Эконометрика ВАРИАНТ 1

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра математики и информатики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант 1

г. ОМСК - 2012

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.)

Требуется:

1.      Найти параметры уравнений линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.      Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S2E; построить график остатков.

3.      Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.      Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t- критерия Стьюдента (α =0,05).

5.      Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α =0,05) , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.      Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α =0,1, если прогнозное значения фактора X составит 80 % от его максимального значения.

7.      Представить графически: фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8.      Составить уравнения нелинейной регрессии:

      гиперболической;

      степенной;

      показательной;

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9.      Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные

Решение

1. Найдем параметры уравнений линейной регрессии и дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Построим линейную модель

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной X

( Данные → Сортировка).

Таблица 2

Отсортированные данные

Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели.

Результаты вычислений представлены в таблицах 3-6.

Таблица 3

Таблица 4

Таблица 5

Таблица 6

Коэффициенты модели содержаться в таблице 5 (столбец коэффициенты).

Таким образом, модель построена, и ее уравнение имеет вид

Yт = (-15,7794)+2,193759х

Коэффициент регрессии b=2,19 показывает, что при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличится в среднем на 2,19 млн. руб.

Свободный член a=(-15,7794) в данном уравнении экономического смысла не имеет.

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки модели содержаться в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 6).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов     SSост =59,51306 и дисперсия остатков MSост =7,4391328 (таблица 4).

График остатков выводится автоматически программой РЕГРЕССИЯ (необходимо отметить это условие при использование программы).

Рисунок 1

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1)     В эконометрической модели слагаемое - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующего признака Y.

2)     Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

3)     Случайные составляющие в разных наблюдениях независимы           (некоррелированы).

4)     Распределение случайной составляющей является нормальным.

1)     Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков; р=5.

Вычислим критическое значение р по формуле

При n=10 найдем p кр = [2,97]=2.

Выводы:

Сравним р=5>ркр=2, следовательно, свойство случайности ряда остатков выполняется.

2)     Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически.

С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Голдфельда - Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных (n=10)  выделим первые 4 и последние 4 уровней, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ  построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов SS1=22,55385.

Таблица 7

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов SS2=11.

Таблица 8

Рассчитаем статистику критерия:

Критическое значение при уровне значимости α=5% и числах степеней свободы составляет Fкр=19.(Функция FРАСПОБР)

Выводы:

Сравним F=2,05< Fкр=19, следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, модель можно считать  гомоскедастичной.

3)     Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты (Таблица 4) SSост=∑Ei2 =59,51306

Таким образом,

При n=10 по таблице d-критерия d1=0,88 d2=1,32

Выводы:

Полученное значение d=1,71 попадает в интервал от d2 до 2, следовательно, свойство независимости остатков выполняется.

Проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков     , следовательно, .

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение и составляет для данной задачи .

Выводы:

Сравнение показывает, что |r(1)|=0,12 < rкр =0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4)     Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S-критерия.

С помощью функции МАКС и МИН для ряда остатков определим Emax=3,991, Emin=4,4586. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет Se =2,72 (таблица 3).

Тогда

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S при n=10 составляет (2,67;3,69).

3,098 принадлежит интервалу (2,67;3,69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения  остатков выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

4.      Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=5%)

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в      таблице 5. Для свободного коэффициента a=(-15,7794) определена статистика t(a) =  -2,69. Для коэффициента регрессии b=2,19376 определена статистика  t(b)=26,71.

Критическое значение tкр=2,31 найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы k=10-1-1=8 (функция СТЬЮДРАСПОБР).