Эконометрика. 5

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Институт  финансов, экономики и управления

Кафедра «Экономика, финансы и бухгалтерский  учет»

Институт  заочного обучения 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

по дисциплине «Эконометрика» 
 
 
 
 
 

Тольятти 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №1 

Вариант №7 

Тема  «Парная регрессия  и корреляция»

 

     По территориям региона приводятся данные за 199X г.

        Номер региона     Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
    		    Среднедневная заработная плата, руб.,
        1     75     133
        2     78     125
        3     81     129
        4     93     153
        5     86     140
        6     77     135
        7     83     141
        8     94     152
        9     88     133
        10     99     156
        11     80     124
        12     112     156

 

    Требуется:

  1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
  2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
  3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
  4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
  5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
  6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.
 

 

     Решение 

    
  1. Предположим, что связь между среднедушевым  прожиточным минимумом в день одного трудоспособного и среднедневной  заработной платы линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции.
 

 

 

     Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу. 

 

   

1 75 133 9 975 5 625 17 689 128,4484 4,5516 20,717 3,42
2 78 125 9 750 6 084 15 625 131,2351 -6,2351 38,876 -4,99
3 81 129 10 449 6 561 16 641 134,0218 -5,0218 25,218 -3,89
4 93 153 14 229 8 649 23 409 145,1686 7,8314 61,331 5,12
5 86 140 12 040 7 396 19 600 138,6663 1,3337 1,779 0,95
6 77 135 10 395 5 929 18 225 130,3062 4,6938 22,032 3,48
7 83 141 11 703 6 889 19 881 135,8796 5,1204 26,218 3,63
8 94 152 14 288 8 836 23 104 146,0975 5,9025 34,840 3,88
9 88 133 11 704 7 744 17 689 140,5241 -7,5241 56,612 -5,66
10 99 156 15 444 9 801 24 336 150,742 5,258 27,647 3,37
11 80 124 9 920 6 400 15 376 133,0929 -9,0929 82,681 -7,33
12 112 156 17 472 12 544 24 336 162,8177 -6,8177 46,481 -4,37
Итого 1046 1677 147 369 92 458 235 911 1677,0002 -0,0002 444,432 50,09
Среднее значение 87,17 139,75 12280,75 7 704,83 19 659,25 139,75 - 37,016 4,1742
среднее значение в квадрате 7 598,03 19 530,06              
10,33 11,36 - - - - - - -
106,81 129,19 - - - - - - -

 
 

    Рассчитаем  параметры линейного уравнения  парной регрессии  .  

  0,9289

      

    Можно сказать, что c увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,9289 руб.

    Таким образом, управление регрессии имеет  следующий вид:

      

    
  1. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем  тесноты связи. При использовании  линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент  корреляции .

    Линейный  коэффициент корреляции находится в границах: . Чем ближе значение к единице, тем теснее связь.

    Связь между переменными достаточно тесная.

    Для оценки качества подбора линейной функции  рассчитывается квадрат линейного  коэффициента , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией.

    

    Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 71,35%, а остальные 28,65% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии. То есть, 71,35% вариации среднедневной заработной платы объясняется вариацией среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного.

    Средняя ошибка аппроксимации – среднее  отклонение расчетных значений от фактических:

    Допустимый  предел значений - не более 8-10%. 

     %

    Качество  построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%. 

    
  1. Оценим  качество уравнения регрессии в  целом с помощью F - критерия Фишера:

    

    Табличное значение критерия при уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы: и составляет . Так как, ,  то уравнение регрессии признается статистически значимым.

    Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t – критерий Стьюдента  и доверительные интервалы каждого из показателей.

         

    Рассчитаем  случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициентов корреляции:

     , где 

      

    

    Тогда фактическое значение t – статистик:

         

    Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

    Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

         , значит признаем статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

    Рассчитаем  доверительные интервалы для  параметров регрессии  и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

    

    

    Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

          

         

         

    Анализ  верхней и нижней границ доверительных  интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля. 

    
  1. Полученные  оценки уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза.

    Найдем  прогнозное значение результативного фактора при значении признака фактора, составляющем 107% от среднего уровня:

     ,

    т.е.найдем среднедневную з.п., если среднедушевой  прожиточный минимум в день одного трудоспособного 93,27(руб.).

       

      
  1. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

    

    Предельная  ошибка прогноза, которая в  случаев не будет превышена, составит:

    

    Доверительный интервал прогноза:

      

     руб.

     руб.

    Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( ), но неточным, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,24 раза и находится в пределах от 129,74 руб. до 161,099 руб. 

 

    
  1. Изобразим на одном графике исходные данные и линию регрессии.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №2 

Вариант №4 

Тема  «Множественная регрессия и корреляция»

 

    По 20 предприятиям региона  изучается зависимость выработки  продукции на одного работника  (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

  Номер предприятия                 Номер предприятия               
    1     7     3,5     9     11     10     6,3     22
    2     7     3,6     10     12     10     6,5     22
    3     7     3,9     12     13     11     7,2     24
    4     7     4,1     17     14     12     7,5     25
    5     8     4,2     18     15     12     7,9     27
    6     8     4,5     19     16     13     8,2     30
    7     9     5,3     19     17     13     8,4     31
    8     9     5,5     20     18     14     8,6     33
    9     10     5,6     21     19     14     9,5     35
    10     10     6,1     21     20     15     9,6     36

 

          Требуется:

  1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
  2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
  3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
  4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
  5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
  6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

 

     Решение  

    Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№ У X1 X2 У*Х1 У*Х2 Х1*Х2 Х12 Х22 У2
1 7 3,5 9 24,5 63 31,5 12,25 81 49
2 7 3,6 10 25,2 70 36 12,96 100 49
3 7 3,9 12 27,3 84 46,8 15,21 144 49
4 7 4,1 17 28,7 119 69,7 16,81 289 49
5 8 4,2 18 33,6 144 75,6 17,64 324 64
6 8 4,5 19 36 152 85,5 20,25 361 64
7 9 5,3 19 47,7 171 100,7 28,09 361 81
8 9 5,5 20 49,5 180 110 30,25 400 81
9 10 5,6 21 56 210 117,6 31,36 441 100
10 10 6,1 21 61 210 128,1 37,21 441 100
11 10 6,3 22 63 220 138,6 39,69 484 100
12 10 6,5 22 65 220 143 42,25 484 100
13 11 7,2 24 79,2 264 172,8 51,84 576 121
14 12 7,5 25 90 300 187,5 56,25 625 144
15 12 7,9 27 94,8 324 213,3 62,41 729 144
16 13 8,2 30 106,6 390 246 67,24 900 169
17 13 8,4 31 109,2 403 260,4 70,56 961 169
18 14 8,6 33 120,4 462 283,8 73,96 1089 196
19 14 9,5 35 133 490 332,5 90,25 1225 196
20 15 9,6 36 144 540 345,6 92,16 1296 225
сумма 206 126 451 1394,7 5016 3125 868,64 11311 2250
ср. знач. 10,3 6,3 22,55 69,735 250,8 156,25 43,432 565,55 112,5

 

    Найдем  средние квадратические отклонения признаков:

    

    

      

    
  1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

    Для нахождения параметров линейного уравнения  множественной регрессии необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

    

либо  воспользоваться готовыми формулами:

     ;   ;  .

    Рассчитаем  сначала парные коэффициенты корреляции:

    

    

    

    Находим

    

    

    

    Таким образом, получили следующее уравнение  множественной регрессии:

    

    Найдем  уравнение множественной регрессии  в стандартизованном масштабе

    

    Коэффициенты  и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

       

    Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

    Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между  собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

    Сравнивать  влияние факторов на результат можно  также при помощи средних коэффициентов  эластичности:

    

    Вычисляем:

      

    Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой  квалификации на 1% увеличивает в  среднем выработку продукции на 0,797% или 0,071% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора . 

    
  1. Коэффициенты  парной корреляции мы уже нашли:

   

    Они указывают на весьма сильную связь  каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

    При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим  образом:

    Если  сравнить коэффициенты парной и частной  корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

    Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов  корреляции:

    

    где определитель матрицы парных коэффициентов  корреляции;

     определитель матрицы межфакторной корреляции.

    

    

    Коэффициент множественной корреляции:

    

    Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом. 

    
  1. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 97,8% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

    Скорректированный коэффициент множественной детерминации:

    

    определяет  тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 97%) детерминированность результата в модели факторами и . 

    
  1. Оценку  надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает -критерий Фишера:

    В нашем случае фактическое значение - критерия Фишера:

    

    Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи . 

    
  1. С помощью  частных  -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

        

    

    

    

    

    Получили, что  . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

    Если  поменять первоначальный порядок включения  факторов в модель и рассмотреть  вариант включения  после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

  1. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

       
     

 

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №3 

Вариант №2 

Тема  «Системы эконометрических уравнений»

 

    Даны системы эконометрических уравнений.

    Требуется:

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
  2. Определите метод оценки параметров модели.
  3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.

    Макроэкономическая  модель (упрощенная версия модели Клейна):

          

    где – потребление; – доход; – инвестиции; К – запас капитала; – налоги; – текущий период; – предыдущий период. 
 

    Решение 

    Первое  уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение – тождество дохода.

    Модель  представляет собой систему одновременных  уравнений. Проверим каждое ее уравнение на индентификацию.

    Модель  включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные (одну экзогенные переменные – и одну лаговую переменную – ).

    Проверим  каждое уравнение системы на необходимое  условие индентификации.

    Если  обозначить число эндогенных переменных в i -м уравнении системы через H, а число экзогенных  (предопределенных)      переменных, которые содержатся в  системе, но не входят в данное уравнение  — через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

    D+1=H – уравнение идентифицируемо;

    D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

    D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо;

    Первое  уравнение:

    Уравнение содержит: эндогенных переменных(Н) – 2 ( ), предопределенных переменных(D) – 1 .

Эконометрика. 5