренда и других компонент);
• методы анализа систем одновременных уравнений (статистическое оценивание исходных наблюдений и найденных результатов, методы классификации и снижения размерности).

     Регрессионный анализ. Это метод, используемый в эконометрике для оценки уравнения, которое в наибольшей степени соответствует совокупности наблюдений зависимых и независимых переменных, и тем самым дающий наилучшую оценку истинного соответствия между этими переменными. С помощью оцененного таким образом уравнения можно предсказать, каково будет значение зависимой переменной для данного значения независимой переменной. Простейшим примером регрессии является парная линейная регрессия всего одной зависимой переменной (скажем, располагаемый доход и потребительские расходы). Задача заключается в подборе прямой линии к  совокупности данных, состоящей из пар наблюдений дохода и потребления. Линию, которая лучше всего подходит к данным, нужно выбирать так, чтобы сумма квадратов значений вертикальных отклонений точек от линии была минимальной. Этот метод, называемый методом наименьших квадратов, применяется при анализе большинства регрессий. Степень приближения регрессионной линии к наблюдениям измеряется коэффициентом корреляции. Там, где предполагается, что на зависимую переменную существенно влияет более чем одна независимая переменная, используется метод множественной линейной регрессии.

     В уравнение регрессии могут включаться переменные не только в первой, но и  во второй и более высоких степенях – с целью отразить свойство оптимальности экономических переменных: наличия значений, при которых достигается мини-максное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности; по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности. То же можно сказать о воздействии многих социально-экономических переменных (например, возраста рабочих на уровень производительности труда или влияния дохода на потребление некоторых продуктов питания).

     Методы  статистического  анализа временных  рядов применяются для изучения и прогнозирования, например,  объема продаж туристических путевок, спроса на железнодорожные и авиабилеты, при краткосрочном прогнозировании процентных ставок и т.д. Это методы, исследующие поведение анализируемой величины на основе ряда наблюдений, сделанных в фиксированные промежутки времени. Данные методы формируют модели тренда, сезонности, тренда и сезонности, а также модели, в которых присутствует циклическая компонента, формирующая изменение анализируемого признака. Эти изменения могут быть обусловлены действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы. Среди факторов, влияющих на значения временного ряда, выделяют, таким образом:

• долговременные, формирующие в длительной перспективе общую тенденцию анализируемого признака;
• сезонные, формирующие периодически повторяемые в определенное время года колебания анализируемого признака;
• циклические, формирующие изменения анализируемого признака в результате воздействия циклов;
• случайные, не поддающиеся учету и регистрации, как результат воздействия случайных, внешних факторов.

     Методы  анализа систем одновременных  уравнений. При статистическом исследовании сложных экономических систем отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может охарактеризовать  истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Потому в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место занимает проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений, или структурных уравнений. Так, при оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции. Особенно возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если  от исследований на микроуровне переходим к исследованиям на макроуровне. Модель национальной экономики включает в себя систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, количество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего тесно взаимосвязаны. Расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода, а величина валового национального дохода, в свою очередь, рассматривается как функция инвестиций. 

3. Абстрактные модели рыночной экономики 

     Сложность экономических процессов и необходимость их количественного измерения не позволяют современному экономисту ограничиваться в своей работе применением инструментов отдельных экономических дисциплин. Так, например, невозможно сделать прогноз о том, будет ли пользоваться спросом новый продукт, если рассматривать этот процесс только с точки зрения экономической теории, то есть закона спроса и предложения.

     Рассмотрение  экономических отношений и процессов  с точки зрения выявления каких-либо функциональных взаимосвязей, пропорций или некоторых алгоритмов, характеризующих данные отношения и процессы, приводит к необходимости использования существующих экономико-математических методов и моделей для упрощенного отражения экономической действительности с помощью уравнений и графиков, описывающих взаимосвязи различных переменных. Для осуществления прогноза экономисту необходимо применить целый комплекс экономических наук, синтез которых и является сутью эконометрики. То есть встает задача построить абстрактную эконометрическую модель, соответствующую реальному экономическому процессу. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Особенность, отличающая эконометрические модели, например, от моделей математической экономики,  состоит в подтверждении теоретических гипотез фактическими данными. Только когда символически представленные в экономических взаимосвязях коэффициенты заменяются конкретными численными оценками, полученными на базе соответствующих экономических данных, возникает эконометрическая модель.

     Основные  типы абстрактных  моделей рыночной экономики. 

     Математические  модели, используемые в экономике  и эконометрике, можно подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

     Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие.

     Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде.

     Вследствие  разнообразия типов экономических  элементов и форм их взаимодействия на рынке микроэкономическое моделирование  занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с использованием аппарата теории игр.

     Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

     В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели  описательны. В нашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на оптимизации. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

     В моделях статических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В статических моделях, обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, — например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

     Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моделями. Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания. 

     Вопрос 2. Модели частотного анализа 

     Модели  частотного анализа применяются  для исследования экономических процессов и явлений, описываемых с помощью временных рядов. Вместе с долговременными колебаниями во временных рядах появляются более или менее регулярные колебания. Эти изменения наблюдаемых значений могут быть строго периодическими или близкими к таковым и оцениваться в частотном аспекте. Для выявления наличия и устойчивости периода колебаний обычно используется следующий аппарат частотного анализа:

• гармонический анализ;
• спектральный анализ;
• частотная фильтрация;
• кросс-спектральный анализ.

     Этот  аппарат позволяет с разных позиций  анализировать исследуемый показатель, однако он эффективен лишь при наличии  достаточно большого объема данных (по разным литературным источникам желательно иметь 200-300 наблюдений, но не менее 50 наблюдений), из которых предварительно исключена тенденция (за исключением методов частотной фильтрации).

     Дадим определение основных терминов частотного анализа.

     Интервал  времени, необходимый для того, чтобы  временной ряд начал повторяться, называется периодом. Он измеряется числом единиц времени за цикл и не является единственным. Если между пиками (высшими точками) или впадинами (низшими точками) проходит, например, 10 месяцев, то период этого цикла равен 10 месяцам.

     Величина, обратная периоду, называется частотой ряда. Она указывает число повторений цикла в единицу времени и поэтому измеряется числом циклов в единицу времени. Если между пиками (высшими точками) или впадинами (низшими точками) проходит, например, 10 месяцев, то частота цикла равна 1/10.

     Амплитуда периодического ряда – это отклонение от среднего значения до пика или впадины.

     Фаза представляет собой расстояние между началом отсчета времени и ближайшим пиковым значением.

     Гармонический анализ. Временной ряд наблюдений может быть представлен с помощью линейных комбинаций функций времени – синусов и косинусов на основании конечного преобразования Фурье. Гармонический анализ позволяет выявит наиболее существенные гармоники. Пусть Y(t) -  временной ряд, t = 1,2,3,...,T. Тогда имеет место следующее представление ряда:

где - оценка математического ожидания ряда Y(t). Последнее слагаемое добавляется в том случае, когда T- четное число. Коэффициенты вычисляются по соотношениям:

     Таким образом, временной ряд представлен  в виде суммы гармоник. Мощность каждой гармоники равна: , k-я гармоника считается статистически значимой, если она вносит существенный вклад в дисперсию временного ряда, то есть если отвергается статистическая гипотеза о том, что . Для проверки гипотезы вычисляется критерий:

где -оценка дисперсии отклонения вычисляемых значений от фактических:

. Вычисляемая величина имеет  F-распределение с соответствующими степенями свободы. Гипотеза отвергается, то есть гармоника считается значимой, если вычисленная величина больше, чем 95% точка F-распределения с и степенями свободы. Гипотеза отвергается, то есть гармоника считается значимой, если вычисленная величина больше, чем 95% точка F-распределения с соответствующими степенями свободы.

     Спектральный  анализ. Рассмотрим алгоритм спектрального анализа. Пусть x(t) -  временной ряд, t = 0,1,2,3,...,T – временной ряд. Тогда его периодограмма рассчитывается так:

Предполагается, что исходные данные квантованы с  интервалом 1, и, следовательно, частота Найквиста для них равна 0,5. Поэтому периодограмма и спектральная плотность рассчитываются на интервале от 0 до 0,5 в точках f(j)=j/2M, j=0,1,...,M.

     Оценка  спектральной плотности основана на оценке Бартлетта, которая является усреднением периодограмм, вычисленных по непересекающимся отрезкам временных рядов.

     Пусть , I=0,1,...,L-1,

где V – ширина временного интервала;

       I – номер интервала;

       S – смещение текущего временного интервала относительно предыдущего.

     Тогда оценка спектральной плотности получается как:

Параметры, необходимые для расчета спектра  мощности, рассчитываются по следующему алгоритму:

      , где n – число наблюдений. При V<10 принимается V=10, при V>50 принимается V=50 и S=V/2.

     Кросс-спектральный анализ. Кросс-спектральный анализ оценивает связь между частотными  составляющими двух временных рядов при помощи параметров когерентности, фазового сдвига и коэффициента усиления. Рассчитываются оценки взаимных ковариационных функций:

     Оценка  ко-спектра (действительной части спектра):

     Оценка  квадратурного спектра (мнимой части):

     Оценка  когерентности:

     Оценка  фазового сдвига:

     Оценка коэффициента усиления:

     Оценка  спектра  для ряда x имеет следующий вид:

     Аналогично  получается оценка спектра  для ряда y.

     Интерпретация результатов кросс-спектрального  анализа - довольно тонкий процесс.

     Отметим, что когерентность аналогична квадрату коэффициента корреляции на соответствующей частоте и интерпретируется таким же образом. Коэффициент усиления есть, по сути, коэффициент линейной регрессии процесса по процессу на соответствующей частоте. Фазовый сдвиг характеризует временное смещение между составляющими двух процессов.

     Частотная фильтрация. Фильтрация осуществляется при помощи высокочастотного и низкочастотного фильтра, для каждого из которых рассчитывается соответствующая силовая и фазовая характеристики. Низкочастотный фильтр предназначен для устранения тренда (низкочастотной составляющей временного ряда наблюдений). Высокочастотный фильтр, наоборот, предназначен для выделения тренда из исходных данных.

     Выход низкочастотного  фильтра  получается из выражения:

- частота отсечки,  является оценкой высокочастотной составляющей. При оценке его теряются два первых наблюдения. Оценкой тренда в этом случае является ряд

.

     Выход высокочастотного фильтра  получается из выражения:

      - частота отсечки, является оценкой низкочастотной составляющей. При оценке теряются два первых наблюдения. Ряд может быть использован для прогнозирования. 

Вопрос 3. Коэффициенты корреляции рангов Спирмэна, Кендэла, Фехнера 

     Потребности экономической и социальной практики требуют разработки методов количественного  описания процессов, позволяющих точно  регистрировать не только количественные, но и качественные факторы. При условии, что значения качественных признаков могут быть упорядочены, или проранжированы по степени убывания (возрастания) признака, возможно оценить тесноту связи между качественными признаками. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. И реальным  содержанием измерений в ранговых шкалах является тот порядок, в котором выстраиваются объекты по степени выраженности измеряемого признака.

     В практических целях использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.

     В качестве примера можно рассмотреть  наличие связи между обеспеченностью товарной продукцией ряда предприятий и накладными расходами по реализации. В ходе 10 наблюдений получена следующая таблица:

     Упорядочим  значения X по возрастанию, при этом каждому значению поставим в соответствие его порядковый номер (ранг):

     Таким образом, .