Эконометрика. 14

Уральский социально-экономический институт 
Академии труда и социальных отношений

Кафедра прикладной информатики

Контрольная работа

Эконометрика

Челябинск

 2010

Эконометрика

Варианты  задачи на тему «Линейная  парная регрессия»

     Имеются данные о величине национального  продукта Y (у.е.) в зависимости от инвестиций X (у.е.)

Линейная  парная регрессия

     Предполагается, что генеральное уравнение регрессии  – линейное:

Для исходных данных, приведенных в задаче, требуется

1. Построить поле корреляции (на отдельном листе), сформулировать гипотезу о форме связи и построить  эмпирическую линию регрессии (линию тренда).
2. Найти оценки b₀ и b₁ параметров модели парной линейной регрессии .
3. С надежностью 0,95 проверить значимость оценок b₀ и b₁ теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделать соответствующие выводы о значимости этих оценок.
4. С надежностью 0,95 определить интервальные  оценки теоретических коэффициентов регрессии.
5. Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy сделать соответствующие выводы о качестве  уравнения регрессии.
6. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F статистики Фишера и сделать соответствующие выводы о значимости уравнения регрессии.
7. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата Yp, если прогнозное значение фактора Xр увеличится на 15% от его среднего уровня.

9. С уровнем значимости 0,05 определить интервальную оценку условного математического  ожидания Уp для вычисленного Хp .
10. С надежностью 0,95  определить доверительный интервал значения Уp для вычисленного значения Хp.
11. Найдите основные регрессионные характеристики используя функцию Регрессия (У,Х) из надстройки "Анализ данных". Уровень надежности установить 95%. Запомните ( или подпишите) основные характеристики регрессии.

Задача

     В качестве примера рассмотрим зависимость  между сменной добычей угля одного рабочего У (тонн)] и мощностью Х  пласта (в метрах) по данным, приведенным  в таблице 1

Таблица 1

     Для исходных данных, приведенных в таблице 1, требуется:

1. Построить поле корреляции (на отдельном листе), сформулировать гипотезу о форме связи и построить  эмпирическую линию регрессии (линию тренда).
2. Найти оценки b₀ и b₁ параметров модели парной линейной регрессии .
3. С надежностью 0,95 проверить значимость оценок b₀ и b₁ теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделать соответствующие выводы о значимости этих оценок.
4. С надежностью 0,95 определить интервальные  оценки теоретических коэффициентов регрессии и сделать соответствующие выводы о значимости этих оценок.
5. Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy сделать соответствующие выводы о качестве  уравнения регрессии.
6. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F статистики Фишера и сделать соответствующие выводы о значимости уравнения регрессии.
7. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата Yp, если прогнозное значение фактора Xр увеличится на 10% от его среднего уровня.

9. С уровнем значимости 0,05 определить интервальную оценку условного математического ожидания Уp для вычисленного Хp .
10. С надежностью 0,95  определить доверительный интервал значения Уp для вычисленного значения Хp.
11. Найдите основные регрессионные характеристики используя функцию Регрессия (У,Х) из надстройки "Анализ данных". Уровень надежности установить 95%. Запомните ( или подпишите) основные характеристики регрессии.

Решение

     (Порядок вычислений с использованием MS Exel: Вычисляем параметры, которые приведены в таблице 2. В таблице 2 первые три столбца включают исходные данные. В четвертом, пятом и шестом столбцах выполняются операции умножения столбцов X×Y, возведения значений столбца X и Y в квадрат. Для каждого из столбцов с номерами 2, 3, 4, 5 и 6 подсчитывается их суммы и средние значения. Результаты расчетов величин приведены в столбце 7. Величина остаточной (необъяснимой) ошибки вычисляется по формуле и приведена в столбце 8. В столбцах 10 и 11, 12 и 13, 14 и 15 приведены значения центрированных величин, квадраты центрированных величин : 
    . 
Столбец 16 используется для вычисления средней ошибки аппроксимации А. 
Суммы и средние значения  записываются в строки 11 и 12.)

     Решение.

1. Построим поле корреляции (на отдельном листе) и сформулируем гипотезу о форме связи, предполагая, что генеральное уравнение регрессии – линейное:

2. Найдем  оценки b₀ и b₁ параметров модели парной линейной регрессии по следующим формулам:

Тогда уравнение  эмпирической линии регрессии (линии  тренда) имеет вид:

y = 1,6254x + 0,7199

3. С надежностью 0,95 проверим значимость оценок b₀ и b₁ теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.

     Для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы к=n-2=10-2=8 критерий Стьюдента (см таблица распределения Стьюдента ) равен

     Дисперсии средние квадратичные отклонения коэффициентов b₀ и b₁  уравнения регрессии определим из равенств с использованием результатов табл. 2.

Для определения статистической значимости коэффициентов b₀ и b₁ найдем t – статистики Стьюдента:

     Сравнение расчетных и табличных величин  критерия Стьюдента показывает, что  или и или 25,4774>2,306, т.е.с надежностью 0,95 оценка b₀ теоретического коэффициента регрессии b₀ статистически незначима, оценка b₁ теоретического коэффициента регрессии b₁ статистически значима.

4. С надежностью 0,95 определим интервальные оценки теоретических коэффициентов регрессии и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.

     Доверительные интервалы для этих коэффициентов равны:

     Подставив числовые значения, значения коэффициентов b₀ и b₁, их средние квадратичные отклонения и значение для t имеем:

     Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b₀ статистически незначима.

     Так как точка 0 (ноль) не лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b₁ статистически значима.

5. Определим коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy и сделаем соответствующие выводы о качестве уравнения регрессии.

     Определяем дисперсии и средние квадратичные отклонения независимого X и результативного Y факторов:

     Тесноту связи между переменными X и Y определяем через ковариацию и коэффициент корреляции.

     Величина  r_xy=0,9939 , близка к 1, что характеризует тесную линейную связь между независимым и результативным признаками.

     Для определения коэффициента детерминации воспользуемся результатами расчетов таблицы 2.

     По  таблице 2 найдем:

• общую ошибку (столбец 13):

• ошибку  объясняемую регрессией (столбец 15)

• остаточную  ошибку (столбец 9)

     Причем имеем TSS=RSS+ESS

     Тогда коэффициент детерминации равен

     Полученная  величина коэффициента детерминации свидетельствует  о том, что необъясненная ошибка составляет менее 2 процентов от общей  ошибки.

6. Проверим при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F статистики Фишера и сделаем соответствующие выводы о значимости уравнения регрессии.

Статистика  Фишера вычисляется по формуле: .

Имеем F = (261,28/3,2203)·8=649,0826.

Найдем для  заданной доверительной вероятности  0,05 критическое значение статистики Фишера:

По таблице  .

Имеем F > F_кр, поэтому уравнение значимо с надежностью 0,95.

7. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения регрессиии.

A=1/10·(0,0198 + 0,0101 + 0,0333 + 0,0112 + 0,0500 + 0,0011 + 0,0040 + 0,0392 + 0,0052 + 0,0172)·100% =1,91%.

Судя по величине средней ошибки, качество уравнения регрессии очень хорошее.

8. Рассчитаем прогнозное значение результата Yp, если прогнозное значение фактора Xр увеличится на 10% от его среднего уровня.

Хр = 1,10*Хср = 1,1*13,4 = 14,74.

     Прогнозируемую  величину y_p определяем из равенства:

9. С уровнем  значимости 0,05 определим интервальную оценку условного математического ожидания Уp для вычислинного значения Хp.

     Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины y_p равна

     Среднее квадратичное отклонение математического ожидания прогнозируемой величины равно

     С уровнем значимости a=0,05 доверительный интервал для условного математического ожидания yp при данном x_p равен:

 
или  
.

10. С надежностью 0,95 определим доверительный интервал значения Уp для вычислинного значения Хp

Имеем  

Дисперсия конкретного  значения прогнозируемой величины y_p  равна

     Среднее квадратичное отклонение ожидаемой прогнозируемой величины y_p равно

Тогда получим,

 или  
23,1311 £ y_p £ 26,2253.

11. Найдем основные регрессионные характеристики используя функцию Регрессия (У,Х) из надстройки "Анализ данных". Уровень надежности установим 95%.

Регрессионный анализ с использованием процедуры  «Регрессия»

     Для реализации процедуры «Регрессия»  необходимо;

1. Ввести исходные данные Х и У, расположив , например, их в столбцах А и В, начиная с ячеек А2 и В2, соответственно.
2. Выполнить команду Сервис/Анализ данных.
3. В появившимся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструментов анализа выбрать строку Регрессия, указав курсором мыши и левой кнопкой мыши, затем нажать кнопку ОК.
4. В появившемся диалоговом окне Регрессия задать Входной интервал У, то есть ввести ссылку на диапазон анализируемых зависимых данных, содержащих один столбец данных. Для этого следует навести указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных, нажав левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши.
5. Указать Входной интервал X, то есть ввести ссылку на диапазон независимых данных, содержащий  столбец анализируемых  независимых данных. Для этого следует навести указатель мыши на поле ввода Входной интервал X и щелкнуть левой кнопкой мыши. Затем навести указатель мыши на верхнюю левую ячейку диапазона независимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее протянуть указатель мыши к нижней правой ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши.
6. Установить флажок уровень надежности.
7. Установить флажок Остатки
8. Указать в Параметры вывода в Выходном интервале, например, ячейку D2.
9. Если необходимо визуально проверить отличие экспериментальных точек от предсказанных по регрессионной модели, следует установить флажок в поле График подбора.(не установлен)
8. Нажать кнопку ОК.

     Интерпретируем  полученные результаты .

     В шаблоне Дисперсионный анализ оценивает  общее качество полученной модели; её достоверность по уровню значимости критерия Фишера и коэффициент детерминации.

     Коэффициенты  модели определяются в столбце Коэффициенты: в строке Y- коэффициент b₀, в строке X- коэффициент при независимой переменной b₁.

     Таблица 2