Эконометрика. 18

р1= 7, р2= 10

Вопрос 1. Задача №2. По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х1 (от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2(%).

Таблица 1

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации.
5. С помощью t-статистики Стьюдента оценить значимость коэффициентов чистой регрессии.
6. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после.
7. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
8. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение. 

      По  исходным данным вычислим параметры  множественной линейной регрессии, расчеты оформим в виде таблицы. 

Таблица 2

Параметры a и b₁, b₂ определяются из соотношений:

     a=1,590, b₁= 0,928, b₂= 0,096.

     Уравнение линейной регрессии имеет вид у_регр =1,590+0,928х₁ +0,096x₂

      , ,

      , ,

      , .

     Найдем  стандартизированные коэффициенты:

      =0,715, .

     Получим уравнение: .

     Вычислим  средние коэффициенты эластичности:

      , .

     С увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1% от его среднего значения выработка продукции на одного рабочего составляет 0,610% от своего среднего значения, при повышении удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% выработка продукции на одного рабочего составляет 0,224% от своего среднего значения. Очевидно, что сила влияния ввода в действие новых основных фондов на выработку продукции на одного рабочего оказалось большей, чем сила влияния удельного веса рабочих высокой квалификации. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей коэффициентов , : .

     Парные  коэффициенты корреляции определяются по формулам:

     Частные коэффициенты корреляции определяются по формулам:

     Коэффициент множественной корреляции:

     Матрица парных коэффициентов корреляции:

     Из  матрицы видно, что в соответствии со шкалой Чеддока связь между у и , у и можно оценить как высокую, между и связь тоже высокая. Таким образом, по построенной модели можно сделать вывод о присутствии в ней мультиколлинеарности факторов, то есть их тесной линейной зависимости.

     Частные коэффициенты корреляции рассчитывались как оценки вклада во множественной  коэффициент корреляции каждого  из факторов ( и ). Они характеризуют влияние на у фактора при неизменном уровне другого.

     Причина различий между значениями частных  и парных коэффициентов корреляции состоит в том, что частный  коэффициент отражает долю вариации результативного признака, дополнительно объясняемой при включении фактора (или ) после другого фактора (или ) в уравнение регрессии, не объяснимой ранее включенным фактором (или ).

     Коэффициент множественной детерминации оценивает  в целом качество построенной  модели:

     Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле: .

     Общий F-критерий Фишера проверяет гипотезу Н₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

      F_фак= .

      Найдем  табличное значение параметра при уровне значимости α=0,05.

      F_табл= 3,59.

     Сравнивая F_фак и F_табл , приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Н₀ . С вероятностью 95% делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов и .

     Частные F-критерии оценивают статистическую значимость присутствия факторов и в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после того, как в него был включен другой фактор.

       .

      .

     По  вычисленным данным приходим к выводу о целесообразности включения в  модель фактора после фактора , так как . Низкое значение свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора после фактора . Это означает, что парная регрессионная модель зависимости выработки продукции на одного работника от ввода в действие новых основных фондов является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих).

     С помощью t-статистики Стьюдента оценим значимость коэффициентов чистой регрессии: , .

     t_табл для числа степеней свободы n-2-1=17 и α=0,05 составит 2,10.

     Сравнивая полученные значения приходим к выводу, что коэффициент регрессии является статистически значимым, надежным, на него можно опираться при анализе и прогнозе ( ). Так как , приходим к заключению, что величина является статистически незначимой, ненадежной. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния фактора на у и ненадежность влияния .

     Составим  уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь фактор .

      Линейная  зависимость выражается уравнением:

     По  исходным данным вычислим параметры  линейной модели регрессии, расчеты оформим в виде таблицы.

Таблица 3

      Параметры линейной регрессии вычислим по формулам:

       .

       .

      Уравнение регрессии имеет вид:

     Проверим вычисления в MS Excel с помощью функции ЛИНЕЙН

Множественная регрессия:  

Парная  регрессия:   

Задача  № 1. По территориям региона приводятся данные за 199Х г.

Таблица 4

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у по х.
2. Рассчитать линейные коэффициенты парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-статистики Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.
7. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение.

      Линейная  зависимость выражается уравнением:

      По  исходным данным вычислим параметры  линейной модели регрессии, расчеты оформим в виде таблицы. Для вычисления среднего значения итоговые данные разделим на 12.

Таблица 5

      Параметры линейной регрессии вычислим по формулам:

       .

       .

      Уравнение регрессии имеет вид:

      Рассчитаем  линейный коэффициент парной корреляции:

       .

       .

      Связь сильная, прямая.

      Вычислим  коэффициент детерминации R²_ух= .

      Вариация  результата у на 67,9 % объясняется вариацией фактора х.

Таблица 6

      Проверим  качество синтезированной трендовой модели, используя среднюю ошибку аппроксимации (расчеты в таблице 6).

      Величина  средней ошибки аппроксимации составляет , что в пределах нормы.

      Оценим  линейную модель через F-критерий Фишера.

      F_фак= .

      Найдем  табличное значение параметра при уровне значимости α=0,05.

      F_табл= 4,96.

      Так как F_табл<F_фак, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

      Оценим  статистическую значимость параметров линейной регрессии и корреляции с помощью t-статистики Стьюдента.

      Выдвигаем гипотезу Н₀ о статически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=r_xy=0. t_табл для числа степеней свободы n-2=12-2=10 и α=0,05 составит 2,23.

      Определим случайные ошибки m_a, m_b, m_r.:

      m_a=

      m_b =

      m_r =

      Тогда t_а =

      t_b =

      t_r=

      Так как t_табл< t_a < t_b= t_r, то гипотеза Н₀ о статически незначимом отличии показателей a, b, r_xy от нуля отклоняется.

      Выполним  прогноз заработной платы при  прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня: .

Вычислим  прогноз заработной платы :

Стандартная ошибка прогноза

.