Эконометрия. Задачи

Завдання 1: 

Дано  матрицю А. Знайти матрицю А-¹  обрернену до даної. Зробити перевірку, обчислити добуток А∙ А-¹. 

                             А= 
 

1. Обчислимо визначник матриці А:

׀А׀         = а11А11+а12А12+а13А13 

а11=1; а12=2; а13=4 

А11= = 1+2=3;      

А12= = 5-6=-1;        

А13=                      = -5-3=-8 
 

׀А׀         = 1∙3+2∙1+4∙(-8)= -27≠ 0- матриця не вироджена. 

Знаходимо інші алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці: 

 А21= -(2+4)  = -6                   А22 = 1-12 = - 11

 А23= -(-1-6) = - 7                   А31= 4-4 = 0

 А32= -(2-20) = 18                   А11= 1-10 = -9

 2.Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень:

                            А= 
 
 
 

2. Розрахуємо  елементи оберненої матриці, помінявши місцями рядки та стовпці:

                            В'= 
 
 

* В' = *-1/27 
 
 
 

А∙ А-¹= ∙-1/27∙ 
 

Перевірка:

С11= (-1/27)*(1*3+2*1+4*(-8))=1

С21=(-1/27)*(5*3+1*1+2*(-8))=0

С31=(-1/27)*(3*3+(-1)*1+1*(-8))=0

С12=(-1/27)*(1*(-6)+2*(-11)+4*7)=0

С22=(-1/27)*(5*(-6)+1*(-11)+2*7)=1

С32=(-1/27)*(3*(-6)+(-1)*(-11)+1*7)=0

С13=(-1/27)*(1*0+2*18+4*(-9))=0

С23=(-1/27)*(5*0+1*18+2*(-9))=0

С33=(-1/27)*(3*0+(-1)*18+1*(-9))=1

                        Е= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Завдання  2:

Обчислити ранг матриці: 
 
 
 
 
 
 

Теоретично  ранн цієї матриці може приймати значення від 1 до 4Ю так як з елементів  матриці можна скласти мінори по 4-1 порядок включно. Але замість того, щоб вираховувати всі можливі мінори 4-го,3-го і т.д. порядків, застосуємо до матриці  еквівалетні перетворення. Спочатку добємося того, щоб в першому стовпці всі елементи, крім, першого, дорівнювали 0:

Рішення.

    Помножимо другий рядок на -7/3 і складемо з  першим рядком, записавши результат  у другий рядок.

    Помножимо третій рядок на -2 і складемо з  першим рядком, записавши результат  у третій рядок.

    Помножимо четвертий рядок на -2/5 і складемо з першим рядком, записавши результат у четвертий рядок.

    Розділимо перший рядок на 14.

    Помножимо другий рядок на 7/692.

    Помножимо четвертий рядок на -4/7 і складемо з першим рядком, записавши результат  у перший рядок.

    Помножимо четвертий рядок на -39/692 і складемо із другим рядком, записавши результат у другий рядок.

    Помножимо третій рядок на -3/7 і складемо з  першим рядком, записавши результат  у перший рядок.

    Помножимо третій рядок на -129/692 і складемо із другим рядком, записавши результат  у другий рядок.

    Помножимо другий рядок на -6/7 і складемо з першим рядком, записавши результат у перший рядок. 

Після вказаних перетворень  матриця набуде виду: 

Після вичеркування нульової строки отримаємо матрицю 3х5, для якої максимальний порядок мінорів, а отже, і максимальне значення рангу дорівнює 3.

          Її мінор                                             = 1-0=1≠0, => Rg=3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Завдання  3: 

Обчислити f(A) :

              1-х²                                1  3  2

f(х)=---------------, якщо  А=      1 1  0

            1-х²                               -1 9  3 
 

1.Обчислимо  матрицю, яка знаходиться в  чисельнику:

1) х²=                                                                             

2)      1∙ 
 

3)   В= 
 
 
 

2.Обчислимо матрицю, яка знаходиться в знаменнику:

1) х²=                                                                             

2)      1∙ 
 

3)   В´= 
 
 

3.Обчислимо  обернену до матриці, яка знаходиться  в знаменнику: 

В´ˉ¹= 
 

4.Обчислимо  функцію:

  f(х)=В∙ В´ˉ¹= 
 
 
 
 

f(х)=В∙ В´ˉ¹= 
 
 
 
 
 
 

Завдання  4: 
 

Розвязати систему лінійних рівнянь, застосовуючи метод Крамера: 

2х1-х2+4х3+х4=3

х1-х2+2х3 -  х4=1

3х1-2х2+5х3-х4=3

2х1-2х2+3х3- 3х4=1 

                  А=