Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Эконометрика. Задача

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ –«НИНХ»

Номер группы

Наименование специальности: «финансы и кредит»

Студент:

Номер зачетной книжки (студенческого билета):

Учебная дисциплина: Эконометрика

Кафедра: Высшей математике

Номер варианта контрольной работы: 33

Дата регистрации институтом: «___»___________200___г.

Дата регистрации кафедрой: «___»___________200___г.

Проверил:

2011 г.

Задача 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах. Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

*Номер автомобиля, i***	*Цена (тыс.* *у.е.), y*_i	*Возраст (лет),* x_i1	*Мощность двигателя (л.с.), x***_i2
1	7,3	5,0	98
2	9,5	4,0	141
3	7,9	5,0	110
4	8,3	6,0	153
5	7,4	6,0	123
6	4,7	7,0	71
7	8,2	4,0	109
8	9,0	4,0	76
9	10,7	4,0	150
10	6,0	6,0	109
11	4,7	7,0	104
12	7,1	5,0	108
13	9,5	4,0	147
14	7,3	5,0	105
15	3,1	7,0	50
16	4,6	6,0	75

1. Парные зависимости

1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии: , .

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надёжностью 0,9.

1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,9.

1.5. Построить доверительные полосы надёжности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость.

2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9.

2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация.

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение

1. Парные зависимости

1.1. Построим поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂.

Рисунок 1. Поле рассеяния (возраст-цена).

Рисунок 2. Поле рассеяния (мощность-цена).

На основе визуального анализа выдвигаем гипотезы о линейной статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записываем их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найдём оценки линейных уравнений регрессии:

, .

Оценки параметров можно получить по формулам.

Составим расчётную таблицу.

Таблица 2.

i	y_i	y_i²	x_i1	x_i1²	x_i1 *∙ y*_i	x_i2	x_i2²	x_i2 *∙ y*_i
1	7,3	53,29	5	25	36,5	98	9604	715,4
2	9,5	90,25	4	16	38,0	141	19881	1339,5
3	7,9	62,41	5	25	39,5	110	12100	869,0
4	8,3	68,89	6	36	49,8	153	23409	1269,9
5	7,4	54,76	6	36	44,4	123	15129	910,2
6	4,7	22,09	7	49	32,9	71	5041	333,7
7	8,2	67,24	4	16	32,8	109	11881	893,8
8	9,0	81,0	4	16	36,0	76	5776	684,0
9	10,7	114,49	4	16	42,8	150	22500	1605,0
10	6,0	36,0	6	36	36,0	109	11881	654
11	4,7	22,09	7	49	32,9	104	10816	488,8
12	7,1	50,41	5	25	35,5	108	11664	766,8
13	9,5	90,25	4	16	38,0	147	21609	1396,5
14	7,3	53,29	5	25	18,5	105	11025	766,5
15	3,1	9,61	7	49	21,7	50	2500	155
16	4,6	21,16	6	36	27,6	75	5625	345
Сумма	115,3	897,24	85	471	562,9	1729	200441	13193,1
Среднее	7,21	56,08	5,31	29,43	35,18	108,06	12527,6	824,57

Следовательно,

- зависимость цены от возраста.

- зависимость цены от мощности.

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надёжностью 0,9.

Коэффициент парной корреляции определяем по формуле.

1) Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля.

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции

Не существует линейная зависимость между Х₁и У, т.к. -1≤ r_x,y ≤ 1 – не выполняется.

2) Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и мощностью двигателя.

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции

Проверим значимость коэффициента корреляции с надёжностью 0,9.

Проверка осуществляется по формуле:

1) В нашем случае для второго коэффициента

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между х₂ и у.

1.4. Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,9.

Проверим с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости):

Рассчитаем коэффициенты детерминации для зависимости y от x₂:

т.е. вариация цены на 59% объясняется мощностью автомобиля.

Рассчитаем фактическое значение F – статистики Фишера по формуле:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t(0,1; 1; 14)=3,1.

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то гипотеза Н₀ отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Проверим статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

Для зависимости y от x₂ получаем: . Т.к. это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента β₁ отвергаем.

1.5. Построим доверительные полосы надёжности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразим графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

Доверительные интервалы среднего значения цены для рассчитываем по формуле.

где - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке; - значение независимой переменной x₁, для которой определяется доверительный интервал; - квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,05 t_0,95;14=2,1448.

Значение стандартной ошибки S_y определяется по формуле:

_где; - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

Рассмотрим первое уравнение парной регрессии.

- зависимость цены от возраста.

Составим расчётную таблицу

Таблица 3.

i	y_i	x_i1		е_i	е_i²	(x_i-x_ср)²	S_y	*2,1448*∙S_y
1	7,3	5	7,99	-0,69	0,48	0,09	0,57	1,22	6,77	9,21
2	9,5	4	10,5	-1	1	1,69	0,84	1,8	8,7	12,3
3	7,9	5	7,99	-0,09	0,01	0,09	0,57	1,22	6,77	9,21
4	8,3	6	5,47	2,81	7,95	0,49	0,64	1,37	4,1	6,84
5	7,4	6	5,48	1,92	3,69	0,49	0,64	1,37	4,11	6,85
6	4,7	7	2,97	1,73	2,99	2,89	0,99	2,12	0,85	5,09
7	8,2	4	10,5	-2,3	5,29	1,69	0,84	1,8	8,7	12,3
8	9,0	4	10,5	-1,5	2,25	1,69	0,84	1,8	8,7	12,3
9	10,7	4	10,5	0,2	0,04	1,69	0,84	1,8	8,7	12,3
10	6,0	6	5,48	0,52	0,27	0,49	0,64	1,37	4,11	6,85
11	4,7	7	2,97	1,73	2,99	2,89	0,99	2,12	0,85	5,09
12	7,1	5	7,99	-0,89	0,79	0,09	0,57	1,22	6,77	9,21
13	9,5	4	10,5	-1	1	1,69	0,84	1,8	8,7	12,3
14	7,3	5	7,99	-0,69	0,48	0,09	0,57	1,22	6,77	9,21
15	3,1	7	2,97	0,13	0,02	2,89	0,99	2,12	0,85	5,09
16	4,6	6	5,48	-0,88	0,77	0,49	0,64	1,37	4,11	6,85
Сумма	115,3	85		0,00	30	19,44
Сред	7,21	5,31		0,00	1,87

Представим полученные результаты графически

Рисунок 3. Поле рассеяния с полосой надежности.

Рассмотрим второе уравнение парной регрессии.

- зависимость цены от мощности.

Составим расчётную таблицу

Таблица 4.

i	y_i	x_i2		е_i	е_i²	(x_i-x_ср)²	S_y	*2,144*∙S_y
1	7,3	98	6,72	0,58	0,34	100	0,57	1,22	6,15	7,94
2	9,5	141	8,87	0,63	0,4	1089	0,82	1,76	8,05	10,63
3	7,9	110	7,32	0,58	0,34	4	0,55	1,18	6,77	8,5
4	8,3	153	9,47	-1,1	1,37	2025	1	2,14	8,47	11,61
5	7,4	123	7,97	-0,57	0,32	225	0,61	1,31	7,36	9,28
6	4,7	71	5,37	-0,67	0,45	1369	0,88	1,89	4,49	7,26
7	8,2	109	7,27	0,93	0,86	1	0,54	1,16	6,73	8,43
8	9,0	76	5,62	3,3	11,42	1024	0,81	1,74	4,81	7,36
9	10,7	150	9,32	1,3	1,9	1764	0,95	2,04	8,37	11,36
10	6,0	109	7,27	-1,27	1,67	1	0,54	1,16	6,73	8,43
11	4,7	104	7,02	-2,32	5,38	16	0,56	1,2	6,46	8,22
12	7,1	108	7,22	-0,12	0,01	0	0	0	7,22	7,22
13	9,5	147	9,17	0,33	0,11	1521	0,91	1,95	8,26	11,12
14	7,3	105	7,07	0,23	0,05	9	0,54	1,16	6,53	8,23
15	3,1	50	4,32	-1,22	1,49	3364	1,21	2,6	3,11	6,92
16	4,6	75	5,57	-0,97	0,94	1089	0,82	1,76	4,75	7,33
Сумма	115,3	1729	115,57	0,00	27	13601
Сред	7,21	108,06	7,22	0,00	1,37

Представим полученные результаты графически

Рисунок 4. Поле рассеяния с полосой надежности.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

1) Подставляем в первую модель возраст 3 года, получаем точечный прогноз:

тыс. у.е.

Подставляем точечный прогноз среднего цены и в уравнения границ доверительного интервала и получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или ; тыс. у.е.

2) Подставляем во вторую модель мощность 165 л.с., получаем точечный прогноз:

тыс. у.е.

, или ; тыс. у.е.

2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших квадратов находим оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

Система нормальных уравнений имеет вид.

Находим численные значения оценок в данной задаче. Обозначим:

; ; ;

Тогда

Для этого выполним следующие расчеты:

Множественная линейная регрессионная модель

имеет вид:

2.2. Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9.

Расчётная таблица

Таблица 5.

i	y_i	x_i1	x_i2	y_i^п	e²	(y_i –y_i^ср)²
1	7,3	5	98	9,125	0,006	2,560
2	9,5	4	141	3,517	0,047	16,064
3	7,9	5	110	9,245	0,065	2,958
4	8,3	6	153	9,209	0,085	2,836
5	7,4	6	123	10,329	0,138	7,862
6	4,7	7	71	4,961	0,291	6,574
7	8,2	4	109	1,753	0,205	33,316
8	9	4	76	10,165	0,055	6,970
9	10,7	4	150	12,413	0,082	23,893
10	6	6	109	9,449	0,202	3,702
11	4,7	7	104	5,517	0,033	4,032
12	7,1	5	108	3,473	0,005	16,419
13	9,5	4	147	13,093	0,243	31,003
14	7,3	5	105	4,877	0,001	7,012
15	3,1	7	50	2,393	0,011	26,337
16	4,6	6	75	10,769	0,324	10,524
Сумма	115,3	85	1729	120,288	1,793	202,061
Сред. Знач.	7,2	5,31	108,06	7,518	0,112	12,629

По таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:

t_0,95;13=1,771.

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:

j=0,1,…,m,

где z_jj – диагональные элементы обратной матрицы (X^T×X)^-1, которые равны соответственно:

2,98401

0,02336

0,00012

Т.к. неравенство t_Ф > t_0,95;13=1,771 выполняется для всех коэффициентов, то коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9:

Проверка осуществляется по формуле:

, где r_xy – коэффициент множественной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции определяется по формуле:

Коэффициент детерминации равен: 0,9911, следовательно, множественная регрессия объясняет 99,11 % колебаний значений y. Это свидетельствует о суммарном влиянии независимых переменных x₁ и x₂ на y.

Проверим статистическую значимость коэффициента множественной корреляции:

Условие выполняется, следовательно, коэффициент множественной корреляции существенно отличен от нуля.

Проверим уравнение регрессии на значимость:

для зависимости у от х₁ и x₂.

При уровне значимости a=0,1 и количестве степеней свободы df₁=1, df₂=16-3=13 определяем, что табличное значение F-статистики Фишера будет равно F_т(0,1;1;13)=3,14. Т.к. F_т<F_ф то признается статистическая значимость уравнения регрессии, и оно может быть использовано в прикладных целях.