Эконометрика и экономико-математические методы и модели

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по  дисциплине: «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» 

Вариант №28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                    Выполнил: ст. гр.417548

                                                                                    Шило П.И 
 
 

                                                                   Проверил: Голиков В.Ф. 
 
 

Минск 2011

Содержание

1. Задача 1 (симплекс-метод)…………………………………..3

2. Задача 2 (методом  потенциалов)…………………………………..6
3. Задача 3 (методом наименьших квадратов)………………………9
4. Список использованных источников……………………………..11

Задача 1 (симплекс-метод)

       На предприятии выпускают n видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы P₁,P₂ и P₃.  Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами  b₁, b₂ и b₃. Расход ресурса i-го (i = 1, 2, 3) вида на единицу продукции j-го вида составляет a_ij ден. ед. Цена единицы продукции j-го вида равна c_j ден. ед.

     Требуется:

     - составить экономико-математическую  модель задачи, позволяющую найти сбалансированный план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход;

     - найти оптимальный план выпуска  продукции по видам (дать содержательный  ответ, раскрыв экономический  смысл всех переменных, приведенных в решении задачи);

     Решение.

     Обозначим План выпуска х₁ , х₂, х₃, х₄

     Модель  процесса

      2х₁+х₂+3х₃+1,5х₄ ≤ 280        x₁≥0  , x₂≥0,  x₃≥0, x₄≥0

      4x₁+10x₂+4x₃+х₄ ≤ 80

       x₁+2x₂+x₃+х₄ ≤ 250

     Функция дохода max Z= 4х₁+3x₂+6x₃+7х₄

     Расчет  выполним процедурой «Поиск решения.

     На  рабочем листе создадим схему  решения.

     Выполним  поиск решения.

     Условия поиска

     Цель  ячейка G5

     Изменяемые  ячейки : План

     Ограничения: План больше нуля

     Расход  меньше запаса.

     Результат поиска

     Значение  функции цели равно  560

     Необходимо  выпускать продукцию  x₄ -80 ед. ресурс р₂ израсходован полностью, р₁ и р₃ недоиспользованы. 

     Двойственная  задача

     2у₁+4у₂+у₃≥4

     у₁+10у₂+2у₃≥3

     3у₁+4у₂+у₃≥6 

     1,5у₁+у₂+у₃≥7                  у₁,у₂,у₃≥0

     Функция цели min U=280у₁+80у₂+250у₃

     Составим  схему расчета

     Выполним  поиск

     Параметры поиска:

     Цель: F15

     Минимум

     Себестоимость ≥ цена

     План  расхода  ≥ 0

     Результат поиска

     План  расхода ресурсов (0, 7, 0) соответственно, значение целевой ячейки  560

Задачи 2 (методом  потенциалов)

     В пункте А_i (i  =  1,2,3) находится однородная продукция в количестве a_i единиц. Себестоимость единицы продукции в пункте А_i равна c_i . Готовая продукция поставляется в пункт В_j (j = 1,2,3,4),  потребности которого составляют b_j единиц. Стоимость с_ij перевозки единицы продукции из пункта A_i в пункт B_j известна. Требуется:

• составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую найти план перевозки готовой продукции из пункта А_i производства в пункт В_; потребления при полном удовлетворении спроса на продукцию в этих пунктах, обеспечивающего минимальные суммарные затраты, вызванные производством и доставкой продукции;
• найти оптимальный план перевозки продукции при дополнительном условии, что продукция пункта А_k, в котором себестоимость ее производства наименьшая, должна быть распределена полностью;
• вычислить величину f_min минимальных суммарных затрат на производство и доставку продукции;
• назвать пункты, в которых остается нераспределенная продукция, и указать объемы такой продукции.

     Решение.

     Проверим  сбалансированность

     140+180+240=560

     80+160+120+180=540

     Дисбаланс 560-540=20

     Наличие превышает спрос

     Модель 

     Min

     При ограничениях

     Введем  исходные данные с  учетом дисбалланса

     Составим  расчетную схему

     Сформируем  начальную матрицу  планов Хij

     Выполним  суммирование по строкам и столицам

     Сформируем  целевую ячейку в которую вставим  функцию СУММА ПРОИЗ

     Зададим параметры  поиска

     Цель  В13

     Минимум

     Изменяемые  ячейки В8:F10

     Ограничения В11: F11= В1:F1

     G8:G10=А2:А4

     В8:F10≥0

     Результат поиска

     В первый магазин доставлено  с третьего склада 80

     Во  второй магазин доставлено со второго и 160

     В третий магазин доставлено 20 ед. со второго и 100 ед. с третьего.

     В четвертый доставлено 140 ед. с первого склада и 40 с третьего.

     На  третьем складе осталось 20 неиспользованных единиц продукции.

     Затраты на перевозку равны  2560.

Задачи 3.

     Предприятие потребляет некоторый ресурс  X (един.в месяц) и выпускает продукцию, которую продает и получает доход Y (денежных един. в месяц).

     Этот  процесс продолжается в течении 10 месяцев. Значения  X  и  Y приведены  в таблице 3. Необходимо построить  линейную  модель зависимости  Y от X  методом наименьших квадратов. Решение проиллюстрировать графически. Сделать выводы экономического характера с использованием  полученной модели.

     Решение.

     В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму                      

     где x_i,y_i – значения опытных данных;

     В случае линейной эмпирической формулы  сумма принимает вид                 

     Минимум функции S имеют в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль. В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений.

Получаем систему  уравнений для нашего случая:

Отсюда:

Графическая иллюстрация:

Учебная литература 

1. Кузнецов  А.В., Сакович В. А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. - Мн.: Вышэйшая школа, 1994.
2. Кузнецов А.В. Руководство по решению задач по математическому  программированию. -Мн.: Вышэйшая школа, 1978.
3. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972.
4. Альсевич В. В. Математическая экономика. Конструктивная теория.  - Мн.: ДизайнПРО, 1998.
5. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.
6. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.
7. Ашманов С. А. Линейное программирование. - М.: Наука, 1981.
8. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных  Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997.
9. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономических взаимодействия. - М.: Наука, 1993.

10. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели экономике. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.

10. Шелобаев С.И. Математические методы и  модели  в  экономике, финансах, бизнесе. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000