Эконометриканың басқа экономика-математикалық пәндер арасындағы алатын орны

Эконометриканың басқа экономика-математикалық пәндер арасындағы алатын орны.

Эконометрика - математикалық және статистикалық әдістер көмегімен экономикадағы өзара тәуелділіктерді және заңдылықтарды зерттейтін ғылым. Эконометрика-  мақсаты экономикалық қатынастарға сандық өлшемдер беретiн ғылымның тез дамып жатқан саласы. «Эконометрия» терминiн  ең  бiрiншi бухгалтер П. Цьемпа ( Австро- Венгрия, 1910 ж.) енгiзген. Цьемпа, егер бухгалтерлiк есепке алгебра мен геометриялық әдiстердi қолдансақ шаруашылық қызмет нәтижесiн тереңiрек көрсетуге мүмкiндiк туады деп санады. Терминнiң бұл қолдануы және концепцияның өзi  ұзақ қолданылмады,  ал «Эконометрика»  деген атау  1930 жылы ерекшеленген  экономикалық ғылымның жаңа бағыты үшiн жеткiлiктi табысты болды. «Эконометрика»  сөзi  «экономика»  және «метрика» (гректiң «метрон»  сөзiнен) сөздерiнiң  бiрiгуi. Кеңес ғалымы А.Л. Вайнштейн (1892-1970)  бұл ғылымның атауы гректiң метрия ( геометрия, планиметрия және т.б.) сөзiне негiзделген, яғни сәйкес аналогы – эконометрия деп санады. Бiрақ жалпы ғылымда «эконометрика»  терминi кеңiнен тарады. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері. Эконометрика курсында қолданылатын ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері, негізгі ұғымдары және қорытындылары қарастырылады. Сол мәліметтерді қысқаша түрде оқушылар назарына ұсыну. Айта кететін нәрсе -келтірілген мәліметтер ықтималдық теориясы мен математикалық статистика курсын алмастыра алмайды.

Экономикалық деректердің кездейсоқтық табиғаты. Кез келген экономикалық деректер қандай да бір экономикалық объектілердің сандық қасиеттерін сипаттайды. Ол деректер кездейсоқ мәндер қабылдауы мүмкін. Сонымен қатар, әдетте, экономикалық модельде ескерілмеген факторлар объектіге жалпы мәні белгісіз, кездейсоқ бір шама ретінде әсер етеді деп жориды. Яғни модельге кездейсоқ параметр ε қосады, ол барлық ескерілмеген факторлардың жалпылама әсерін білдіреді: у = f(х) + ε. Мысал. Сұраныс моделі: q =f(р,I) +ε q - пайдалы заттар көлемі,  р - пайдалы заттар бағасы,  I - тұтынушылар табысы, ε - басқа факторлардың әсері, немесе қателіктер. Экономикалық модельге кездейсоқ компоненттер енгізу, басқа айнымалылар арасындағы байланыстардың да стохастикалық (кездейсоқтық) болуына алып келеді. Яғни модельді статистикалық деректер негізінде эмпирикалық тексеруге мүмкіндік береді. Егер тексеру модельдің дұрыстығын көрсетсе, онда нақты экономикалық объектінің жұмыс істеуіне керекті шешімдер қабылдауға болады.

Экономикалық құбылыстардың кездейсоқтық сипаты және статистикалық заңдылық.

Кез келген экономикалық құбылыстар қандай да бір экономикалық объектілердің сандық қасиеттерін сипаттайды. Ол деректер кездейсоқ мәндер қабылдауы мүмкін. Сонымен қатар, әдетте, экономикалық модельде ескерілмеген факторлар объектіге жалпы мәні белгісіз, кездейсоқ бір шама ретінде әсер етеді деп жориды. Яғни модельге кездейсоқ параметр ε қосады, ол барлық ескерілмеген факторлардың жалпылама әсерін білдіреді: у = f(х) + ε. Мысал. Сұраныс моделі:

q =f(р,I) +ε q-пайдалы заттар көлемі, р-пайдалы заттар бағасы, I - тұтынушылар табысы,

ε - басқа факторлардың әсері, немесе қателіктер. Экономикалық модельге кездейсоқ компоненттер енгізу, басқа айнымалылар арасындағы байланыстардың да стохастикалық (кездейсоқтық) болуына алып келеді. Яғни модельді статистикалық деректер негізінде эмпирикалық тексеруге мүмкіндік береді. Егер тексеру модельдің дұрыстығын көрсетсе, онда нақты экономикалық объектінің жұмыс істеуіне керекті шешімдер қабылдауға болады.

Кездейсоқ шама- сынақ нәтижесінде мүмкін мәндер жиынтығының ішінен 1 мәнді қабылдайтын айнымалы шама. Дискретті кездейсоқ шама- кездейсоқ шама шектеулі немесе шексіз тізбек түрінде жазуға болатын мән қабылдайтын айнымалы шама. Үзіліссіз кездейсоқ шама- қандай да бір сандық аралықтың ішінен барлық мәндердің қабылдауы мүмкін кездейсоқ шама. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі- барлық мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтіндісінің соммасын айтамыз. Мысалы, ақшалай лотереяда 100 билет шығарылды,  500 теңгелік -1 ұтыс,  10теңгелік- 10ұтыс ойналды.

 М(х)=ХіРі=0+1+5=6. Дискретті кездейсоқ шама дисперсиясы D(x)=M[(x-M(x)²] D(x)=M(x²)-M²(x).

Орташа ауытқуы (х)=√D(x). Эконометрияда статистикалық деректер эмпирикалық заңдылықтарды анықтау және дәлелдеудің негізі болып табылады. Зерттелетін экономикалық объектіні сипаттайтын нақты сандық деректерсіз қолданылатын экономикалық модельдің практикалық құндылығын анықтау мүмкін емес. Экономикалық (статистикалық) деректерді екі түрге бөледі: тікелей деректер және уақыт қатарлары. Тікелей деректер - бұл әртүрлі бір типтес объектілер (фирма, аймақ,т.б.) үшін қандай да бір экономикалық көрсеткішті сипаттайтын деректер. Бұл жағдайда барлық деректер қандай да бір уақыт сәтіне байланысты болады немесе уақыт сәті ескерілмейді. Уақыт қатарлары - бұл қандай да бір экономикалық объектіні әртүрлі уақыт моменттерінде сипаттайтын деректер. Мысалы, халықтың бюджеттік көрсеткіштерін қандай да бір уақыт моментінде зерттеу деректері 1-түрге жатса, инфляция деңгейінің қандай да бір уақыт кезеңіндегі өзгерту динамикасы 2-түрге жатады. Уақыт қатарларын зерттеудің өз ерекшеліктері бар. Мысалы, көршілес екі мэннің өзара байланысы болуы мүмкін; уақыт тежеулері (лагалары) болуы мүмкін ж.т.б. Сондықтан уақыт қатарларын зерттеу үшін арнаулы әдістер қолданылады.

Кездейсоқ шамалардың сипаты. Үлкен сандар заңы.

Кездейсоқ шама- сынақ нәтижесінде мүмкін мәндер жиынтығының ішінен 1 мәнді қабылдайтын айнымалы шама. Дискретті кездейсоқ шама- кездейсоқ шама шектеулі немесе шексіз тізбек түрінде жазуға болатын мән қабылдайтын айнымалы шама. Үзіліссіз кездейсоқ шама- қандай да бір сандық аралықтың ішінен барлық мәндердің қабылдауы мүмкін кездейсоқ шама. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі- барлық мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтіндісінің соммасын айтамыз. Мысалы, ақшалай лотереяда 100 билет шығарылды,  500 теңгелік -1 ұтыс,  10теңгелік- 10ұтыс ойналды. 

М(х)=ХіРі=0+1+5=6. Математикалық үміттің қасиеттері:1. М(С) = С;С = const - тұрақты шама; 2. М(КХ) = К* М(Х); 3. М(Х±Ү) = М(Х)±М(Ү);4. М(ХҮ) = М(Х)*М(Ү), X, У – тәуелсіз кездейсоқ шамалар; 5. М(Х±С) = М(Х)±С;6. М(х-а) = 0,   а = М(х). Дискретті кездейсоқ шама дисперсиясы D(x)=M[(x-M(x)²] D(x)=M(x²)-M²(x). Кездейсоқ шаманың дисперсиясының қасиеттері: 1. D(С) = 0; с = соnst - тұрақты шама. 2. D(КХ) = К2D(Х). 3. D(Х) = М(Х 2)-а2,мұнда а = М(Х). 4. D(Х + Ү) = D(Х + Ү) = D(Х) + D(Ү), X және У – тәуелсіз кездейсоқ шамалар. Орташа ауытқуы (х)=√D(x).

Осылайша   құрылған   кестені   Е   кездейсоқ   шамасының үлестірім кестесі деп атайды. Егер тікбұрышты координат жүйесінің абцисса осінің бойына кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерін, ал ордината осінің бойына олардың ықтималдықтарын тұрғызсақ және сәйкес нүктелерді өзара қоссақ, сызықтар көпбұрышы шығады, оны ықтималдықтың таратылу полигоны деп атайды. Үлкен сандар заңы және шектік теоремалар. Кездейсоқ факторлардың бірігіп әсер етуінің нәтижесінде, кездейсоқ емес құбылыстардың пайда болатындығы практикада және түрлі ғылым салаларында кездеседі. Мұндай заңдылықтар, атап айтқанда, қажеттіліктің кездейсоқтық арқылы келуі ықтималдықтар теориясына да тән. Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде, оқиғаның пайда болу жиілігі, оның ықтималдығының тым аз айырмашылықта болатындығы орынды. Міне, бұл - "Үлкен сандар" заңының бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына қатысты тұжырымдалатын теорияларды айтамыз. Өте көп сандар заңдарының түрлі формалары мен түрлі шектік жайындағы теоремаларды біріктіріп, ықтималдықтар теориясының шектік теоремалары деп атайды. Шектік теоремалар кездейсоқ құбылыстар төңірегінде ғылыми болжам жасаумен қатар оларға (түрлі болжамдарға) дәлдік баға береді. П.Л.Чебышевтың 1867 жылы дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болады және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай кеңейтуге жол ашты. Чебышев теоремасы. x1х2,...,хn кездейсоқ n тәуелсіз шамалардың дисперсиясы тұрақты бір ғана санмен шектелген болса, онда n саны шексіз өскенде, кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы ықтималдық бойынша олардың математикалық үміттері а1а2,...,аn -дердің арифметикалық ортасына жинақталады, яғни

Бернулли теоремасы. Егер әрбір тәуелсіз тәжірибеде оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты Р санына тең болып, тәжірибе саны n шексіз өскенде, оқиғаның пайда жиілігі ықтималдыққа ықтималдық бойынша жинақталады.                                          

Пуассон теоремасы. Егер бір-біріне тәуелсіз n рет тәжірибе жүргізілсе, к-ші тәжірибе жүргізгенде, А оқиғасының пайда болу ықтималдығы рк -ға тең болса, онда А оқиғасының пайда болу жиілігі және кез келген  > 0 үшін

немесе

Ляпунов теоремасы. Егер  х1,х2,...хn   кездейсоқ шамаларының ақырғы математикалық үміттері мен дисперсиялары бар болса, өздерінің мәндері бойынша кез келген кездейсоқ шама басқаларынан ерекше артықшылықта болмаса, онда  n→ ∞-да , қосындысының үлестірімі қалыпты заңға шексіз жақындайды.

Егер   х1,х2,...хn кездейсоқ шамаларының үлестірімі бірдей болса, онда - қосындысының таратылуы n→∞-да нормальды заңға шексіз жақындайды.

Бас жиынтық  және таңдама.

X және У экономикалық айнымалылары арасындағы байланысты анықтау керек болсын (мысалы, жұмыссыздық пен инфляция арасындағы). Ол үшін бүл көрсеткіштердің статистикалық деректерін қарастырамыз /жылдық, тоқсандық, айлық және т.б. Бұл деректер жалпы жиынтықтан алынған кездейсоқ іріктеме болады. Жалпы жиынтық деп біз экономикалық көрсеткіштің барлық мүмкін болатын бақылауларын, кездейсоқ шаманың қабылдай алатын мәндерін айтамыз. Ал осы жалпы жиынтықтың қандай да бір бөлігін іріктеме дейді. Демек, X пен У көрсеткіштері арасындағы байланысты осы көрсеткіштерді анықтайтын жалпы жиынтықтан таңдап алынған іріктеме арқылы анықтаймыз.

Статистикалық мәліметтерді өңдеу және беру әдістері.

Экономикалық деректерді жинау мақсаты - шешім қабылдау үшін ақпараттық қор жинау. Әлбетте, деректерді талдау және шешім қабылдау қандай да бір интуитивті немесе нақты (сандық) экономикалық модель негізінде іске асады. Сондықтан нақты модельге сәйкес келетін деректер жиналады. Экономикалық деректерді жинаудың түрлі әдістері бар: сұрастыру, сұхбат алу, анкета тарату, мемлекеттік статистика және т.б. Көптеген елдерде мемлекеттікпен қатар жеке статистикалық органдар жұмыс істейді. Сауалнамашының қатысуымен және кеңес беруімен сауалнама жүргізу. Бұл әдіс сұхбатқа қарағанда арзанырақ, ақпарат жинауды бұл жерде тезірек жүзеге асыруға болады. Респонденттердің жауап беруден бас тартуы да шамалы. Бірақ, сауалнама жүргізу күрделі құрылымы бар сұрақтарды пайдалануға мүмкіндік бермейді, сауалнаманың ең жеңіл көрінісін ғана пайдалануға жол береді. Осының барлығының нәтижесінде ол сұхбатқа орын берді. Пошталық сұрау (жауабы төленген сауалнамаларды пошта арқылы жіберу) бүгінде, көбінесе сараптамалық сұраулар үшін пайдаланылады. ESOMAR-дың мәліметтері бойынша осы әдісті қолдануымен жүргізілетін маркетингтік зерттеулер небәрі 3%-ды ғана құрайды. Кеңестік кезеңнен кейінгі мемлекеттерде пошталық сұрау поштаның нашар жұмысына байланысты тиімді емес. Бұл әдістің артықшылығы - оның арзандығында, кемшілігі - көлемінің, құрылымы мен дизайнының шектеулігінде, ал ең басты кемшілігі - сауалнамалардың аса төмен қайтарымдылығында. Баспасөздік сұраудың артықшылықтары мен кемшіліктері пошталық сұраудағыдай. Сауалнамалардың ең кем қайтарымдылығын қамтамасыз ету үшін бұл жерде ынталандыру қажет. Мысалы - жіберілген сауалнамалардың нөмірлері бойынша лотерея. Нарративтік сұхбат - сұхбат алушының ешқандай араласуынсыз респонденттің еркін әңгімесі. Мұндай жағдайда баяндаудың толық еркіндігі респондент үшін ең маңызды сәттер жөнінде ақпарат алуға мүмкіндік береді деп белгіленеді. Нарративтік сұхбатты қолдану әсіресе респонденттің жеке қабылдауы, оның сезімдері маңызды болған жағдайда өзін ақтайды. Қолданбалы әлеуметтанушылық және маркетингтік зерттеулерде нарративтік техника өте сирек қолданылады. Топтау – бiрлiктердi келесi принциптерге сәйкес топтарға үлестiру: бiр топқа жатқызылған бiрлiктер арасындағы айырмашылық түрлi  топқа енгiзген  бiрлiктер арасындағы айырмашылықтан аз болу керек. Топтау әдiсi топтық және құрамдастырылған кесте түрiнде, сонымен қатар құрылым бөлiктерi мен олардың өзара қатынасын көрсетенiн графиктiк бейнедегi мәлiметтердi ұсынумен тығыз байланысты  екенi анық. Топтау статистикалық байланыс пен заңдылықтарды анықтау, объектiнiң сипатын жасау, зерттелiнетiн жиынтықтың құрылымын анықтау мақсатында жүргiзiледi. Топтастырулардың мақсаттық жағынан айырмашылығы отандық статистикада жүргiзiлетiн топтастыру классификациясына байланысты: типтiк, құрылымдық, аналитикалық. Статистикалық кестелер - әлеуметтiк-экономикалық құбылыс жайлы статистикалық ақпараттарды белгiлi бiр тiзбектiк ретпен және байланыспен көрсетiлетiн жолдар мен бағаналар жүйесi.

Теоретикалық  және таңдаулы мiнездемелер.

Таңдамалы сипаттамалар: Таңдамалы ковариация – екі айнымалы арасындағы байланысты көрсетеді және келесі формулалармен анықталады:

cov>0 болса айнымалылар арасында оң байланыс болады, cov<0 болса айнымалылар арасында теріс байланыс болады. cov=0болса, онда байланыс жоқ болады.

Таңдамалы ковариация қасиеттері: 1)y=u+v; Cov(x,y)=Cov(x,u)+Cov(x,v); 2)y=a*u; a=const; Cov(x,y)=a*Cov(x,u); 3)y=a; Cov(x,y)=0. Теоретикалық коварация:

Таңдамалы дисперсия: Cov(x,y)=Var(x).

Таңдамалы дисперсия  қасиеттері: 1)y=u+v; Var(y)=Var(u)+Var(v)+2Cov(u,v); 2)y=a*u; a=const;    Var(y)=a²Var(u); 3) y=a; Var(y)=0 4)y=u+a; Var(y)=Var(u). Таңдамалы корреляция қасиеті екі айналым арасындағы байланыс тығыздығын көрсетеді. rxy  [-1;1]. rxy→1 айнымалылар арасында тығыз оң байланыс бар, rxy→-1 айнымалылар арасында тығыз теріс байланыс бар. rxy →0 айнымалылар арасында байланыс жоқ. Теоретикалық коррелляция:

Экономикалық айнымалылар  арасындағы статистикалық байланыс.

Микро және макро деңгейіндегі әртүрлі экономикалық көрсеткіштер, әдетте, өзара тәуелсіз болмайды, яғни олардың арасында қандай да бір байланыстар болады. Мысалы, қандай да бір тауардың бағасы мен осы тауарға сұраныстың көлемі, өндіріс көлемі мен фирманың пайдасы, табыс пен өзіндік тұтыну көлемі, инфляция мен жұмыссыздық.Егер экономикалық деректердің стохастикалық (кездейсоқтық) табиғатын ескермесек, онда әртүрлі экономикалық көрсеткіштердің арасындағы байланыстарды функционалдық әдіспен сипаттауға болады. Қандай да бір көрсеткіштің (белгінің) басқа факторлармен байланысы бір   у = f(х) не бірнеше айнымалысы  бар у = f(х1,х2,...,хn) функциясымен сипатталады. Бұндай әдіс экономикалық процестердің кездейсоқтық табиғаты әлсіз болған жағдайларда қолданылады. Бірақ, әдетте, көрсеткіштер арасындағы байланыстар стохастикалық болып келеді. Себебі, көптеген әсер етуші факторлар модельге кірмейді жэне олардың көбісі кездейсоқ боп келеді. Сондықтан айнымалылар арасындағы байланыстарды кездейсоқтық немесе корреляциялық шамалар арқылы сипаттайды.

Таңдамалы корреляция қасиеті екі айналым арасындағы байланыс тығыздығын көрсетеді. rxy  [-1;1]. rxy→1 айнымалылар арасында тығыз оң байланыс бар, rxy→-1 айнымалылар арасында тығыз теріс байланыс бар. rxy →0 айнымалылар арасында байланыс жоқ.

Теоретикалық және таңдамалық ковариация. Корреляция коэффициенті.

Таңдамалы сипаттамалар: Таңдамалы ковариация – екі айнымалы арасындағы байланысты көрсетеді және келесі формулалармен анықталады:

cov>0 болса айнымалылар арасында  оң байланыс болады, cov<0 болса  айнымалылар арасында теріс байланыс  болады. cov=0болса, онда байланыс  жоқ болады.

Таңдамалы ковариация қасиеттері: 1)y=u+v; Cov(x,y)=Cov(x,u)+Cov(x,v); 2)y=a*u; a=const; Cov(x,y)=a*Cov(x,u); 3)y=a; Cov(x,y)=0. Теоретикалық коварация:

Таңдамалы дисперсия: Cov(x,y)=Var(x).

Таңдамалы дисперсия қасиеттері: 1)y=u+v; Var(y)=Var(u)+Var(v)+2Cov(u,v); 2)y=a*u; a=const;    Var(y)=a²Var(u); 3) y=a; Var(y)=0 4)y=u+a; Var(y)=Var(u). Таңдамалы корреляция қасиеті екі айналым арасындағы байланыс тығыздығын көрсетеді. rxy  [-1;1]. rxy→1 айнымалылар арасында тығыз оң байланыс бар, rxy→-1 айнымалылар арасында тығыз теріс байланыс бар. rxy →0 айнымалылар арасында байланыс жоқ. Теоретикалық коррелляция:

 Корреляция коэффициенті r-дің мынадай қасиеттері бар: 1) r - өлшем бірлігі жоқ шама, оның мәні мынадай аралықта жатады: -1 ≤ r ≤ 1. 2) Егер айнымалылардың барлық мәндеріне қандай да бір санды қосса (алса) немесе мәндерін қандай да бір санға көбейтсе, онда корреляция коэффициентінің шамасы өзгермейді. 3) Егер r = ±1, болса, онда корреляциялық (стохастикалық) байланыс функционалдық сызықтық байланысқа айналады. 4) Егер r = 0 болса, онда X пен У айнымалылары арасында сызықтық корреляциялық байланыс жоқ, бірақ сызықтық емес байланыстар болуы мүмкін.

Қарапайым эконометрикалық модель.

Экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды зерттеуді екі айнымалы (х пен у) жағдайын қарастырудан бастаймыз. Бұл - ең қарапайым жағдай және графиктік түрде қарастыруға мүмкіндік береді. X пен У айнымалыларының арасындағы 2 түрлі байланысты қарастыруға болады: 1) Қандай айнымалы тәуелді, қандай айнымалы тәуелсіз екені белгісіз. Бұл жағдайда айнымалылар тең құқылы және олардың арасындағы байланысты коореляциялық талдау арқылы зерттейді. 2) Айнымалылар тең құқылы емес, яғни олардың бірі -тәуелсіз (анықтағыш), екіншісі - тәуелді (анықталатын) айнымалы болады. Демек, біріншісінің өзгеруі екіншісінің өзгеруінің себебі болады. Мысалы, табыстың өсуі түтынудың өсуіне алып келеді, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді, проценттік норманың кемуі инвестицияның өсуіне, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді. Бұл жағдайда Ү = f(X) регрессия теңдеуі бағалануы керек. Анықтама. Экономикалық айнымалылар арасындағы статистикалық байланыстың формуласын регрессия теңдеуі дейді. Егер бұл формула сызықтық болса, онда сызықтық регрессия дейді. Анықтама. Екі айнымалы арасындағы статистикалық байланыс формуласы жұптық регрессия, көп айнымалылар арасындағы формула көптік регрессия болады. Мысал. Кейнс жеке тұтыну С пен табыс У арасындағы сызықтық байланысты ұсынды: С = С0+bУ, мүндағы С0 - автономдық тұтыну көлемі, b(0 < b < 1) - шектік тұтыну көлемі коэффициенті. Анықтама. Айнымалылар арасындағы байланыс формуласын - таңдаулы регрессия теңдеуін спецификациялау деп атайды.

Кездейсоқ шама бағасының ығыспағандығы, тиімділігі және тиянақтылығы.

Ығыстырылмаған баға. ύ параметрінің  х, ,х2 ,...,хп таңдамасы бойынша ύ* бағалансын. М(ύ*) = ύ теңдігі орындалғанда, ыгыстырылмаган бага дейді. Сонымен баға ығыстырылмаған болуы үшін, бағаның математикалық үміті бағаланатын шаманың өзіне тең болуы керек. Математикалық үміті а-ға, дисперсиясы 2 -қа тең ξ кездейсоқ шамасы үшін оның параметрлеріне статистикалық баға есебінде эмпирикалық х ортасы мен Sx2 дисперсиясын қабылдаймыз.

Орнықты баға. ύ параметрінің х ,х2 ,...,хп таңдамасы бойынша алынған статистикалық баға ύ* болсын. Егер  кез келген оң сан болғанда шарты орындалатын болса, онда ύ параметрінің статистикалық ύ* бағасы орнықты деп аталады. х,х2,...,хп таңдамасының мүшелері өзара тәуелсіз және бірдей үлестірімді болғандықтан, үлкен сандар заңын қолдануға болады. Демек,

яғни сондықтан шарт орындалған, олай болса эмпирикалық х ортасы математикалық а үміті үшін орнықты баға болады. Тиімді баға. Баға тиімділігі сенімділік интервалымен анықталады. Анықтама: ℓβ = (ύ*-, ύ*+) аралығын сенімділік аралығы деп, β ықтималдығын сенімділік ыңтималдыгы деп атайды.

Дербес жағдайда сенімділік интервалы төмендегіше анықталады:

теңдеуінен табу керек.

Регрессия функциясы және жұптық байланысты статистикалық талдау.

Экономикалық көрсеткіштердің арасындағы өзара байланыстарды анықтау - эконометриядағы негізгі проблемалардың бірі. Кез келген экономикалық политиканың негізі - ол экономикалық айнымалыларды реттеу, демек, бұл айнымалылардың басқа айнымалыларға қалай әсер етуін білудің маңызы өте зор. Мысалы, нарықтық экономикада инфляция қарқынын тікелей өзгертуге болмайды, бірақ оған салық-бюджеттік және қаржы-кредиттік саясат арқылы әсер етуге болады. Сондықтан дербес жағдайда ақшаны ұсыну көлемі мен баға деңгейінің арасындағы байланыс зерттелуге тиіс. Экономикалық модельдерді кұру, тексеру және жақсарту нақты статистикалық деректерді пайдаланып, статистикалық талдау жасаусыз мүмкін емес. Экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды зерттеуді екі айнымалы (х пен у) жағдайын қарастырудан бастаймыз. Бұл - ең қарапайым жағдай және графиктік түрде қарастыруға мүмкіндік береді. X пен У айнымалыларының арасындағы 2 түрлі байланысты қарастыруға болады: 1) Қандай айнымалы тәуелді, қандай айнымалы тәуелсіз екені белгісіз. Бұл жағдайда айнымалылар тең құқылы және олардың арасындағы байланысты коореляциялық талдау арқылы зерттейді. 2) Айнымалылар тең құқылы емес, яғни олардың бірі -тәуелсіз (анықтағыш), екіншісі - тәуелді (анықталатын) айнымалы болады. Демек, біріншісінің өзгеруі екіншісінің өзгеруінің себебі болады. Мысалы, табыстың өсуі түтынудың өсуіне алып келеді, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді, проценттік норманың кемуі инвестицияның өсуіне, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді. Бұл жағдайда Ү = f(X) регрессия теңдеуі бағалануы керек. Анықтама. Экономикалық айнымалылар арасындағы статистикалық байланыстың формуласын регрессия теңдеуі дейді. Егер бұл формула сызықтық болса, онда сызықтық регрессия дейді. Анықтама. Екі айнымалы арасындағы статистикалық байланыс формуласы жұптық регрессия, көп айнымалылар арасындағы формула көптік регрессия болады. Мысал. Кейнс жеке тұтыну С пен табыс У арасындағы сызықтық байланысты ұсынды: С = С0+bУ, мүндағы С0 - автономдық тұтыну көлемі, b(0 < b < 1) - шектік тұтыну көлемі коэффициенті. Анықтама. Айнымалылар арасындағы байланыс формуласын - таңдаулы регрессия теңдеуін спецификациялау деп атайды. Жұптық сызықтық регрессия параметрлерін анықтаудың формалық жағын қарастырайық. X пен У арасындағы байланыс сызықтық болсын: Ү=α+βХ.

Бұнда байланыс X пен У-тің жалпы жиынтықтарының арасындағы байланыс болады. Бірақ У-ке басқа да ескерілмеген факторлар әсер етеді және өлшеу қателіктері де болуы мүмкін. Демек, xі  және уі тәжірибелік деректер арасындағы байланыс төмендегідей болады: уі = α + βхі +і .

мұндағы і - кездейсоқ қателіктер (ауытқулар).

Регрессия теңдеуіне кездейсоқ мүшені енгізу себептері.

X пен У-тің жалпы жиынтықтарының арасындағы байланыс болады. Бірақ У-ке басқа да ескерілмеген факторлар әсер етеді және өлшеу қателіктері де болуы мүмкін. Демек, xі  және уі тәжірибелік деректер арасындағы байланыс төмендегідей болады: уі = α + βхі  +і . Мұндағы і - кездейсоқ  теңдеуге кірмеген айнымалылар мәні, бастапқы берілген мәндер, таңдап алынған модельдердің тура еместігін көрсететін ауытқу (қалдық). Енді біздің алдымызда мынадай есеп тұр: тәжірибелік деректер хі , уі бойынша S шамасына min әперетіндей α және β параметрлерін бағалау керек. Егер і ауытқуларының дәл мәндері белгілі болса, онда сызықтық формула тура болған жағдайда α және β параметрлерінің мәнін есептеуге болатын еді. Бірақ кездейсоқ ауытқулардың іріктемедегі мәндері белгісіз, сондықтан хі  ,уі  бақылау мәндері бойынша тек α және β бағалауын таба аламыз. Бұл бағалаулар кездейсоқ болады, себебі кездейсоқ іріктемеге сәйкес келеді. а және b сәйкес  және β параметрлерінің бағалауы болсын. Онда бағаланған регрессия теңдеуі Уі =α+βxі  +ℓі мұндағы ℓі – сәйкес і  қателіктерінің тәжірибелік мәндері.

Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни

5) і  қателіктері қалыпты үлестірімге ие болады, яғни і  ϵ N(0;2). Егер алдындағы шарттары орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған бағалар мынадай қасиеттерге ие болатыны теориядан белгілі:

а) Бағалар ауытқымаған, яғни  Ма =α,Мb =β. Бұл қасиет Мі  = 0 шартынан шығады, яғни бағалау барысында жүйелік қателіктер болмайды.

б) Бағалар тиянақты, яғни бақылау саны өскен сайын бағалар дисперсиясы 0-ге ұмтылады:

Басқаша айтқанда, n өскен сайын бағалар шындылығы өседі.

в) Бағалар тиімді, яғни бұл параметрлердің кез келген у бойынша сызықты бағаларының ішінде ең кіші дисперсияға ие болады.

Регрессия теңдеуінің коэффициенттерін есептеу үшін кіші квадраттар әдісі.

мұндағы ухі = а + bх, регрессия теңдеуі бойынша есептелген мәндер; хі,уі - бақылау деректері; а,b - белгісіз параметрлер. S(а,b) функциясы үздіксіз, дөңес және төменгі жағынан нөлмен шектелген, яғни минимумы бар функция. Осы әдісті ең кіші квадраттар әдісі (ЕКӘ) деп атайды. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни

5) і  қателіктері қалыпты үлестірімге ие болады, яғни і  ϵ N(0;2). Егер алдындағы шарттары орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған бағалар мынадай қасиеттерге ие болатыны теориядан белгілі:

а) Бағалар ауытқымаған, яғни  Ма =α,Мb =β.

Бұл қасиет Мі  = 0 шартынан шығады, яғни бағалау барысында жүйелік қателіктер болмайды.

б) Бағалар тиянақты, яғни бақылау саны өскен сайын бағалар дисперсиясы 0-ге ұмтылады:

Басқаша айтқанда, n өскен сайын бағалар шындылығы өседі.

в) Бағалар тиімді, яғни бұл параметрлердің кез келген у бойынша сызықты бағаларының ішінде ең кіші дисперсияға ие болады.

Жұптық регрессия  теңдеуінің интерпретациясы.

Экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды зерттеуді екі айнымалы (х пен у) жағдайын қарастырудан бастаймыз. Бұл - ең қарапайым жағдай және графиктік түрде қарастыруға мүмкіндік береді. X пен У айнымалыларының арасындағы 2 түрлі байланысты қарастыруға болады: 1) Қандай айнымалы тәуелді, қандай айнымалы тәуелсіз екені белгісіз. Бұл жағдайда айнымалылар тең құқылы және олардың арасындағы байланысты коореляциялық талдау арқылы зерттейді. 2) Айнымалылар тең құқылы емес, яғни олардың бірі -тәуелсіз (анықтағыш), екіншісі - тәуелді (анықталатын) айнымалы болады. Демек, біріншісінің өзгеруі екіншісінің өзгеруінің себебі болады. Мысалы, табыстың өсуі түтынудың өсуіне алып келеді, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді, проценттік норманың кемуі инвестицияның өсуіне, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді. Бұл жағдайда Ү = f(X) регрессия теңдеуі бағалануы керек. Экономикалық айнымалылар арасындағы статистикалық байланыстың формуласын регрессия теңдеуі дейді. Егер бұл формула сызықтық болса, онда сызықтық регрессия дейді. Екі айнымалы арасындағы статистикалық байланыс формуласы жұптық регрессия болады. Мысал. Кейнс жеке тұтыну С пен табыс У арасындағы сызықтық байланысты ұсынды: С = С0+bУ, мүндағы С0 - автономдық тұтыну көлемі, b(0 < b < 1) - шектік тұтыну көлемі коэффициенті. Айнымалылар арасындағы байланыс формуласын - таңдаулы регрессия теңдеуін спецификациялау деп атайды. Жұптық сызықтық регрессия параметрлерін анықтаудың формалық жағын қарастырайық. X пен У арасындағы байланыс сызықтық болсын: Ү=α+βХ. Бұнда байланыс X пен У-тің жалпы жиынтықтарының арасындағы байланыс болады. Бірақ У-ке басқа да ескерілмеген факторлар әсер етеді және өлшеу қателіктері де болуы мүмкін. Демек, xі  және уі тәжірибелік деректер арасындағы байланыс төмендегідей болады: уі = α + βхі  +і . мұндағы і - кездейсоқ қателіктер (ауытқулар).

Бағаланған теңдеудің сапасы: детерминация коэффициенті. Оның корреляция коэффициентімен байланысы.

Әрбір коэффициенттің маңыздылығын тексергеннен кейін, регрессия теңдеуінің жалпы сапасы тексеріледі. Осы мақсатпен жұптық регрессия жағдайындағыдай детерминация коэффициенті R пайдаланылады, жалпы жағдайда келесі формула бойынша анықталады:

Детерминация коэффициенті- егер фактор 1%-ға өзгерсе, қорытынды орташа пайызға өзгереді. Жалпы жағдайда 0≤R2≤1. Коэффициент 1-ге жақындаған сайын регрессия теңдеуі У-тің өзгерісін дәлірек анықтайды. Сондықтан регрессияны үлкен R2 бойынша тұрғызу - табиғи ұмтылыс, кейбір жағдайларда ығыспаған баға алу үшін, формуласындағы бөлшектің алымы мен бөліміне еркіндік дәрежесіне тең болатындай түзетулер енгізіледі. Түзетілген (өзгертілген) детерминация коэффициенті енгізіледі: R²adj= R²- k(1-R²)/n-k-1

R Формулалары: 1) R²= Var(yˆ)/Var(y) Var(yˆ)=1/n ∑( yˆ-уˉ)² 2) R²=1-Var(e)/Var(y) Var(e)=1/n ∑(y-yˆ)² 3)R²= rx,y2 олар бір-біріне пара-пар.

Регрессия теңдеуiндегi кездейсоқ мүше үшiн Гаусс-Марков шарттар

Теңдеуінің жақсы сапасы үшін кездейсоқ  мүше Гаусс-Марковтың келесі төрт шартын қанағаттандыру қажет:1) кез-келген байқау үшін кездейсоқ мүшенің математикалық күтімі 0-ге тең болуы керек. Е(εi)=0 ∀ 2) барлық байқау үшін кездейсоқ мүшенің дисперсиясы тұрақты болуы тиіс. pop.var(εi)= ∀ 3)  әр түрлі байқаудағы кездейсоқ мүшелер өзара тәуелсіз болады. pop.сov(εi;εj)=0  ∀   i≠j  4) әр байқаудағы кездейсоқ мүше түсіндіруші айнымалыдан тәуелсіз таралады.

pop.cov(εi;x1i)=0  ∀

pop.cov(εi;x2i)=0  ∀

…  … … … … 

pop.cov(εi;xki)=0  ∀

_{Кіші  квадраттар әдісімен табылған регрессия  теңдеуінің коэффициенттернің  ығыспағандығы. Олардың  тиімділігі.}

мұндағы ухі = а + bх, регрессия теңдеуі бойынша есептелген мәндер; хі,уі - бақылау деректері; а,b - белгісіз параметрлер. S(а,b) функциясы үздіксіз, дөңес және төменгі жағынан нөлмен шектелген, яғни минимумы бар функция. Осы әдісті ең кіші квадраттар әдісі (ЕКӘ) деп атайды. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни