Эконометрика. 8

Задача 1

  A B C D E F G H I J K
1 Вариант 1  
2 Задача 1  
3 По территориям Южного Федерального округа РФ приводятся данные за 2000 г.:  
4               Таблица №1  
5 Территории федерального округа Валовой региональный продукт, млрд.руб., y Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., x  
6 1. Респ. Адыгея 5.1 1.264  
7 2. Респ. Дагестан 13 3.344  
8 3. Респ. Ингушетия 2 0.93  
9 4. Кабардино-Балкарская Респ. 10.5 2.382  
10 5. Респ. Калмыкия 2.1 6.689  
11 6. Карачаево-Черкесская Респ. 4.3 0.61  
12 7. Респ. Северная Осетия - Алания 7.6 1.6  
13 8. Краснодарский край1) 109.1 52.773  
14 9. Ставропольский край 43.4 15.104  
15 10. Астраханская обл. 18.9 12.633  
16 11. Волгоградская обл. 50 10.936  
17 12. Ростовская обл. 69 20.014  
18 Итого, å 225.9 75.506  
19 Средняя 20.536 6.8642  
20 Среднее квадратическое отклонение, σ 21.852 6.4427  
21 Дисперсия, D 477.50 41.5079  
22          
23 1) Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учета указанной аномальной единицы.  
24          
25 Решение:                    
26 1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора xi  
27               Таблица №2  
28 Территории федерального округа Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., x Валовой региональный продукт, млрд.руб., y  
29 Карачаево-Черкесская Респ. 0.61 4.3  
30 Респ. Ингушетия 0.93 2  
31 Респ. Адыгея 1.264 5.1  
32 Респ. Северная Осетия - Алания 1.6 7.6  
33 Кабардино-Балкарская Респ. 2.382 10.5  
34 Респ. Дагестан 3.344 13  
35 Респ. Калмыкия 6.689 2.1  
36 Волгоградская обл. 10.936 50  
37 Астраханская обл. 12.633 18.9  
38 Ставропольский край 15.104 43.4  
39 Ростовская обл. 20.014 69  
40                      
41                       
42  2. Построим график.  
43               График 1  
44                    
45    
46                      
47                      
48                      
49                      
50                      
51                      
52                      
53                      
54                      
55                      
56                      
57                      
58                      
59                      
60                      
61                      
62                      
63                      
64                      
65 Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи валового регионального продукта (y) с инвестициями в основной капитал (x). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.  
66                      
67 3. Обычно моделирование начинается с построения уравнения прямой: y=a0+a1*x, отражающей линейную форму зависимости результата y от фактора x. Расчет неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных a0 и a1. Для расчета используем значения определителей второго порядка Δ, Δa0 и Δa1. Расчетные процедуры представим в разработочной таблице, в которую кроме значений y и x, войдут x2,  xy, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для y и x. См. табл.  3.  
68 Расчет определителя системы выполним по формуле:                    
69 Δ=n*å(x2)-åx*åx= 11 * 974,873 - 75,506 * 75,506 = 5022,45                
70                      
71 Расчет определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:                    
72 Δа0=åy*å(x2)-å(y*x)*åx= 225,9 * 974,873 - 2927,663 * 75,506 = -832,31              
73                      
74 Расчет определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:                    
75 Δа1=n*å(y*x)-åy*åx= 11 * 2927,663 - 225,9 * 75,506 = 15147,49              
76                      
77               Таблица №3  
78 № x yфакт x2 yx yрасч dy d2y ε', %    
79 A 1 2 3 4 5 6 7 8    
80 1 0.61 4.3 0.37 2.62 1.67376 2.62624 6.90 12.78847    
81 2 0.93 2 0.86 1.86 2.63888 -0.63888 0.41 3.11102    
82 3 1.264 5.1 1.60 6.45 3.64622 1.45378 2.11 7.07916    
83 4 1.6 7.6 2.56 12.16 4.6596 2.9404 8.65 14.31827    
84 5 2.382 10.5 5.67 25.01 7.01811 3.48189 12.12 16.95504    
85 6 3.344 13 11.18 43.47 9.91950 3.08050 9.49 15.00047    
86 7 6.689 2.1 44.74 14.05 20.00802 -17.90802 320.70 87.20308    
87 8 10.936 50 119.60 546.80 32.81698 17.18302 295.26 83.67269    
88 9 12.633 18.9 159.59 238.76 37.93513 -19.03513 362.34 92.69151    
89 10 15.104 43.4 228.13 655.51 45.38766 -1.98766 3.95 9.67892    
90 11 20.014 69 400.56 1380.97 60.19622 8.80378 77.51 42.86996    
91 Итого 75.506 225.9 974.873 2927.663 225.9 0 1099.425 385.369    
92 Средняя 6.86 20.54 - 266.15118 - - - 35.03    
93  Сигма 21.852 6.443 - - - - - -    
94  Дисперсия 477.502 41.508 - - - - - -    
95  Δ= 5022.45 - - - - - - -    
96  Δa0= -832.31 a0= -0.166 - - - - -    
97  Δa1= 15147.49 a1= 3.016 - - - - -    
98                       
99  Расчет параметров уравнения регрессии дает следующие результаты:                    
100    -832.31 = -0,166   15147.49 = 3,016      
101      5022.45       5022.45        
102                      
103 В конечном счете, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:                    
104                    
105     -0,166 + 3,016 * x                
106                      
107 В уравнении коэффициент регрессии a1= 3,016 означает, что при увеличении            
108 инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. (от своей средней) объем валового регионального продукта возрастет на 3,016 млрд. руб. (от своей средней)  
109                      
110 Свободный член уравнения a0=     -0,166 оценивает влияние прочих факторов,              
111 оказывающих воздействие на объем валового  регионального продукта.                    
112                      
113 Относительную оценку силы связи дает общий (средний) коэффициент эластичности:                    
114                    
115                      
116                      
117 В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчетная формула преобразуется к виду:  
118     3,016 * 6.86 = 1,008          
119         20.54            
120 Это означает, что при изменении объема инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней объем валового регионального продукта увеличивается на 1,008 % от своей средней.  
121                      
122 4. Для оценки тесноты связи расчитаем линейный коэффициент парной корреляции:                    
123   3,016 * 6.443 = 0,889   0.7903      
124       21.852              
125 Коэффициент корреляции, равный 0,889, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общим объемом инвестиций в основной капитал и объемом валового регионального продукта. Коэффициент детерминации, равный 0,7903, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 79,03 % из 100% предопределена вариацией объема инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на объем валового регионального продукта, определяется                 в 20,97 %, что является сравнительно небольшой величиной.  
126                      
127 5. Для оценки статистической надежности выявленной зависимости объема валового регионального продукта и объема инвестиций расчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. И сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе H0: a0 = a1 = ryx=0, то есть, либо примем, либо отклоним ее с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).  
128 В нашем случае k=2, n=11:                    
129                    
130       0.7903 2-1 = 33,9          
131       0.2097 11-2            
132                      
133 Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 34 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия объема валового регионального продукта и объема инвестиций.  
134 Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: Fтабл.=5,12 при степенях свободы k-1=1 и n-k=11-2=9 и уровне значимости α=0,05.  
135 В силу того, что Fфакт = 33,9     > Fтабл= 5,12 , нулевую гипотезу о статисти-          
136 ческой незначимости выявленной зависимости объема валового регионального продукта от объема инвестиций в основной капитал и ее параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.  
137 Определим теоретические значения результата yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора x и выполним расчет (табл.3) и построим график (график 1)  
138 7. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:  
139       35,03 %            
140                      
141 В нашем случае скорректированная ошибка апроксимации составляет 35,03 % . Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора x (относительно его среднего значения)  
142                      
143 8. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции y=ao+a1*lnx в линейную введем новую переменную L=lnx, которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели y=a0+a1*L будут использованы традиционные расчетные приемы, основанные на значениях определителей второго порядка (Таблица №4)  
144               Таблица №4  
145 № x lnx yфакт (lnx)2 y*lnx yрасч dy d2y ε', %  
146 A 1 2 3 4 5 6 7 8    
147  1 0.61 -0.49430 4.3 0.24 -2.13 -6.32054 -10.62054 112.80 51.71671  
148  2 0.93 -0.07257 2 0.01 -0.15 -0.14985 -2.14985 4.62 10.46871  
149  3 1.264 0.23428 5.1 0.05 1.19 4.34000 -0.76000 0.58 3.70080  
150  4 1.6 0.47000 7.6 0.22 3.57 7.78909 0.18909 0.04 0.92079  
151  5 2.382 0.86794 10.5 0.75 9.11 13.61170 3.11170 9.68 15.15244  
152  6 3.344 1.20717 13 1.46 15.69 18.57528 5.57528 31.08 27.14880  
153  7 6.689 1.90046 2.1 3.61 3.99 28.71959 26.61959 708.60 129.62405  
154  8 10.936 2.39206 50 5.72 119.60 35.91262 -14.08738 198.45 68.59844  
155  9 12.633 2.53631 18.9 6.43 47.94 38.02332 19.12332 365.70 93.12098  
156  10 15.104 2.71496 43.4 7.37 117.83 40.63729 -2.76271 7.63 13.45301  
157  11 20.014 2.99643 69 8.98 206.75 44.75579 -24.24421 587.78 118.05710  
158  Итого   14.753 225.9 34.852 523.416 225.894 -0.006 2026.97 531.962  
159  Средняя   1.34 20.54 - 47.58327 - - 184.27 48.36  
160  Сигма   1.170 295.256 - - - - - -  
161  Дисперсия   1.369 362.336 - - - - - -  
162    Δ= 165.72 - - - - - - -  
163    Δa0= 151.11 a0= 0.912 - - - - -  
164    Δa1= 2424.87 a1= 14.632 - - - - -  
165                       
166  Полученное уравнение будетиметь вид:                    
167                     
168      0,912 + 14,632 * lnx                
169  Определим коэффициенты корреляции и детерминации h и h2:                    
170                     
171      184.27 = 0,509 0.713          
172      362.336                
173                      
174 Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:  
175                    
176         48,36 %            
177                      
178                    
179 Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи 0,713 ( в сравнении с 0,889 ), скоррелированная средняя ошибка апроксимации здесь выше и составляет 48,36 % , то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.  
180                      
181 8. Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка. Если предположить, что прогнозное значение объема инвестиций в основной капитал (    ) составит 1,062 от среднего уровня (      ), то  
182 1,062 * 6,864 = 7,29                  
183 Тогда прогнозное значение результата:                    
184 -0,166 + 3,016 * 7,29 = 21,82                  
185                      
186 9. Рассчитаем интегральную ошибку прогноза -      , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии -      и ошибки прогноза положения регрессии -      . То есть,  
187                      
188                    
189                      
190 В нашем случае                    
191                    
192       1099.425 = 122,16          
193       9          
194                    
195   11.05 млрд.руб.                
196                      
197 Ошибка положения регрессии составит                    
198                
199           1        (7,29 - 6,864 )   =    
200             11        477,502 * 11      
201                      
202 = 0,302 млрд.руб.                    
203 Следовательно, интегральная ошибка прогноза составит:                    
204 11,05 * 0,302 = 3,34 млрд.руб.                  
205 Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9 составит 2,26.  
206 Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит:  
207                      
208   2,26 * 3,34 = 7,55 млрд.руб.                
209 Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале:  
210                    
211   21,82 - 7,55            21,82 + 7,55                
212   14.27 29.37              
213                      
214 То есть если прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит 1,062 от среднего уровня, то валовый региональный продукт увеличиться до 21,82±7,55 млрд.руб.  
215 Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:                    
216                    
217   29.37 = 2,058                
218   14.27                
219 Это означает, что верхняя граница в  раза больше нижней границы, то есть точность выполнения прогноза невелика, но его надежность на уровне 95% оценивается как высокая.  
220 Причиной невысокой точности является повышенная ошибка апроксимации. Ее значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой точности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой (например Респ. Калмыкия, Волгоградская область, Астраханская область с e>80 %). Если удалить эти территории из рассчетов, тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.  

Задача 2

  A B C D E F G H I
1 Задача 2
2 Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год.
3 Y - Валовой региональный продукт, млрд. руб.                
4 X1 - Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.                
5 X2 - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.                
6 X3 - Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
7                  
8 Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
9                  
10 Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие одной территории (Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
11                  
12 При обработке исходных данных получены следующие значения:                
13 А) Линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений.
14                  
15   Y X1 X2 X3        
16 Y 1 0.7677 0.8653 0.4237        
17 X1 0.7677 1 0.8897 0.0157        
18 X2 0.8653 0.8897 1 -0.0179        
19 X3 0.4237 0.0157 -0.0179 1        
20 Средняя 31.92 8.87 121.18 0.5683        
21 σ 14.61 5.198 48.19 0.6942        
22                  
23 Б) Коэффициентов частной корреляции                
24                  
25   Y X1 X2 X3        
26 Y 1 -0.1462 0.8737 0.8791        
27 X1 -0.1462 1 0.5562 0.1612        
28 X2 0.8737 0.5562 1 -0.7842        
29 X3 0.8791 0.1612 -0.7842 1        
30                  
31 Задание:                
32                  
33 1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
34 2. Выполните расчёт бета-коэффициентов и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе. Проанализируйте с помощью бета-коэффициентов силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
35 3. По значениям бета-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме. Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности.
36 4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости =0,05)
37 5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 102,1 процента от их среднего уровня.
38 6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
39                  
40 Решение.                
41                  
42 Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что валовой региональный продукт - Y более тесно связан с фактором X2 - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб. (rxy=0,8653); наименее тесно результат Y связан с показателем X3 - Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
43 Поэтому, в силу небольшой информативности фактора X3 - Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб., предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y с фактором X3 - Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб. и Х2. Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X1 и с X3 и для Y с X2 и X3.
44 Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:                
45                
46                  
47         = -0.00943      
48                  
49                
50                  
51         = 0.62305      
52                  
53                
54                  
55         = 0.70175      
56                  
57                  
58 Как видим, факторы Х1 и Х2 тесно связаны с результатом, а между собой практически не взаимодействуют.
59                  
60 Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:
61                  
62                
63                  
64         = 0.96381      
65                  
66                
67                  
68         = 0.87632      
69                  
70                
71                  
72         = -0.84691      
73                  
74                  
75 В этом случае межфакторное взаимодействие оценивается как заметное. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать Х1 и Х2 в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.
76                  
77 2.                
78 При построении двухфакторной регрессионной модели Y=a0+a1x1+a2x2 воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизированных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид:
79                
80                  
81                  
82 Выполним расчёт бета-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.
83                
84                  
85           -0.01035      
86                
87                  
88           0.87451      
89                  
90                  
91 В результате получено уравнение в стандартизированном масштабе:
92 ty=-0,01035*tx1+0,8745*tx2
93                  
94 Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций в основной капитал на одну сигму (от своей средней) валовый региональный продукт уменьшится на 1,035% своей сигмы, а с увеличением среднегодовой стоимости ОФ в экономике на сигму - увеличится на 87,45% сигмы.
95  
96 Сравнивая бета-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В нашем случае увеличение валового регионального продукта происходит за счёт инвестиций в основной капитал.
97                  
98 3.                
99 Используя значения бета-коэффициентов, можно рассчитать параметры уравнения в естественной форме:
100                
101 В конечном счёте имеем уравнение:
102 Y`=0,0497+0,0291x1-0,2651x2
103 С увеличением инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. валовый региональный продукт увеличится на 0,0291 млрд. руб., с увеличением среднегодовой стоимости ОФ в экономике ВРП сократится на 0,2651 млрд. руб.
104 Так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты.
105  
106                  
107 Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае расчёт показал, что влияние на ВРП инвестиций в два раза больше, чем основных фондов. Поэтому регулирование ВРП через инвестиции будет более результативным, чем через количество основных фондов.
108 Эинв= -0.0081   Эоф= 0.0047        
109 Тесноту выявленной зависимости ВРП от инвестиций в основной капитал и среднегодовой стоимости ОФ в экономике оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и бета-коэффициентов.
110 R= 0.8653              
111 R2= 0.7488              
112 Как показали расчёты, установлена тесная зависимость валового регионального продукта от инвестиций в основной капитал и среднегодовой стоимости основных фондов в экономике.
113 Это означает, что 74,87% вариации ВРП определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 0,01% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.
114 Для выполнения оценки статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. Для её проверки используется F-критерий Фишера. Его фактическое значение определяется исходя из соотношенийфакторной и остаточной дисперсии и их степеней свободы: df1=k; df2=n-k-1, где n - число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. В нашем случае k=2.
115 Fфакт= 10.431              
116 Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием изучаемых факторов, более чем в 11 раз превышает детерминацию, связанную с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систематических факторов.
117 Для принятия обоснованного решения Fфакт. сравнивается с Fтабл., которое формируется случайно и зависит от степеней свободы факторной и остаточной дисперсий, а также от уровня значимости альфа.
118 Fтабл=4,74. В силу того, что Fфакт>Fтабл., можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а значит - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.
119 Построим прогноз по уравнению множественной регрессии.
120 Для этого определим прогнозные значения каждого факторного признака, подставим их в уравнение и выполним с ними расчёт прогнозного значения результата. После подстановки в уравнение получаем следующий результат:
121                  
122 Yпрогн=0,049+-0,029*32,59+0,265*9,056=1,5026
123 Если инвестиции в основной капитало и среднегодовая стоимость основных фондов в экономике составят 102,1% от их среднего уровня, то ВРП составит 1,5026 млрд. руб.
124                  

Задача 3

  A B C D E F G H I J K L M N O P
1 Задача 3
2 Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
3 Y1 - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
4 Y2- стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;                              
5 X1 - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;                              
6 Х2 - кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам;
7 Х3 - среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.                              
8                              
9                                
10                                
11 Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трех территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учета указанных аномальных единиц. 
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ: 
N=15.
12 Для проверки рабочей гипотезы №1:               Для проверки рабочей гипотезы №2:              
13   Y1 X1 X2     Y2 Y`1 X3  
14 Y1 1 0.7823 0.7093   Y2 1 0.8474 0.7337  
15 X1 0.7823 1 0.6107   Y`1 0.8474 1 0.7061  
16 X2 0.7093 0.6107 1   X3 0.7337 0.7061 1  
17 Ср. 115.83 5.6 0.2701   Ср. 23.77 115.83 0.5697  
18 σ 30.0303 2.4666 0.2036   σ 7.2743 30.0303 0.116  
19                                
20  Задание:                              
21                                 
22  1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
23 2. Определите вид уравнений и системы.                              
24 3.  На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
25 -определите бета коэффициенты и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
26 - дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
27 - рассчитайте параметры а1, а2 и а0    уравнений множественной регрессии в естественной форме;
28 - с помощью коэффициентов парной корреляции и бета-коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
29 - оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
30 4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
31                                
32 Решение:                              
33                                
34 В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b , коэффициенты при экзогенных неременных - через а. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс - номер уравнения, второй - индивидуальный номер признака. Тогда:
35                              
36                                
37                                
38                                
39 Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y1, значения которой формируются в условиях данной системы, а именно, в предыдущем уравнении. Имеем дело с рекурсивной системой уравнений, в которой переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов.
40 Выполним расчет ß-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:
41                            
42       0.5568     0.2699              
43                                
44 По полученным результатам построено уравнение в стандартизированном виде:
45                                
46                              
47       0,5568*tx1 + 0,2699 * tx2                        
48                                
49 По данным первого уравнения сделаем вывод, что инвестиции текущего года в основной капитал (х,) влияют на среднегодовую стоимость основных фондов в экономике (у,) сильнее, чем кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (х2), т.к.
50                            
51       0.5568 >     0.2699            
52                                
53 Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:                              
54                            
55     0.6567       0.2699  
56                                
57 Второе уравнение в стандартизированной форме имеет вид:                              
58 ß`y2= 0,6567* ty1 + 0,2699* tx3                            
59 Из второго уравнения очевидно, что на Y2- стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.; более сильное влияние оказывает Y1 - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.; менее сильное влияние оказывает Х3 - среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.
60 Расчёт параметров уравнения регрессии в естественной форме даёт следующие результаты:
61 а11= 6.77875                            
62 а12= 39.81428                            
63 а10= -680.10652                            
64 Уравнение №1 в естественной форме выглядит следующим образом:                              
65 Y`1= 6,7788 + 39,8143 * X1 -680,1065 * X2                            
66 Параметры второго уравнения рассчитываются аналогичным образом. При этом в качестве одного из факторов выступают не фактические значения y1, а его теоретические значения y`1, полученные расчётным путём при подстановке в первое уравнение фактических значений факторов x1 и x2.
67 b21= 0.0654                          
68 a23= 16.9253                            
69 a20= 6.55237                            
70 Уравнение №2 в естественной форме выглядит следующим образом:                              
71 Y`2= 0,0654 + 16,9253 * y`1 -6,5524 * X3                            
72 Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:                              
73   Y`1= 6,7788 + 39,8143 * X1 -680,1065 * X2                        
74     Y`2= 0,0654 + 16,9253 * y`1 -6,5524 * X3                        
75 Значения коэффициентов регрессии каждого из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения бета-коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности.
76 Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.
77                              
78           = 0.792                
79                              
80             = 0.869              
81                                
82 В первом уравнении факторы X1 и X2 объясняют 79,19% вариации среднегодовой стоимости ОФ, оставшаяся часть вариации определяется влиянием прочих факторов.
83 Во втором уравнении переменные Y1 и X3 объясняют 86,86% вариации ВРП                              
84 Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.
85 Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:
86                                
87 Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По ре зультата сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы. В нашей задаче:
88                              
89           = 10.087                
90                              
91     = 18.44123                      
92                                
93 Табличное значение F-критерия равняется в нашем случае 3,88.                              
94 Поскольку фактические значения F-критерия выше табличного, нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик первого и второго уравнения следует отклонить.
95 Следовательно, можно принять гипотезу о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах, основанных не только на влиянии X1,X2 и Х3, но и на влиянии эндогенной переменной Y1.
96                                

Задача 4

  A B C D E
1 Задача №4
2 Предлагается изучить взаимозависимость социально-экономических показателей региона.
3 Y, - инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;
4 Y2  - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб.;
5 Y3 - стоимость валового регионального продукта региона, млрд. руб.
6 Х1 -инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.
7 Х2 -темп роста производства промышленной продукции в регионе, %
8 Х3 - среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.
9 При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:
10        
11          
12          
13          
14 Задание:        
15 1.  На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
16 2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
17 3.  Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
18          
19 Решение        
20 1. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными У1, Y2 и Y3. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений.
21 В состав структурных уравнений входят:
22 а) эндогенные переменные (Yj), значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей;
23 б) экзогенные переменные (xm), значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные.
24 Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через am,I, коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через bj,i, где i-число изучаемых объектов; m — число экзогенных переменных, которые обычно обозначают через x;j - число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y.
25 Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию:
26 1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата;
27 2) - номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.
28 В нашей задаче система уравнений для описания выдвигаемые рабочие гипотезы будет иметь следующий вид:
29          
30          
31        
32          
33          
34          
35          
36 Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и всей системы для ответа на вопрос - имеют ли решения каждое из уравнений и система в целом.
37 Воспользуемся счётным правилом, но которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных в данном уравнении - Yн и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня - xD. Для удобства анализа представим результаты в таблице.
38          
39 Результаты идентификации структурных уравнений и всей системы
40 Номер уравнения Число эндогенных переменных в уравнении, Н Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D Сравнение параметров Н и D+1 Решение об идентификации уравнения
41
42 1 2 1 2 =1+1 Точно идентифицировано
43 2 2 2 2 <2+1 Сверхидентифицировано
44 3 3 1 3 >1+1 неидентифицировано
45 Вся система уравнений в целом неидентифицирована
46 В том случае, когда хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Если подобный результат нас не устраивает, необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким обра­зом, чтобы идентификация была возможна.
47 2. Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отражённой в уравнении №3, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключена одна из экзогенных переменных. Скорее всего, ею может оказаться х1 - инвестиции прошлого года в экономику региона, так как по своему экономи­ческому смыслу они менее тесно связана со стоимость валового регионального продукта региона, чем темпы роста производства промышленной продукции в регионе (х2).
48 Во-вторых, возможна корректировка путём исключения из правой части уравнения эндо­генной переменной Y, - инвестиции текущего года в экономику региона или Y2 - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона. Но в этом случае, уравнение перестанет быть структурным, следовательно, изу­чить обратную связь Y3 и Y2 будет невозможно. По этой причине подобная корректировка является нецелесообразной.
49 И в том и в другом случае при корректировке рабочей гипотезы уравнение №3 становится точно идентифицированным, а вся система - сверхидентифицированной.
50 3. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются:
51 а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений
52 б) двухшаговый МПК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.
53 Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.
54 Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических знаний эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифици-руемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.
55 Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
56 —   все уравнения системы сверхидентифицируемы;
57 —   система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.
58 Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений
59          

Задача 5

  A B C D E F G H I J K L M N O P
1 Задача 5
2                                
3 По 18 территориям Центрального федерального округа России имеются данные за 2000 год о следующих показателях: Y, - розничный товарооборот, млрд. руб. Y2- сумма доходов населения за год, млрд. руб. X1- численность занятых в экономике, млн. чел. Х2 - основные фонды в экономике, млрд. руб. Х3 - объём промышленной продукции, млрд. руб.
4 Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
5                              
6                                
7 Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
8                              
9                                
10 Задание:
11 1.  Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
12 2. Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
13 3.  Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
14 4.  Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных Y1 и Y2.
15                                
16 Решение
17 Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:
18                              
19                                
20 В соответствии со счётным правилом оба уравнения и система в целом являются точно идентифицированными и это означает, что они имеют единственное решение, которое может быть получено косвенным МНК (КМНК).
21                                
22 Номер уравнения Число эндогенных переменных в уравнении, Н Число экзогенных переменных из общего списка, отсутствующих   в уравнении, D Сравнение параметров H и D+1 Решение об идентификации уравнения  
23 1 2 1 2 > 1 Сверх-идентифици-ровано  
24 2 2 0 2 > 1 Сверх-идентифици-ровано  
25                                
26  Процедура КМНК состоит в том, чтобы путём преобразования результатов решения приведённых уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый приём подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том случае, если выполняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить первое структурное уравнение из первого приведённого необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак х3 выразить через Y2, используя результаты второго приведённого уравнения. То есть:
27                                
28 X3 = (Y2 - 0,046 + 0,968 * X1 + 0,0074 * X2) / 0,0082
29                                
30 После подстановки значения Х3 в первое приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:
31 Y1 = -5,4287 + 113,78 * Y2 - 101,99 * X1 + 0,051 * X2
32 Полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что розничный товарооборот находится в прямой зависимости от суммы доходов населения за год и основных фондов в экономике.
33 Указанные переменные объясняют 79,1% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надёжными, так как Fфакт>Fтабл.
34 Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.
35 Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения.
36 Y2 = -0,04165 + 0,11877 * Y1 - 0,00606 * X2 - 0,03248 * X3
37 Уравнение описывает линейную зависимость суммы доходов населения за год от розничного товарооборота, основных фондов в экономике и объёма промышленной продукции.
38 Этот перечень переменных объясняет 89,7% вариации суммы доходов населения, а соотношение Fфакт>Fтабл позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.
39 Для прогнозирования суммы доходов населения и суммы розничного товарооборота наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных подставляются в приведенные уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведённых моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.
40                                

Задача 6

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R
1                                    
2  Задача 6
3 Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства - Qt, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации.
4     Годы 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001          
5     Qt 43 42 43 43 44 48 51 55 58          
6                                    
7 1. Построим график фактических уровней динамического ряда - Qt                                  
8                                  
9                                    
10                                    
11                                    
12                                    
13                                    
14                                    
15                                    
16                                    
17                                    
18                                    
19                                    
20                                    
21                                    
22                                    
23                                    
24 2. Рассчитаем параметры уравнения линейного тренда Qt=a0+a1*t с помощью определителей второго порядка (Таблица №1).
25                                    
26                               Таблица №1
27 № t Qt t2 t*Qt Qt расч DQt (DQt)2 ε', %
28 A 1 2 3 4 5 6 7 8
29 1993 1 43 1 43.00 39.4 -3.6 12.96 8.37209
30 1994 2 42 4 84.00 41.4 -0.6 0.36 1.42857
31 1995 3 43 9 129.00 43.4 0.4 0.16 0.93023
32 1996 4 43 16 172.00 45.4 2.4 5.76 5.58140
33 1997 5 44 25 220.00 47.4 3.4 11.56 7.72727
34 1998 6 48 36 288.00 49.4 1.4 1.96 2.91667
35 1999 7 51 49 357.00 51.4 0.4 0.16 0.78431
36 2000 8 55 64 440.00 53.4 -1.6 2.56 2.90909
37 2001 9 58 81 522.00 55.4 -2.6 6.76 4.48276
38 Итого 45 427 285 2255 426.6 -0.4 42.24 35.13240
39 Средняя 5 47.44 - 250.55556 - - - 3.9
40 Сигма 2.582 5.6 - - - - - -
41 Дисперсия 6.667 31.358 - - - - - -
42 Δ= 540 - - - - - - -
43 Δa0= 20220 a0= 37.444 - - - - -
44 Δa1= 1080 a1= 2 - - - - -
45                                    
46  Расчет параметров уравнения регрессии дает следующие результаты:                                  
47          20220 = 37,444       1080 = 2      
48           540         540        
49                                    
50 В конечном счете, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
51                                  
52     37,444 + 2 * t                              
53                                    
54 Определим теоретические значения результата Qt расч. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения t и выполним расчет (табл.1)
55 3. Для оценки тесноты связи расчитаем линейный коэффициент парной корреляции:                                
56           2 * 2.582 = 0,922       0.8501        
57             5.600                
58 Уравнение детерминирует 85,01 %  вариации среднего размера земельного участка
59                                    
60                                    
61 Для оценки статистической значимости модели тренда расчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. И сравним его с табличным значением - Fтабл.
62 В нашем случае k=2, n=9:                                  
63                                  
64                   0.8501 2-1 = 39,7        
65                   0.1499 9-2        
66                                    
67 Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: Fтабл.=5,59 при степенях свободы k-1=1 и n-k=9-2=7 и уровне значимости α=0,05.
68 Фактическое значение F-критерия Fфакт =                 39,7     >   Fтабл= 5,59 ,        
69 что позволяет сделать вывод о высокой степени надежности уравнения тренда.
70                  
71 Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:
72                 3,9 %                
73                                  
74 Средняя ошибка апроксимации (             3,9 %) указывает на высокое качество                  
75 модели тренда и возможность ее использования для решения прогнозных задач.                                  
76 Определим качество модели через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда - rdQtdQt-1
77 Выполним расчет в таблице №2.                                  
78 Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:                                  
79                                  
80                                    
81                                    
82 Используем значения определителей второго порядка для расчета коэффициента                                  
83 регрессии с1, который отражает силу связи отклонений dQt и dQt-1.                                  
84                                    
85                         Таблица №2      
86   dQt(y) dQt-1(x) dQt*dQt-1 d2Qt-1      
87   -3.6 - - -      
88 1 -0.6 -3.6 2.16 12.96      
89 2 0.4 -0.6 -0.24 0.36      
90 3 2.4 0.4 0.96 0.16      
91 4 3.4 2.4 8.16 5.76      
92 5 1.4 3.4 4.76 11.56      
93 6 0.4 1.4 0.56 1.96      
94 7 -1.6 0.4 -0.64 0.16      
95 8 -2.6 -1.6 4.16 2.56      
96 Итого 3.2 2.2 19.88 35.48      
97 Средняя 0.4 0.275 - -      
98 Сигма 3.5 4.359 - -      
99                                    
100 Получены следующие значения определителей:                                  
101     D= 8 * 35,48 - 2,2 * 2,2 = 279                            
102     Dс1= 8 * 19,88 - 3,2 * 2,2 = 152                            
103 Следовательно                                  
104       с1= 152 = 0,545                    
105       279                    
106 При этом коэффициент корреляции отклонений составит:                                  
107       0,545  *     3.5 = 0,438         0.192      
108           4.359              
109                                    
110     Fфакт   0.192 2-1 = 1,9                  
111       0.808 8-2                  
112 В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает                                  
113 сравнение фактического и табличного значений F-критерия:                                  
114         Fфакт =   1,9     <   Fтабл=   5,99 ,              
115 Как показали расчеты коэффициента автокорреляции, отклонения от линейного тренда находятся в слабой взаимосвязи, которая не является статистически значимой, устойчивой и надежной.
116 То есть линейный тренд полностью исключил из фактических уровней влияние                                  
117 систематических факторов, влияющих на основную тенденцию и может быть                                  
118 использован для прогнозирования.                                  
119 Составим прогноз на 2002-2003 годы и определим его доверительные интервалы                                  
120 по формуле:                                  
121                                  
122                                    
123 где tα - доверительная величина по распределению Стьюдента (tα=2,3646)                                  
124                                  
125                                    
126                                  
127       42.240 = 2,456                    
128       7                    
129                                    
130 Расчет прогнозных значений и доверительных интервалов представим в таблице                                  
131                                    
132                               Таблица №3
133                                    
134 год t DQt нижняя граница прогнозное значение верхняя граница
135
136 2002 10 5.81 51.59 57.4 63.21
137 2003 11 5.81 53.59 59.4 65.21
138                                    
139  Из проведенных рассчетов можно сделать вывод, что средний размер земельного участка в 2002 году составит 57,4га, а в 2003 году 59,4 га  ±5,81га с вероятностью ошибки 0,05.
140 Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:                                  
141                                    
142     63.21 = 1,23         65.21 = 1,22        
143       51.59           53.59        
144 Это означает, что верхняя граница в 1,22 раза больше нижней границы, то есть точность выполнения прогноза велика и  его надежность на уровне 95% оценивается как высокая. Это подтверждает и низкий коэффициент апроксимации (3,9 %  ), который не превышает 5-7%.
145                                    

Задача 7

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R
1                                    
2  Задача 7
3 Данные о стоимости экспорта (St) и импорта (Kt) Индии, млрд. $, приводятся за 1990-1999 гг.
4 В уровнях рядов выявлены линейные тренды:                                  
5 для экспорта                                
6 для импорта                                
7                                    
8 По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней:
9 годы Экспорт Импорт        
10 Sфакт Sтеор Кфакт Ктеор        
11 1990 18 16.4 23.6 18.5        
12 1991 17.7 18.7 20.4 21.4        
13 1992 19.6 21 23.6 24.3        
14 1993 21.6 23.3 22.8 27.2        
15 1994 25.1 25.6 26.8 30.1        
16 1995 30.8 27.9 34.5 33        
17 1996 33.1 30.2 37.4 35.9        
18 1997 34.2 32.5 41 38.8        
19 1998 32.9 34.8 42.2 41.7        
20 1999 36.3 37.1 44.9 44.6        
21                            
22 Предварительная обработа исходной информации дала следующие результаты:                                  
23                                    
24   St Kt T            
25 St 1 0.9725 0.9658            
26 Kt 0.9725 1 0.9558            
27 T 0.9658 0.9558 1            
28 Итого 269.3 317.2 55            
29 Средняя 26.93 31.72 5.5            
30 Сигма 6.926 8.795 2.872            
31                                    
32 Задание:                                  
33 1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических.
34 2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: rdStdKt; 2) уровней рядов: rStKt и 3) коэффициент частной корреляции уровней: rStKt*t; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней;
35 3.Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:                                  
36         St=a0+a1*Kt+a2*ti                          
37 4. Проанализируйте полученные результаты                                  
38                                    
39 Решение                                  
40 1. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда расчитаем значения отклонений:
41         dSt=Sфакт-Sтеор и dKt=Kфакт-Kтеор                          
42                             Таблица № 1
43 годы Sфакт Sтеор Кфакт Ктеор dSt dKt dSt*dKt (dSt)2 (dKt)2
44 1990 18 16.4 23.6 18.5 1.6 5.1 8.16 2.56 26.01
45 1991 17.7 18.7 20.4 21.4 -1 -1 1 1 1
46 1992 19.6 21 23.6 24.3 -1.4 -0.7 0.98 1.96 0.49
47 1993 21.6 23.3 22.8 27.2 -1.7 -4.4 7.48 2.89 19.36
48 1994 25.1 25.6 26.8 30.1 -0.5 -3.3 1.65 0.25 10.89
49 1995 30.8 27.9 34.5 33 2.9 1.5 4.35 8.41 2.25
50 1996 33.1 30.2 37.4 35.9 2.9 1.5 4.35 8.41 2.25
51 1997 34.2 32.5 41 38.8 1.7 2.2 3.74 2.89 4.84
52 1998 32.9 34.8 42.2 41.7 -1.9 0.5 -0.95 3.61 0.25
53 1999 36.3 37.1 44.9 44.6 -0.8 0.3 -0.24 0.64 0.09
54 Итого 269.3 - 317.2 - 0 0 30.52 32.62 67.43
55 Средняя   26.93 - 31.72 - 0 0 - 3.262 6.743
56 Сигма   6.926 - 8.795 - 1.806 2.597 - - -
57 D 47.96948 - 77.35203 - 3.262 6.743 - - -
58                                    
59  2. а) Выполним расчет коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с1, sdS и sdK
60 Рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений:                                  
61           dS=c0+c1*dK                        
62 Расчет определителя системы выполним по формуле:
63 Δ=n*å(dK)2-ådK*ådK= 10 * 67,43 - 0 * 0 = 674,3                        
64 Расчет определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:
65 Δc0=ådS*å(dK)2-å(dS*dK)*ådK= 0 * 67,43 - 30,52 * 0 = 0                  
66 Расчет определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:                              
67 Δc1=n*å(dK*dS)-ådS*ådK= 10 * 30,52 - 0 * 0 = 305,2                    
68   c1= 305.2 = 0,45                    
69   674.3                    
70 В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного:
71       dS= 0,45 *dK                        
72 С изменением отклонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменяется в том же направлении на 0,45 части своей единицы.
73 В дальнейшем коэффициент с1 используется для расчета показателей тесноты связи двух рядов отклонений:
74                              
75       = 0,45 *   2.597 = 0,647     0.419        
76         1.806              
77                                
78 Найденный коэффициент корреляции отклонения от трендов означает, что на 41,9 % вариация размеров отлонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 58,1 % вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.
79 б) Определим линейный коэффициент парной корреляции уровней рядов
80                                  
81                                    
82 Необходимые расчеты произведем в таблице №2:                                  
83                                    
84 годы Sфакт Kфакт S2факт K2факт Sфакт*Kфакт
85 1990 18 23.6 324 556.96 424.8
86 1991 17.7 20.4 313.29 416.16 361.08
87 1992 19.6 23.6 384.16 556.96 462.56
88 1993 21.6 22.8 466.56 519.84 492.48
89 1994 25.1 26.8 630.01 718.24 672.68
90 1995 30.8 34.5 948.64 1190.25 1062.6
91 1996 33.1 37.4 1095.61 1398.76 1237.94
92 1997 34.2 41 1169.64 1681 1402.2
93 1998 32.9 42.2 1082.41 1780.84 1388.38
94 1999 36.3 44.9 1317.69 2016.01 1629.87
95 Итого 269.3 317.2 7732.01 10835.02 9134.59
96 Средняя 26.93 31.72 - - -
97 Сигма 6.926 8.795 - - -
98 D 47.969 77.352 - - -
99                                    
100 Рассчитаем определители уравнения регрессии.                                  
101 Расчет определителя системы выполним по формуле:
102 Δ=n*å(K)2-åK*åK= 10 * 10835,02 - 317,2 * 317,2 = 7734,36                        
103 Расчет определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:
104 Δа0=åS*å(K)2-å(S*K)*åK= 269,3 * 10835,02 - 9134,59 * 317,2 = 20378,94                  
105 Расчет определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:                              
106 Δа1=n*å(K*S)-åS*åK= 10 * 9134,59 - 269,3 * 317,2 = 5923,94                    
107   а0= 20378.94 = 2,63                    
108   7734.36                    
109   а1= 5923.94 = 0,77                    
110   7734.36                    
111 Уравнение регрессии будет иметь вид:                 S= 2,63 + 0,77 *K                
112                              
113       = 0,77 *   8.795 = 0,978     0.956        
114         6.926              
115                                
116 Найденный коэффициент корреляции означает, что на 95,6 % вариация импорта детерминирует изменения экспорта, а на 4,4 % вариация экспорта происходит под влиянием прочих факторов.
117                                    
118 Однако делать подобный выводбыло бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейный тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы может создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.
119 в) Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, дает частный коэффициент корреляции:
120           0,9725 - 0,9658 * 0,9558                      
121             = 0,648 ;     0.42    
122             (1 - 0,9658  )*(1- 0,9558   )              
123                            
124 Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми в данном случае являются линейные.
125 Причиной различия коэффициентов парной корреляции отклонений от трендов и уровней рядов динамики, а также сходства показателей корреляции отклонений от тренда и частной корреляции, является исключение (уменьшение) в первом и третьем случае автокорреляции и ее присутствие во втором.
126 3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчетахпостроим множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неев качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идет о построении модели следующего вида:
127       St=a0+a1*Kt+a2*ti                            
128 В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а2 отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов.
129 Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а1.                                  
130 Используем для расчета параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.
131 Для построения управления в стандартизованном масштабе: tS=bK*tK+bt*tt, рассчитаем значения b-коэффициентов:
132                                  
133           0,9725 - 0,9658 * 0,9558 = 0,571 ;            
134           1- 0,9558            
135                                  
136           0,9658 - 0,9725 * 0,9558 = 0,42 ;            
137           1- 0,9558            
138                                    
139 Получено следующее уравнение             tS= 0.571 * tK + 0,42 * tt          
140 Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:
141         bK= 0,571  > bt= 0.42                
142                                    
143 По значениям b-коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме:
144                                  
145             0,571 * 6.926 = 0,4497            
146             8.795            
147                                  
148             0,42 * 6.926 = 0,3307            
149             8.795            
150                                    
151           = 26,93 - 0,4497 * 31,72 - 0,3307 * 5,5 = 10,85                      
152                                    
153 Уравнение имеет вид:                                  
154     St= 10,85 + 0,4497 * Kt+ 0,3307 * t              
155 С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,4497 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t) экспорт увеличивается в среднем за год на 0,3307 млрд.$.
156