Эконометрика. 11
Содержание
Введение
Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершаются математические модели реальных экономических явлений. Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям. Основной задачей эконометрики будем считать использование статистических и математических методов с целью найти эмпирическое представление результатов экономической теории, а затем их подтвердить или опровергнуть.
Однако математические методы для представления результатов экономической теории используются также в математической экономике. Разделение «сфер интересов» эконометрики и математической экономики – это различие в критериях качества полученных моделей. В эконометрике построенная модель тем лучше, чем лучше она описывает имеющиеся эмпирические данные. В математической экономике соответствие модели эмпирическим данным не всегда свидетельствует о ее качестве, и наоборот, не всегда требуется добиваться этого соответствия.
Применение статистических методов
для анализа экономических
Однако существует несколько видов количественного анализа в экономике, ни один из которых по отдельности не должен ассоциироваться с эконометрикой. Так, эконометрика – это не экономическая статистика. Эконометрика – это и не раздел общей экономической теории, хотя значительная часть экономической теории определенно имеет количественный характер. Слово «эконометрика» не является также простым эквивалентом фразы «применение математики в экономике». Как показывает опыт, все три перечисленных дисциплины, – статистика, экономическая теория и математика, - необходимы, но ни одной из них, взятой по отдельности, не достаточно для реального понимания количественных взаимосвязей в современной экономической жизни. Именно объединение всех этих трех дисциплин дает к нему ключ. Именно объединение их и составляет предмет эконометрики”.
Нестационарные временные ряды
В экономической практике
принято рассматривать два
Случайное блуждание (со сдвигом)
Xt = Xt-1 + t – Случайное блуждание (процесс случайного блуждания – random walk)
Такие ряды так же принято называть временными рядами со стохастическим трендом.
Вторым основным типом является ряд вида:
Хt = + βt + t
Такие ряды называются также временными рядами с детерминистическим трендом.
200
150
100
50
Рис. Нестационарный временной ряд c детерминистическим трендом
Рассмотрим временной ряд со стохастическим трендом
Yt = + Yt-1 + t
Данное уравнение является частным случаем более общей модели
Yt = + Yt-1 + t
В зависимости от значения можно выделить два случая:
|а| < 1 — процесс является стационарным;
|а| 1 — процесс является нестационарным.
При |а| >1 процесс становится «взрывным», т. е. шок, произошедший в системе в момент времени t, будет иметь более сильное влияние на нее в момент времени t+1, еще более сильное – в момент t+2 и т.д.
На рисунке изображены процессы нестационарных временных рядов с коэффициентом >1. Рисунок A показывает первые 250, а рисунок Б – первые 450 наблюдений одного и того же процесса. Видно, как с увеличением числа наблюдений усиливается взрывной» характер процесса.
Рис. А
18
0
16
0
14
0
12
0
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. Б
Аналогичные тенденции прослеживаются для процессов с коэффициентом < -1.
Такого рода процессы, а также процесс с коэффициентом = -1, редко соответствуют экономическим данным, поэтому, как правило, основной упор делается на рассмотрение процессов, имеющих единичный корень, - т.е. случая, когда =1.
Тренд и его анализ.
Тренд или тенденция временного ряда – это несколько условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд временного ряда часто связан с действием физических законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть (остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая
“поведение в целом” ряда или процесса. Если выделение такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым.
Для временного ряда уравнение линейного тренда имеет вид
При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об отрицательном (тенденция убывания). При r, близких к нулю, иногда говорят о боковом тренде. Как было сказано выше, для случая, когда t=1,2,3,...n, имеем:
Однако на практике не стоит отдельно вычислять r и уX и только потом подставлять их в уравнение тренда. Лучше прямо в формуле тренда произвести сокращения, после которых она примет вид:
После выделения линейного тренда нужно выяснить, насколько он значим. Это делается с помощью анализа коэффициент корреляции. Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при
анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.
Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
(1.1)
где
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
(1.2)
где
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции.
Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность
Анализ автокорреляционной
функции и коррелограммы
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты. Рассматривается как указание на значимость корреляции с соответствующим лагом.
Сглаживание временных рядов
Сглаживание временного ряда используется для удаления из него высокочастотных компонент (которые обычно являются несущественными, так как вызваны случайными факторами). Один из простейших методов сглаживания - метод скользящих или подвижных средних (MA в англоязычной нотации), он является одним из наиболее старых и широко известных. Этот метод основан на переходе от начальных значений временного ряда к их средним значениям на некотором заданном интервале времени (длина которого называется шириной окна). Этот интервал времени как бы скользит вдоль ряда, с чем и связано название метода. В каждый момент этого скольжения мы видим только часть ряда, чем и вызвана “оконная” терминология.
Полученный в результате такого сглаживания новый временной ряд обычно ведет себя более регулярно (гладко), что связано с удалением в процессе сглаживания резких случайных отклонений, попадающих в окно. Сглаживание полезно применять даже в самом начале исследования временного ряда, так как при этом часто удается прояснить вопрос о наличии и характере тренда, а также
выявить сезонные колебания.
Несколько слов нужно сказать о сезонных колебаниях. Они проявляются во многих временных рядах, в частности, в экономике, метеорологии. Сезонными колебаниями называют все такие изменения, которые соответствуют определенному (почти) строго периодическому ритму (не обязательно равному одному году, как для обычных сезонов), присущему Вселенной, природе или человеческой деятельности. Такая периодичность может ярко проявляться в процессах человеческой деятельности, например, в изменениях объема перевозок местным транспортом в последние дни каждой недели или же утром и вечером в течение каждого дня, в росте ошибок при выполнении производственных операций по понедельникам и др. Но наиболее типичные сезонные колебания связаны именно со сменой сезонов года. Они затрагивают огромное число параметров жизни человека (как современного, так и в древности). Обычно при
исследовании временных рядов стремятся выделить сезонные колебания для того, чтобы их изолировать и изучить другие, более сложные периодические компоненты.
Простейшее сглаживание методом MA с шириной окна 2m+1 производится по следующим формулам:
x*k=(xk-m+xk-m+1+...+xk+xk+1+.
Выбор ширины окна диктуется содержательными соображениями, связанными с предполагаемым периодом сезонных колебаний или с желательным исключением определенного рода высокочастотных колебаний. На практике обычно при отсутствии сезонности ширину окна берут равной 3, 5 или 7. Не рекомендуется брать окно шире, чем в четверть числа анализируемых данных. Чем шире окно, тем больше колебательных компонент будет исключено и тем более гладкий вид полученного при сглаживании ряда. Однако при слишком больших окнах полученный ряд уже значительно отличается от исходного, теряются многие индивидуальные особенности и ряд все более приближается к постоянному. Если взять ширину окна максимально возможной (равной общему числу данных значений x1,x2,...), то приходим просто к постоянной величине, равной среднему значению всех этих xi.
Подвижные средние могут, к сожалению, искажать кратковременные колебания и порождать фиктивные гармонические компоненты при гармоническом анализе временных рядов.
Имеются различные модификации метода MA. В некоторых из них используются более сложные методы усреднения (с некоторыми весами и др.), которые подчеркивают большую или меньшую значимость отдельных слагаемых. Например, часто используемое экспоненциальное сглаживание основано на приписывании больших весов непосредственно предшествующим значениям. Этот подход очень широко распространен в социологии, экономике и других дисциплинах.
В настоящее время метод MA (с различными модификациями) реализован во всех статистических пакетах программ, а также в многих специализированных программах, предназначенных для обработки экономической и деловой информации.
Для случайных процессов тоже имеются разнообразные методы сглаживания. Здесь число методов чрезвычайно велико, это связано с тем, что усреднение может производиться с помощью интегрирования с некоторой весовой функцией, которую можно выбирать достаточно произвольно. Поэтому окно здесь задается не только своей шириной, а и видом усредняющей функции. Правильный выбор окна представляет собой весьма непростую задачу, этому посвящена обширная литература. Прямоугольное окно (используемое в классическом варианте метода MA) имеет целый ряд недостатков, которые в классической теории рядов Фурье связывают с явлением Гиббса, в технике именуемом вытеканием мощности. При исследовании случайных процессов часто говорят не о сглаживании, а о фильтрации (или о коррекции, очистке спектра), причем в области высоких частот говорят о применении фильтра высоких частот (ФВЧ), а в области низких частот – о фильтре низких частот (ФНЧ). Такого рода терминология принята, в частности, в теории распознавания сигналов и, вообще, в теории связи.
Другой (терминологически, но не по существу) подход к сглаживанию временных рядов и случайных процессов основан на модификации спектра. Если в спектре ряда просто полностью удалить высокочастотные компоненты, то получится новый ряд, который ведет себя более регулярно. Такого рода вычисление возможны только при наличии компьютера и специальной программы для работы с рядами и преобразованиями Фурье. Эти программы входят в состав большинства универсальных математических пакетов (Mathcad, Matlab, Maple, Mathematica) и многих статистических пакетов.
Заключение
Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Становление и развитие эконометрики происходили на основе, так называемой высшей статистики, когда в уравнение регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени. В ряде случаев это необходимо для отражения свойства оптимальности экономических переменных, т.е. наличия значений, при которых достигается минимальное или максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения в почву удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности, а по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение.
Описание экономических систем математическими методами, или эконометрика, дает заключение о реальных объектах и связях по результатам выборочного обследования или моделирования. Вместе с тем, чтобы сделать вывод о том, какие из полученных результатов являются достоверными, а какие сомнительными или просто необоснованными, необходимо уметь оценивать их надежность и величину погрешности. Все перечисленные аспекты и составляют содержание эконометрики как науки.
Таким образом, сердцевиной познания в экономике является эксперимент, предполагающий либо непосредственное наблюдение (измерение), либо математическое моделирование.
Литература
1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344с.
2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192с.
3. Л.В. Луговская Эконометрика в вопросах и ответах /учебное пособие, Москва 2005 . Изд-во Проспект, 208с.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311с.
5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400с.
6. Е.И. Кулинич Эконометрия / Москва «Финансы и статистика» 2001, -304с.
