Эконометрика. 4

Вариант №14

Задание 1

Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться х_i денежных средств. При этом фиксировалось число продаж у_i . Предполагая, что для данного случая количество продаж Х пропорциональны расходам на рекламу Y, необходимо:

1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей X и Y.
2. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y=ax+b.
3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p=0,95 проверить его значимость.
4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.
5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Таблица 1

х_i – это расходы на рекламу, млн. руб.;

y_i – это количество продаж, тыс. ед.

С помощью  табличного процессора Excel находим:

Таблица 2

По данным таблицы 2 находим, что:

1. выборочное среднее величины x_i равно  2,25 млн. руб.;
2. «исправленное» среднее квадратическое отклонение величины x_i равно 1,514млн. руб.;
3. «исправленная» выборочная дисперсия величины x_i равна 2,29;
4. выборочное среднее величины y_i равно 36,63 тыс. ед.;
5. «исправленное» среднее квадратическое отклонение величины y_i равно 1,72 тыс. ед.;
6. «исправленная» выборочная дисперсия величины y_i равна 2,97.

Результаты  регрессионного анализа представлены в таблице 3 и на рис.1

Таблица 3

Рис. 1. Результаты регрессионного анализа: график остатков, график подбора, график нормального  распределения.

По данным таблицы 3 находим, что:

1. линейное уравнение парной регрессии будет определяться по формуле  ỹ = 0,83 x_i + 38,5;
2. для коэффициента регрессии а = 0,83 величина t – критерия равна 2,99, а его уровень значимости составляет 0,017, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
3. для коэффициента регрессии b = 38,5 величина t – критерия равна 52,2, а его уровень значимости составляет 2,01Е-11, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
4. для построения уравнения регрессии величина F – критерия равна 8,971, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 0,017, что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.
5. Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,727; так как коэффициент корреляции положителен и близок к единице, то между показателями x_i и y_i существует очень тесная прямая связь;
6. Прогнозное значение количества продаж определим по регрессионному уравнению y = 0,83 x_i + 38,5, подставив в него планируемую величину расходов на рекламу 5 млн. руб.:

y_пр = 0,83·5+38,5≈42,65 (тыс ед)

Задание 2

Имеются данные о доли расходов на товары длительного  пользования y_i от среднемесячного дохода семьи x_i . Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер ỹ = a / x + b. Необходимо:

1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии ỹ= a / x + b.
2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью p = 0,95 проверить его значимость.

Таблица 4

y_i - это процент расходов на товары длительного пользования;

x_i – это доход семьи, тыс.руб. на 1 чел.

Произведем  линеаризацию модели путем замены х = 1/х_i.

С помощью  табличного процессора Excel находим:

Результаты  соответствующих показателей для  каждого признака представлены в  таблице 5.

Таблица 5

Результаты  регрессионного анализа представлены в таблице 6 и на рис. 2

Таблица 6

Рис.2.  Результаты регрессионного анализа: график остатков, график подбора, график нормального  распределения.

По данным таблицы 6 находим, что:

1. линеаризованное уравнение регрессии будет определяться по формуле ỹ = 24,7+-0,89 х;
2. для коэффициента регрессии а=-0,89 величина t – критерия равна -3,69, а его уровень значимости составляет 0,0068, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
3. для коэффициента регрессии b=24,7 величина t – критерия равна 22,29, а его уровень значимости составляет 1,73Е-0,8,  т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
4. для построенного уравнения регрессии величина F – критерия равна 13,07, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 0,0068, что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.
5. индекс корреляции равен 0,787; так как коэффициент индекс корреляции близок к единице, то между показателями x_i и y_i существует очень тесная прямая связь.

Задание 3

Исследуя  зависимость месячного расхода  семьи на продукты питания z_i , тыс.руб. от месячного дохода на одного члена семьи x_i тыс.руб. и от размера семьи y_i , чел. Необходимо:

1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ẑ = ax +by +c.
2. Найти парные коэффициенты корреляции r_xy, r_xz, r_yz.
3. С доверительной вероятностью p = 0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.
4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью p = 0,95  его статистическую значимость.

Таблица 7

z_i – это месячный расход семьи на продукты питания, тыс.руб.;

x_i – это месячный доход на одного члена семьи, тыс.руб.;

  y_i - это размер семьи, чел.

С помощью  табличного процессора Excel находим:

Результаты  соответствующих показателей для  каждого признака представлены в  таблице 8.

Таблица 8

Результаты  регрессионного анализа представлены в таблице 9 и на рис.3

Рис.3. Результаты регрессивного анализа: графики  остатков, графики подбора, график нормального  распределения.

По данным таблицы 9 находим, что:

1. уравнение множественной линейной регрессии определяется по формуле y = -0,86+-0,34 ·х1+1,49·х2

или в старых обозначениях – 

z = -0.86+-0.34·х+1.49·у.

2. для коэффициента регрессии с=-0.86 величина t-критерия равна -3.52, а его уровень значимости составляет 0.004, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
3. для коэффициента регрессии а=-0.33 величина t-критерия равна -5.32, а его уровень значимости составляет 0.0001, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
4. для коэффициента регрессии b=1.49 величина t-критерия равна 24.5, а его уровень значимости составляет 1.25E-11, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
5. для построенного уравнения регрессии величина F-критерия равна 308.7, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 4.8Е-11, что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.
6. индекс множественной корреляции равен 0,990423.

Результаты  корреляционного анализа представлены в таблице 10, которая представляет собой матрицу парных коэффициентов  корреляции.

Таблица 10