Содержание: 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Регрессионный анализ: понятие, задачи, основные цели……………3

2. Прогнозирование, основанное на использовании  моделей временных  рядов…………………………………………………………………………5

     3.Задача№1…………………………………………………………………….8 

     4.Задача№2……………………………………………………………………25 

     5.Список используемой литературы………………………………………42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Регрессионный  анализ: понятие,  задачи, основные  цели. 

Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости  между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X1,X2,...,Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения. Цели регрессионного анализа

Определение степени  детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)

Предсказание  значения зависимой переменной с  помощью независимой(-ых)

Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения  наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи  и есть предпосылка для применения анализа.

Регрессионным анализом называется определение аналитического выражения связи между исследуемыми переменными, в котором изменение  результативной переменной происходит под влиянием факторной переменной.

Модель регрессии  или уравнение регрессии позволяет  количественно оценить взаимосвязь  между исследуемыми переменными.

Предположим, что  имеется набор значений двух переменных: yi (результативная переменная) и xi (факторная переменная). Между этими переменными существует зависимость вида: y = f (x).

Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы  по данным наблюдений определить такую  функцию ỹ = f (x), которая наилучшим образом описывала исследуемую зависимость между переменными.

Для определения  аналитической формы зависимости  между исследуемыми переменными  применяются следующие методы:

1) графический  метод или визуальная оценка  характера связи. В этом случае  на линейном графике по оси  абсцисс откладываются значения  факторной переменной х, а по  оси ординат – значения результативной  переменной у. Затем на пересечении  соответствующих значений отмечаются  точки. Полученный точечный график  в системе координат (х, у)  называется корреляционным полем.  Линия, которая соединяет точки  на графике, называется эмпирической  линией. По её виду можно судить  не только о наличии, но и  о форме зависимости между  изучаемыми переменными;

2) на основе  теоретического и логического  анализа природы изучаемых явлений,  их социально-экономической сущности;

3) определение  аналитической формы зависимости  между переменными экспериментальным  путём.

При исследовании зависимости между двумя переменными  чаще всего используется линейная форма  связи. Это связано с двумя  обстоятельствами:

1) чёткая экономическая  интерпретация параметров линейной  модели регрессии;

2) в большинстве  случаев нелинейные модели регрессии  преобразуются к линейному виду.

Общий вид модели парной регрессии зависимости переменной у от переменной х: 

yi=β0+β1xi+εi,

где yi– результативные переменные,

xi– факторные переменные,

β0, β1 – параметры модели регрессии, подлежащие оцениванию;

εi – случайная ошибка модели регрессии. Данная величина является случайной, она характеризует отклонения реальных значений результативных переменных от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Присутствие случайной  ошибки в модели регрессии порождено  следующими источниками:

1) нерепрезентативность  выборки. Модель парной регрессии  в большинстве случаев является  большим упрощением истинной  зависимости между переменными,  потому что в модель входит  только одна факторная переменная, не способная полностью объяснить  вариацию результативной переменной. При этом результативная переменная  может быть подвержена влиянию  множества других факторных переменных  в гораздо большей степени;

2) ошибки, возникающие  при измерении данных;

3) неправильная  функциональная спецификация модели.

Коэффициент β1, входящий в модельпарной регрессии, называется коэффициентом регрессии. Он характеризует, на сколько в среднем изменится результативная переменная у при условии изменения факторной переменной х на единицу своего измерения. Знак коэффициента регрессии указывает на направление связи между переменными:

1) если β1›0, то связь между изучаемыми переменными (с уменьшением факторной переменной х уменьшается и результативная переменная у, и наоборот);

2) если β1‹0, то связь между изучаемыми переменными (с увеличением факторной переменной х результативная переменная у уменьшается, и наоборот).

Коэффициент β0, входящий в модель парной регрессии, трактуется как среднее значение результативной переменной у при условии, что факторная переменная х равна нулю. Но если факторная переменная не имеет и не может иметь нулевого значения, то подобная трактовка коэффициента β0 не имеет смысла.

Общий вид модели парной регрессии в матричном  виде: 

Y= X* β+ ε, Где

– случайный  вектор-столбец значений результативной переменной размерности n x 1;

– матрица значений факторной переменной размерности  n x 2. Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;

– вектор-столбец  неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности 2 x 1

– случайный  вектор-столбец ошибок модели регрессии  размерности n x 1.

2. Прогнозирование,  основанное на  использовании моделей  временных рядов.

    Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования  является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик  изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.

    В основе процедуры адаптации лежит  метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования  анализируется результат: насколько  он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью  происходит корректировка. После этого  процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно  с получением каждой новой фактической  точки ряда.

    Методы  экспоненциального  сглаживания. Модель Брауна.

    Пусть анализируемый временной ряд  x(t)  представлен в виде:

x(t) = a₀ + ε(t),

где  a₀ – неизвестный параметр, не зависящий от времени, ε(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.

    В соответствии с методом Брауна прогноз  x*(t+τ) для неизвестного значения  x(t+τ) по известной до момента времени t  траектории ряда  x(t)  строится по формуле:

x*(t; τ) = S(t),

где значение экспоненциально взвешенной скользящей средней  S(t)  определяется по рекуррентной формуле:

S(t)= αx(t) + (1-α) S(t-1).

    Коэффициент сглаживания α  можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы следует, что экспоненциально взвешенная скользящая средняя является взвешенной суммой всех уровней ряда  x(t), причем веса уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое.

    В качестве  S(0) берется, как правило, среднее значение ряда динамики или среднее значение нескольких начальных уровней ряда.

    Случай  линейного тренда:  x(t) = a₀ + a₁t + ε(t).

    В этом случае прогноз x*(t; τ) будущего значения определяется соотношением:

x*(t; τ) =

а пересчет коэффициентов  осуществляется по формулам:

    Начальные значения коэффициентов берутся  из оценки тренда линейной функцией.

    Модель  Хольта.

    В модели Хольта введено два параметра  сглаживания  α₁  и α ₂ (0< α ₁, α ₂ <1). Прогноз x*(t;l)  на  l  шагов по времени определяется формулой:

x*(t; τ) =

а пересчет коэффициентов  осуществляется по формулам:

    Модель  Хольта-Уинтерса.

    Эта модель помимо линейного тренда учитывает  и сезонную составляющую. Прогноз  x*(t;τ)  на  τ  шагов по времени определяется формулой:

x*(t;τ) =

где f(t) – коэффициент сезонности, а T – число временных тактов (фаз), содержащихся в полном сезонном цикле.

    Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно. Формулы обновления коэффициентов имеют вид:

    Модель  Тейла-Вейджа.

    Если  исследуемый временной ряд имеет  экспоненциальную тенденцию с мульти-пликативной  сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.

    Имеется модель:

x(t) = a₀(t) + g(t) + δ(t),

a₀(t) = a₀(t-1) + a₁(t).

Здесь a₀(t) – уровень процесса после устранения сезонных колебаний, a₁(t) – аддитивный коэффициент роста, ω(t) – аддитивный коэффициент сезонности и δ(t) – белый шум.

    Прогноз x*(t;τ)  на  τ  шагов по времени определяется формулой:

x*(t;τ) =

    Коэффициенты  вычисляются рекуррентным способом по формулам:

    Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные  наборы их значений и сравнивают получающиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов. 
 
 

Задача 1.

В табл. 1 приведены данные о личных потребительских расходах и располагаемом личном доходе населения США (млрд. дол., в ценах 1972 г.) за период с 1959 г. по 1983 г.

а) Постройте уравнение для функции спроса (Y) на данный товар или вид услуг в зависимости от располагаемого личного дохода (X). Постройте таблицу дисперсионного анализа. Вычислите коэффициент детерминации R².

Проверьте регрессию на значимость с помощью  F-теста (α = 0,05 - критерий значимости). Вычислите 95% доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов в этом уравнении. Изобразите диаграмму рассеяния и прямую регрессии.

б) Постройте линейный временной тренд для функции спроса.

в) Рассмотрите функцию спроса (Y) как функцию двух переменных: располагаемого дохода (X) и реальной цены на товар или вид услуг (P). (Реальная цена вычисляется по формуле  
P = (Z / L) ∙ 100%). (Z, L см. табл. 1).

Постройте уравнение множественной регрессии  Y на X и P. С помощью МНК оцените коэффициенты в этом уравнении (замените Y, X и P на их логарифмы).

Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов  в уравнении. Вычислите коэффициенты эластичности функции спроса. Интерпретируйте  эти коэффициенты.

Таблица 1

Исходные  данные о личных потребительских  расходах и располагаемом личном доходе

Решение

а) Постройте уравнение для функции спроса (Y) на данный товар или вид услуг в зависимости от располагаемого личного дохода (X). Постройте таблицу дисперсионного анализа. Вычислите коэффициент детерминации R².

Проверьте регрессию на значимость с помощью  F-теста (α = 0,05 - критерий значимости). Вычислите 95% доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов в этом уравнении. Изобразите диаграмму рассеяния и прямую регрессии. 

Идентифицируем  переменные: x - независимая переменная (фактор) y - зависимая переменная (показатель).

Пусть эконометрическая модель специфицирована в линейной форме:

y = ax + b + u

где a, b - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод  наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29]. 
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестной переменной - переменную x:

где n - количество наблюдений.

Построим вспомогательную  таблицу 1.

Табл. 1.

 
Получим систему уравнений:

Решение системы  найдем по формулам Крамера [ГЕТ, с.30]:

где Δ - главный определитель системы.

Следовательно, уравнение линейной модели имеет  вид:

y = 4,8705 + 0,0220x.

Это значит, что  при увеличении или уменьшении значения фактора на 1 у.е. показатель увеличивается или уменьшается на 0,022 у.е., то есть между эконометрическими параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 4,8705 указывает значение показателя при нулевом значении фактора. Он имеет лишь расчетное значение, поскольку такой случай невозможен в реальной экономической ситуации.  

Для проведения исследования модели построим вспомогательную  таблицу 2.

Табл. 2.

 
Оценим параметры модели альтернативным способом:

Линейное уравнение  регрессии аналогично: y_x = 0,022x + 4,8705.  

Вычислим для  зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:

Суммы квадратов  связанные с определенным источником вариации, а также со степенями  свободы и средними квадратами. Сведем их всех в таблице, которая называется базовой таблицей дисперсионного анализа - ANOVA-таблицей [ЛУК, с. 61].

Построим ANOVA-таблицу о зависимости между показателем и фактором:

Определим коэффициенты детерминации R² и корреляции r [ЛУК, c. 57]:

Этот результат  значит, что 88,48% вариации результативного  признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 11,52% приходится на другие факторы.

Поскольку 0,7 < r < 1, то между факторным и результативным признаком корреляционная связь сильная.  

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, 
который вычисляется по формуле:

Поскольку табличное  значение F_{(0,05; 1; 23)} = 4,28 и |F| > F_таб, то делаем вывод об адекватности эконометрической модели.  

Оценим статистическую значимость параметров регрессии.

Табличное значение t-критерия Стьюдента при заданном уровне значимости 0,95 и n - 2 = 23 степенях свободы равно 2,07.

Найдем матрицу  погрешностей C^-1, обратную к матрице системы уравнений:

Δ = |C| = 27819739,74,

Определим стандартные  погрешности оценок параметров модели, учитывая дисперсию остатков:

где

Рассчитаем  t-критерий Стьюдента для каждого из коэффициентов

Поскольку t_m = 2,07 и это значение больше t-критериев для каждого из коэффициентов, то делаем вывод об их статистической значимости.  

Определим интервалы  доверия для параметров регрессии [ЕЛИ, с. 57].

Для расчета  доверительного интервала определяем предельную погрешность для каждого  коэффициента:

Δ_a = t_таб.m_a = 2,0690 · 0,0017 = 0,0034,

Δ_b = t_таб.m_b = 2,0690 · 1,3167 = 2,7242,

Следовательно, экстремальные значения для каждого  коэффициента следующие:

min a = a - Δ_a = 0,0220 - 0,0034 = 0,0186, max a = a + Δ_a = 0,0220 + 0,0034 = 0,0254,  
min b = b - Δ_b = 4,8705 - 2,7242 = 2,1463, max b = b + Δ_b = 4,8705 + 2,7242 = 7,5947.

Таким образом, доверительные интервалы для  коэффициентов регрессии следующие:

a Î (0,0186; 0,0254),

b Î (2,1463; 7,5947).   
Изобразим диаграмму рассеяния и прямую регрессии.

б) Постройте линейный временной тренд для функции спроса.

Идентифицируем  переменные: t - независимая временная переменная (фактор), y - зависимая переменная (показатель). Пусть модель специфицирована в линейной форме:

y = at + b + u,

где a, b - параметры модели, u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод  наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29]. 
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестную переменную - переменную t: