Экономическое моделирование. 2

СОДЕРЖАНИЕ: 

                                                            стр.   

1. Модель  межотраслевого баланса (МОБ)       3 - 5
2. Графическое решение оптимизационной модели      6 - 7
3. Двойственная задача оптимизационной модели     8 -  10
4. Модель оптимизационного распределения ресурсов          11 - 17
5. Транспортная модель         18 - 19

Список  использованной литературы        20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 1  (№10)

      В качестве исходных данных представлены:

- коэффициенты прямых  материальных затрат (матрица А)

- конечный продукт  производства (вектор-столбец Y)

- объемы затрат  труда на производстве L_j (для расчета МОБ затрат труда)

- объемы производственных  фондов Ф_j (для расчетов МОБ производственных фондов) 

       
 

Построить:

1. продуктивный или материальный баланс
2. Баланс затрат труда
3. Баланс производственных факторов    

Решение:

1. На рабочий лист  (лист1) электронных таблиц Ехсеl  записываем исходные данные    (рис .1)
2. Ниже записываем единичный вектор Е, который соответствует  размеру матрицы А.
3. Рассчитываем коэффициенты полных материальных затрат В по формуле

В = (Е –  А)^-1

 Используем  функцию МОБР, аргументом которой  является разность между массивами  Е и А.

=МОБР(A8:D11-A2:D5)

4. Заполняем шапку таблицы «МОБ производства и распределения  продукции»
5. Записываем в столбец Конечного продукта значения Y_j
6. Подсчитываем значения валового продукта Х по формуле Х = В * Y. При этом используем функцию МУМНОЖ. И заполняем значения в столбце ВП.

=МУМНОЖ(F8:I11;F16:F19)

7. Переносим найденные значения в строку ВП с помощью функции ТРАНСП (нижняя строка таблицы МОБ).

=ТРАНСП(G16:G19)

8. Находим величину межотраслевых потоков продукции x_ij путем умножения соответствующего значения коэффициента прямых материальных затрат a_ij на величину валового продукта по рассматриваемой отрасли: x_ij = a_ij * Х_j (умножение по столбцам, значения Х из нижней строки таблицы МОБ)

=МУМНОЖ(A2:A5;B21)

=МУМНОЖ(B2:B5;C21)

=МУМНОЖ(C2:C5;D21)

=МУМНОЖ(D2:D5;E21)

9. Вычисляем совокупных национальный валовой продукт, как сумму элементов вектора Х для всех отраслей (ячейка G21)

=СУММ(G16:G19)

10. Вычисляем размер условно-чистого продукта как разность между валовым продуктом отрасли Х_j и суммой межотраслевых потоков x_ij  рассматриваемой отрасли.

=B21-СУММ(B16:B19)

=C21-СУММ(C16:C19)

=D21-СУММ(D16:D19)

=E21-СУММ(E16:E19)

11. Переходим к формированию МОБ затрат труда.
12. Заполняем шапку таблицы «МОБ затрат труда».
13. Вычисляем коэффициент прямых затрат труда как отношение объемов затрат труда к валовому продукту для j-ой отрасли t_j = L_j/X_j

=H2/G16

=H3/G17

=H4/G18

=H5/G19

14. Вычисляем коэффициент  полных затрат труда T_j, перемножив матрицу коэффициентов полных материальных затрат на вектор коэффициентов прямых затрат труда

T_j =B * t

   Для этого используем функцию МУМНОЖ.

=МУМНОЖ(F8:I11;B28:B31)

15. Вычисляем межотраслевые затраты труда, перемножив величину межотраслевых потоков продукции x_ij на коэффициенты прямых затрат труда: l_j = x_ij*t_j (построчное перемножение).

=B28*B16

=B28*C16

=B28*D16

=B28*E16

16. Определяем величину затрат труда на конечный продукт, как произведение Y_j*t_j

=F16*B28

=F17*B29

=F18*B30

=F19*B31

17. Затраты труда определяем как сумму межотраслевых затрат труда и величины затрат труда на конечный продукт (найденная сумма совпадает с вектором L).

=СУММ(D28:H28)

=СУММ(D29:H29)

=СУММ(D30:H30)

=СУММ(D31:H31)

18. Переходим к формированию МБ производственных фондов.
19. Заполняем шапку таблицы «МОБ производственных фондов».
20. Вычисляем коэффициент прямой фондоемкости как отношение объемов затрат фондов к валовому продукту для j-ой отрасли: f_j = Ф_j/ X_j

=J2/G16

=J3/G17

=J4/G18

=J5/G19

21. Вычисляем коэффициенты полной фондоемкости F_j, перемножив матрицу коэффициентов полных материальных затрат на вектор коэффициентов прямой фондоемкости F_j = B * f

Для этого  используем функция МУМНОЖ

=МУМНОЖ(F8:I11;B37:B40)

22. Вычисляем межотраслевые затраты производственных фондов, перемножив величину межотраслевых потоков продукции x_ij на коэффициенты прямой фондоемкости:                 Ф_j = x_ij* f_j  (построчное перемножение).

=B16*B37

=C16*B37

=D16*B37

=E16*B37

23. Определяем величину затрат производственных фондов на конечный продукт, как произведение Y_j * f_j

=F16*B37

=F17*B38

=F18*B39

=F19*B40

24. Объемы производственных фондов определяем как сумму межотраслевых затрат производственных фондов и величины затрат производственных фондов на конечный продукт (найденная сумма совпадает с вектором Ф).

=СУММ(D37:H37)

    =СУММ(D38:H38)

    =СУММ(D39:H39)

=СУММ(D40:H40)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.1.     Расчет модели межотраслевого баланса.

Задание 2 (№33)

Дана следующая  математическая модель задачи

Z = -6x₁ – 4x₂

-2x₁ + 3x₂ ≤ 8

7x₁ + 3x₂ ≥ 15

                                                                           3x₁ – x₂ ≤ 3

x₁≥ 0;   x₂≥0 

Необходимо найти  минимум и максимум целевой функции Z.

Решение:

     Строим  ОДР. Граничные прямые проходят по точкам: 1-я прямая – (-4;0) и (0;2,67);    2-ая прямая – (2,14;0) и(0; 5); 3-я прямая – (1;0) и (0;-3).Указываем полуплоскости, которые удовлетворяют неравенствам. Также учитываем полуплоскости, отвечающие требованию неотрицательности переменных (Х₁≥0  Х₂≥0) т.е. ОДР ограничена первым квадрантом. По совокупности полуплоскостей в первом квадранте получаем треугольник АВС, которые является  областью допустимых решений

       
 

 
 
 
 
 
 
 

Рис. 2.1. Графическое решение задачи

           Перпендикулярно вектору  градиента проводим нормаль и  определяем:

   - при перемещении  нормали против  направлению градиента последней встретилась т.В. Следовательно в точке В целевая функция достигает минимума;

   - при перемещении нормали против  направлению градиента первой  встретилась т. С. Следовательно, в точке С целевая функция достигает максимума.

           Рассматриваем минимум  целевой функции. Точка В находится  на пересечении  1-ой и 3-ей прямых. Решаем систему и находим координаты т. В 

           Вычисляем минимальное  значение целевой функции

Z min = -6 *2,43 -4*4,29 = -14,58 -17,16 = - 31,74

           Рассматриваем максимум целевой функции. Точка  С находится на пересечении 1-ой и 2-ой прямых. Решаем систему и находим координаты т.С  

           Вычисляем максимальное значение целевой функции

     Z max = -6* 1,5 -4*1,5 = - 9 – 6 = -15

           Для определения координат  точек  В и С используем средство Поиск решений. На рабочем листе электронных таблиц строим модель и решаем  ее. (рис. 2.2.)

     

Рис. 2.2. Решение задания через Поиск  решения

Получаем результат :   т. В (2,43;  4,29)  - Z min = -31,7           т.С (1,5; 1,5)  - Z max = -15

     Задание 3 (№43)

     Найти  решение оптимизационной модели, используя графическое решение двойственной задачи: 
 

Решение:

1. Приводим знаки неравенства системы ограничений данной задачи в норму

 
 

.

2. Строим целевую функцию двойственной  задачи (ценовые коэффициенты – свободные члены системы ограничений; направление экстремума – максимум)

 
  

3. Вводим в  систему ограничений двойственной задачи свободные члены (соответствуют  ценовым коэффициентам исходной задачи) и проставляем знаки неравенств (обратные к направлению экстремума); третье ограничение будет уравнением.Введем днаки для  и

 
 
 
   

4. Решаем графически двойственную задачу. (рис. 3.1). Граничные прямые проходят по точкам: 1-я прямая – (-10;0) и (0;3.33);    2-ая прямая – (-1;0) и(0; 2); 3-я прямая – (-3.4;0) и   (0;-1.3).
5. С помощью градиента иследуем ОДР. Последняя по нарпавлению убывания целевой функции вершина – это точка В; в ней целевая функция достигает минимума.
6. Находим координаты точки В, решив систему уравнений.

 
 

= -10,4 

   

7. Двойственная  задача решена относительно 1-го и 2- го выражений в системе ограничений. Следовательно, решение исходной задачибудем  искать для х₁ и х₂. То есть в исходной задаче значение Х₃=0

     Рис. 3.1. Графической решение двойственной задачи

     8.Переходим к решеию системы ограничений исходной задачи 
 

     9.Получили  следующий  результат

- для двойственной  задачи: = -10,4  y_{1 =} 0,8   y₂ =3,6

- для обратной (исходной) задачи: x₁ = 1,6    x₂ = 1,4     x₃ = 0

10. Проверяем это решение с помощью средства «Поиск решений». На  рабочем листе электронных таблиц строим двойственную задачу и включаем Поиск решений ( рис. 3.2.) 

Рис. 3.2 Решение  двойственной задачи. 

11. В окне результата  отмечаем «Тип отчета» - Устойчивость. Получаем сформированный средством  лист с результатами решений  обратной (исходной) задачи (результат  содержится в колонке Теневая  цена ( рис. 3.3.)

12. Ответы совпадают  с результатами графического  решения. 

     

     Рис. 3.3. Результаты решения обратной задачи  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 4 (№70)

- составить и решить  исходную и двойственную задачи;

- дать экономическую   интерпретацию результатам решения  обоих задач

 

Решение

1. Строим математическую модель исходной задачи

+70 

   

2. Составляем  модель двойственной задачи, как симметричную к исходной

 
 
   

3. Для того чтобы решить исходную задачу, ее следует привести к каноническому виду

+70 

   

4. Векторный базис  должен состоять из линейно независимых  переменных. Имеем три линейно  независимые переменные Х₅, Х_6, Х₇. То есть в состав базиса войдут три вектора по числу уравнений- ограничений. Переходим к построению симплекс-таблицы.
5. В таблицу записываем уравнения задачи.  (рис. 4.1)

Рис. 4.1. Занесение  уравнения в таблицу

6. Рассчитываем критерий Zj-Cj (рис. 4.2.) – это сумма произведений ценовых коэффициентов базисных векторов (Сб) на коэффициенты разложения j-го вектора по базису. В ячейку  С5 вводим формулу:

     =СУММПРОИЗВ($B$11:$B$13;C11:C13)-C9, которую копируем по всей строке

Рис. 4.2. Расчет критерия Zj - Cj

7. Выбираем вектор, который должен войти в состав базиса. Имеем 4 вектора с отрицательной оценкой (Zj-Cj<0). Выбираем вектор, который имеет наибольшую по абсолютной величине отрицательную оценку: это вектор Х₄. Он должен войти в состав базиса. Столбец вектора Х₄ – направляющий.
8. Определяем вектор, который будет покидать базис. Для этого используем критерий оценки Өmin= min{Bi/Хy}. Делим значения, представленные в стобце В на коэффициенты направляющего столбца.

Рис.4.3. Определение  генерального элемента

9. Минимальное приращение по базису имеет вектор Х₆ (рис. 4.3.) Он будет покидать базис. Строка вектора Х₆ разрешающая.
10. На пересечении разрешающей строки и направляющего столбца находится генеральный элемент. Его значение равно 5.
11. Копируем шапку таблицы ( рис.  4.4). Вписываем в состав базиса вектора ( Х₄, Х_5, Х₇) и их ценовые коэффициенты (70; 0; 0)

Рис. 4.4. Новая  таблица

12. Для заполнения новой таблицы используем формулы перерасчета. Используем формулу перерасчета с использованием прямоугольника Жордано-Гаусса.

     Строки  таблицы Х₄ иХ₇ не являются разрешающей. Поэтому строим в них формулы прямоугольника. Выбираем ячейку J19. Зрительно строим мнемонический прямоугольник. Ячейку J11    соединяем диагональю с генеральным элементом ( ячейка  F11), две другие вершины ищем по столбцу ( ячейка  J12  ) и строке ( ячейка  F12 )

           Так в Ячейке J18 вводим формулу: =J11-J12*$F$11/$F$12/ Копируем её по строке влево.

           Аналогично ячейке J19, находим ячейку J20 и получаем формулу: J20=J13-J12*$F$13/$F$12. Копируем её по всей строке влево.

13. Строка таблицы Х₅ является разрешающей. Строим в ней формулу деления элементов строки на генеральный элемент. Используем тоже правило: генеральный элемент имеет абсолютный адрес, J18=J12/$F$12. Копируем ее по всей строке влево.
14. Для определения оптимального плана, рассчитываем критерий Zj – Cj. На рис. 4.5   в ячейке С22 вводится формула =СУММПРОИЗВ($B$18:$B$20;C18:C20)-C16, которая затем копируется по всей строке.