Оглавление 
 
 

     Задание № 1

     По  данным, взятым из соответствующей  таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

     Решение

     Построим  поле корреляции.

     По  расположению эмпирических точек можно  предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными X и Y.

     Уравнение линейной регрессии имеет вид  ŷ = а + b * x.

     а= = 7,74     

       = 68,10

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = 7,74 + 68,10x.

     Коэффициент детерминации, как и коэффициент корреляции, можно рассматривать как меру качества уравнения регрессии. Чем ближе R² к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

     Определим линейный коэффициент парной корреляции:

     r_yx = = b * = 68,10 * 0,40 / 27,45 = 0,9923

     Коэффициент детерминации: R² = 0,9923² = 0,9847

     Вариация  y на 98,47% объясняется вариацией x.

     Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %.

     Э_хср = 68,10 * 0,89 / 68,349 = 0,87%

     С увеличением х на 1% y увеличится на 0,87%

     Средняя относительная ошибка:

       * 100% = 1 / 12 * 0,08 * 100% = 0,67%

     В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 0,67%.

     F_кр( ) = F_кр(0,05; 1; 10 ) = 4,75

     Формула F-критерия Фишера:

     F = R² * (n – 2) / (1 – R²) = 0,9847 * 10 / (1 - 0,9847) = 643,59.

     Т.к. F > F_кр , то уравнение и R²  значимы. 

     Уравнение степенной регрессии имеет вид  ŷ = а * х^b.

     Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: ln ŷ = ln a + b*ln x

     b= = 0,84

     lna= = 4,33

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: lny = exp(4,33) + 0,84lnx. Переходим к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии.

      ŷ = 75,94 * х^0,84

     Определим индекс корреляции:

     Коэффициент детерминации:

     R² = 1 - Σ(y-ŷ)² / Σ(y-y_ср)²= 1 – 815,37 / 9040,80 = 0,9098

     Вариация  y на 90,98% объясняется вариацией x.

     Э_хср=0,84%

     С увеличением х на 1% y увеличится на 0,84%.

     Средняя относительная ошибка:

      *100% = 1 / 12 * 0,97 * 100% = 8,08%

     В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 8,08%.

     F_кр( ) = F_кр(0,05; 1; 9 ) = 4,75

     Формула F-критерия Фишера:

     F = R² * (n – 2) / (1 – R²) = 0,9654 * 10 / (1 - 0,9654) = 2790,17

     Т.к. F > F_кр , то уравнение и R²  значимы. 

     Уравнение гиперболической функции имеет  вид: ŷ=а+b/x - линеаризуется при замене x=1/x.

      = -22,71

     a = = 103,51

     Уравнение гиперболической модели имеет вид: ŷ = 103,51 – 22,71/х.

     Индекс  корреляции:

     Коэффициент детерминации:

     R² = 1 - Σ(y-ŷ)² / Σ(y-y_ср)² = 1 – 2067,09 / 9040,80 = 0,7714

     Вариация  объема y на 77,14% объясняется вариацией x.

     Э_хср = 22,71 / (103,51 * 0,89 – 22,71) = 0,33%

     С увеличением х на 1% y увеличится на 0,33% 

Экспоненциальная регрессия

     Cоставим систему нормальных уравнений по МНК.

      индекс корреляции

      коэффициент детерминации

Полулогарифмическая регрессия

     Cоставим систему нормальных уравнений по МНК.

      - индекс корреляции

      коэффициент детерминации

Обратная  регрессия

     Cоставим систему нормальных уравнений по МНК.

      индекс корреляции

      коэффициент детерминации

     Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

     Оценим с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

     Если  то уравнение значимо

     F_кр( ) = F_кр(0,05; 1; 10 ) = 4,75

     Выводы: показатели детерминации почти для всех моделей являются значимыми. В линейной модели наибольшая зависимость между объясняющими и зависимой переменными, так как R² ближе всех остальных к единице (99,23%).

     Наибольшую силу связи фактора x с результатом y показывает коэффициент эластичности для обратной модели.

     Наименьшая ошибка аппроксимации является ошибка для степенной модели, следовательно, уравнение гиперболической модели имеет наилучшее качество.

     Задание № 2

     По  данным, взятым из соответствующей  таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.
4. Сделать вывод о силе связи результата и факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
8. Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (б=0,05; б=0,10).
9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

     Решение

     Система трех линейных уравнений с тремя  неизвестными b₀, b₁, b₂:

     ∑y_i = nb₀ + b₁∑x_1i + b₂∑x_2i

     ∑x_1iy_i = b₀∑x_1i + b₁∑x_1i² + b₂∑x_1ix_2i

     ∑x_2iy_i = b₀∑x_2i + b₁∑x_1ix_2i + b₂∑x_2i² 

     Для наших данных система уравнений  имеет вид:

     49,7 = 15b₀ + 602,1b₁ + 350,5b₂

     2141,61 = 602,1b₀ + 39715,17b₁ + 16920,85b₂

     1527,01 = 350,5b₀ + 16920,85b₁ + 14128,31b₂

     Решая систему методом Крамера, находим:

     b₀ = 1,93

     b₁ = -0,002

     b₂ = 0,0626

     Уравнение регрессии:

     Y = 1,93 – 0,002X₁ + 0,0626X₂

     Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак производится средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при измени фактора x_i на 1% от своего среднего значения:

     Частный коэффициент эластичности E₁ < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

     Частный коэффициент эластичности E₂ < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

     Стандартизированные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты) определяются из следующей системы  уравнений:

     r_yx1 = β₁ + β₂r_x2x1

     r_yx2 = β₁r_x2x1 + β₂

     Связь коэффициентов множественной регрессии b_i со стандартизированными коэффициентами β_i описывается соотношением:

     Параметр  α определяется следующим образом:

     Теснота связи результативного признака с факторными определятся величиной  коэффициента линейной множественной  корреляции и детерминации, который  могут быть исчислены на основе матрицы  парных коэффициентов корреляции:

     Более объективную оценку качества построенной  модели дает скорректированный индекс множественной детерминации, учитывающий  поправку на число степеней свободы:

     где  n- число наблюдений,

           m – число факторов.

     Рассчитаем  парные коэффициенты корреляции.

     Для y и x₁ средние значения:

     Дисперсия:

     Среднеквадратическое  отклонение:

     Коэффициент корреляции:

     Проверка  гипотезы H₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0) производится по F-критерию Фишера сравнением F_факт с F_табл.

     Проверка  значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится  как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

     Если  расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями  свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается  значимой.

     где m – число факторов в модели.

     Проведем  оценку статистической значимости парной линейной регрессии.

     Выдвигаем нулевую гипотезу о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

     Определим фактическое значение F-критерия:

     где m=2 для множественной регрессии с двумя факторами.

     Табличное значение определяется по таблицам распределения  Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число  степеней свободы для общей суммы  квадратов (большей дисперсии) равно 2 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2-1. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

     Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=2 и k₂=12, Fкр = 3,89

     Поскольку фактическое значение F < Fкр, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

     Рассчитаем  прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимального значения.

     Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

     (b_j - t_крит S_bj; b_j + t_крит S_bj)

     (1,93 – 2,179 * 0,64; 1,93 + 2,179 * 0.64)

     (0,53;3,34)

     С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра b₀ будут лежать в найденном интервале.

     (-0.002 – 2,179 * 0,0116; -0,002 + 2,179 * 0,0116)

     (-0,0273;0,0232)

     С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра b₁ будут лежать в найденном интервале.

     (0,0626 – 2,179 * 0,0187; 0,0626 + 2,179 * 0,0187)

     (0,0217;0.1)

     С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра b₂ будут лежать в найденном интервале. 
 

     Задание № 3

     По  данным, взятым из соответствующей  таблицы, выполнить следующие действия:

1. Определить коэффициенты автокорреляции разного порядка и выбрать величину лага.
2. Построить авторегрессионную функцию. Определить экономический смысл ее параметров.
3. Рассчитать прогнозные значения на три года вперед.