Эконометрика. 12

ЭКОНОМЕТРИКА 

ВАРИАНТ 6

Последние цифры  номера зачетной книжки 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание:

     1) Построить поле корреляции.

     2) Рассчитать параметры парных  регрессий (линейной, показательной,  степенной, логарифмической) в  виде многочленов второй и третьей степени. Построить графики.

     3) Провести оценку гетероскедастичности  моделей, используя тесты Спирмана  и Голдфельда-Квандта.

     4) Оценить тесноту связи с помощью  показателей корреляции и детерминации (для линейной, показательной, степенной регрессий). Оценить среднюю ошибку аппроксимации для многочленов второй и третьей степени.

     5) Оценить статистическую надежность  результатов регрессионного моделирования  с помощью F-критерия Фишера  и t-критерия Стьюдента при  уровнях значимости 1 %, 5 %. Выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.

     6) Рассчитать прогнозное значение  результата, если прогнозное значение  фактора увеличится на N % от его  среднего уровня (N – номер варианта). Определить доверительный интервал  прогноза для уровней значимости 1 %, 5 %. В каком случае интервал уже и почему?

     7) Сравнить полученные результаты  со значениями, вычисленными с  помощью специальных функций  и приложений Microsoft Excel.

     8) Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке. 

1 Поле  корреляции 

В соответствии с условием задачи средний размер пенсий будет результативным признаком (у), а прожиточный минимум  факторным признаком. 

Отсортируем исходные данные по возрастанию факторного признака:

Построим  поле корреляции

2 Параметры уравнений парных регрессий

Составим уравнение линейной регрессии.

Найдем коэффициенты регрессии по формулам:

;  

Построим  таблицу для вычисления коэффициентов  регрессии:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:  

Дадим экономическую интерпретацию полученным результатам. На основании коэффициента регрессии можно сделать вывод: при увеличении прожиточного минимума на 1 рубль, средний размер пенсий увеличивается в среднем на 0,9246 рубля. По полученному значению коэффициента делаем вывод, что при нулевом уровне прожиточного минимума ( ) прогнозируемое значение среднего размера пенсий равно 1891,491 рублей. При увеличении прожиточного минимума возрастает средний размер пенсий. 

График  линейной зависимости:

Составим уравнение  логарифмической регрессии.

Уравнение логарифмической регрессии представлено следующим уравнением:

Значения  параметров логарифмической регрессии определяются по формулам:

Расчетные значения параметров:

Параметры уравнения регрессии:

Уравнение логарифмической регрессии:

С экономической  точки зрения результаты можно объяснить  следующим образом. По полученному значению коэффициента делаем вывод, что средний размер пенсий в среднем изменится на 4249,54 рублей при увеличении прожиточного минимума на  1 рубль. По полученному значению делаем вывод, что при нулевом уровне прожиточного минимума ( ) прогнозируемое значение среднего размера пенсий равно -29679,43 рублей. 
 
 

График  логарифмической зависимости:

Составим уравнение  показательной регрессии

Уравнение показательной регрессии выглядит следующим образом:   . Данное уравнение нормализуется и приводится к виду .

Произведем замену , , . Уравнение принимает вид:

, т.е. обычное линейное уравнение.

Относительно  новых параметров имеем следующую  систему уравнений:

Расчетные значения параметров:

Параметры уравнения регрессии:

Уравнение показательной регрессии:

График  показательного уравнения регрессии:

Составим уравнение  степенной регрессии.

Уравнение степенной  регрессии имеет вид: , после логарифмирования уравнения и замены уравнение принимает следующий вид:  . Запишем коэффициенты для уравнения степенной регрессии, путем следующей замены: . Получаем формулы:

Расчетные значения параметров:

Параметры уравнения  степенной регрессии:

Уравнение степенной  регрессии:

График  степенного уравнения регрессии:

В степенных  функциях коэффициент регрессии  имеет экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности. Это означает, что величина коэффициента показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор измениться на 1 %. В данном случае, с увеличением прожиточного минимума на 1 %, средний размер пенсий возрастет в среднем на 0,675 %. 

Составим уравнение  регрессии в виде многочлена второй степени.

Уравнение регрессии  имеет вид: . Для определения коэффициентов используются формулы:  

Рассчитаем значения параметров уравнения:

Уравнение регрессии  в виде многочлена второй степени  имеет вид 

Расчетные значения параметров: 

Построим график полученного уравнения регрессии:

Составим уравнение регрессии в виде многочлена третьей степени.

Уравнение регрессии  имеет вид: . Для определения коэффициентов используются формулы:

 Рассчитаем значения параметров уравнения:

Уравнение регрессии  в виде многочлена третьей степени имеет вид

Построим график полученного уравнения регрессии: 

3 Оценка гетероскедастичности 

Проверим все  полученные уравнения регрессии  на гетероскедастичность с помощью  теста ранговой корреляции Спирмена при  

Оценка гетероскедастичности линейного уравнения регрессии  методом Спирмена 

Вычисляем коэффициент  ранговой корреляции по формуле:

Вычисляем тестовую статистику по формуле:

Значение  при и числе степеней свободы, равном составляет 1,96.

Так как  , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности подтверждается. 

Оценка гетероскедастичности логарифмического уравнения регрессии методом Спирмена

Вычисляем коэффициент  ранговой корреляции по формуле:

Вычисляем тестовую статистику по формуле:

Значение  при и числе степеней свободы, равном составляет 1,96.

Так как  , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности подтверждается. 
 
 

Оценка гетероскедастичности показательного уравнения регрессии методом Спирмена